สรุปเมทริกซ์ ม.5 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS & เฉลยละเอียด แจกฟรี!

September 3, 2024

ใครงงกับ “เมทริกซ์” อยู่ตอนนี้… อย่าเพิ่งถอดใจกันไปนะครับ!! เพราะบทนี้เป็นหนึ่งในบทสำคัญของ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มักจะเจอได้บ่อย ๆ ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย

ตามหลักสูตร สสวท. แล้ว บทเมทริกซ์จะอยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 แต่บางโรงเรียนก็อาจเรียนกันตั้งแต่ ม.4 เทอม 2 เลยด้วย ซึ่งหลักสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ในปัจจุบัน มีการปรับปรุงเนื้อหาบทเมทริกซ์โดยนำเนื้อหาของเดิมบางส่วนออกไป อย่างเช่น เรื่องไมเนอร์ (Minor), โคแฟกเตอร์ (Cofactor) และเมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix)

วันนี้ พี่กอล์ฟ – เดอะเบรน มี สรุปเมทริกซ์ ม.5 แบบเน้นจุดสำคัญที่น้อง ๆ ต้องรู้ก่อนเข้าห้องสอบ พร้อมแนวข้อสอบ TCAS และเฉลยละเอียด มาแจกกันครับ รับรองว่าอ่านจบแล้วเข้าใจเมทริกซ์มากขึ้นแน่นอน!!

พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์

เมทริกซ์ คืออะไร?

เริ่มต้นบทเมทริกซ์ ม.5 ด้วยหัวข้อ พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์ ที่น้อง ๆ จะได้ทำความรู้จักกับ “เมทริกซ์” ว่าคืออะไรครับ

บทนิยาม

ให้ $\;$ $m$ $\;$ และ $\;$ $n$ $\;$ เป็นจำนวนเต็มบวก ชุดของจำนวนจริง $\;$ $mn$ $\;$ จำนวน ซึ่งเขียนเรียงกันในรูป

$\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \none & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

เรียกว่า เมทริกซ์ (matrix) ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด $\;$ $m$ $\;$ แถว ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวตั้ง เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด $\;$ $n$ $\;$ หลัก เรียก $\;$ $a_{ij}$ $\;$ ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ $\;$ $i$ $\;$ และหลักที่ $\;$ $j$ $\;$ ของเมทริกซ์ ถ้าเมทริกซ์มี $\;$ $m$ $\;$ แถว $\;$ $n$ $\;$ หลัก จะเรียก $\;$ $m \times n$ $\;$ ว่า ขนาด (size) หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์

จากนิยามจะพบว่ามีค่าที่น้อง ๆ ต้องรู้หลายคำเลยทีเดียว เช่น แถว, หลัก, สมาชิก, ขนาด หรือมิติ เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้นเรามาดูจากตัวอย่างกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1

การเท่ากันของเมทริกซ์

หลังจากเราทำความรู้จักหน้าตาของเมทริกซ์และรู้ว่าเมทริกซ์คืออะไรแล้ว ตามพี่มาดูกันต่อเลยครับว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้ ต้องมีเงื่อนไขอะไรบ้าง?

บทนิยาม

ให้ $\;$ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ $\;$ และ $\;$ $B = [b_{ij}]_{p \times q}$

$A$ $\;$ เท่ากับ $\;$ $B$ $\;$ ก็ต่อเมื่อ $\;$ $m = p \: , \; n = q$ และ $a_{ij} = b_{ij}$

สำหรับทุก $\;$ $i \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; m\}$ $\;$ และ $\;$ $j \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; n\}$

เขียนแทน $\;$ $A$ $\;$ เท่ากับ $\;$ $B$ $\;$ ด้วย $\;$ $A = B$

💡 คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : จำง่าย ๆ ว่า $A = B$ ก็ต่อเมื่อ

ขนาดของ $A$ $\quad$ $=$ $\quad$ ขนาดของ $B$
สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันต้องเท่ากันทุกตำแหน่ง

ตัวอย่างที่ 2

การบวกและลบเมทริกซ์

พอน้อง ๆ รู้แล้วว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้เมื่อไหร่ ต่อมาเราจะเริ่มนำเมทริกซ์มาดำเนินการกัน โดยเริ่มจาก การบวกและลบเมทริกซ์ ก่อนเลย

บทนิยาม

ให้ $\;$ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ $\;$ และ $\;$ $B = [b_{ij}]_{m \times n}$ $\;$ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน

ผลบวกของเมทริกซ์ $\;$ $A$ $\;$ กับเมทริกซ์ $\;$ $B$ $\;$ คือ เมทริกซ์ $\;$ $[c_{ij}]_{m \times n}$

เมื่อ $\;$ $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ $\;$ สำหรับทุก $\;$ $i \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; m\}$

และ $\;$ $j \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; n\}$ $\;$ เขียนแทน $\;$ $A$ $\;$ บวกกับ $\;$ $B$ $\;$ ด้วย $\;$ $A + B$

นั่นคือ $\;$ $[a_{ij}]_{m \times n} + [b_{ij}]_{m \times n} = [a_{ij} + b_{ij}]_{m \times n}$

💡 คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : จำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะนำมาบวกลบกันได้ ขนาดของทั้ง 2 เมทริกซ์ต้องเท่ากัน และในการบวกลบเมทริกซ์ ให้น้อง ๆ นำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกันครับ

ตัวอย่างที่ 3

การคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง

หัวข้อต่อมาหลังจากได้เรียนรู้เรื่องการบวกลบเมทริกซ์แล้ว เราจะมาดูเรื่อง การคูณระหว่างเมทริกซ์กับจำนวนจริง กันบ้าง

บทนิยาม

ให้ $\;$ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ $\;$ และ $\;$ $c$ $\;$ เป็นจำนวนจริง

ผลคูณของ $\;$ $c$ $\;$ กับเมทริกซ์ $\;$ $A$ $\;$ คือ เมทริกซ์ $\;$ $[b_{ij}]_{m \times n}$

เมื่อ $\;$ $b_{ij} = c a_{ij}$ $\;$ สำหรับทุก $\;$ $i \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; m\}$

และ $\;$ $j \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; n\}$ $\;$ เขียนแทนผลคูณของ $\;$ $c$ $\;$ กับเมทริกซ์ $\;$ $A$ $\;$ ด้วย $\;$ $cA$

นั่นคือ $\;$ $c [a_{ij}]_{m \times n} = [c a_{ij}]_{m \times n}$

💡 คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : พี่จะบอกวิธีจำง่าย ๆ ให้ว่า เวลาน้อง ๆ จะคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงให้ นำจำนวนจริงนั้นคูณสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์ ครับ

ตัวอย่างที่ 4

การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

จากหัวข้อที่แล้วอย่างการคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง น้อง ๆ จะเห็นว่าไม่ยากเลยนะครับ แต่สำหรับหัวข้อนี้ที่เป็น การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ พี่ต้องบอกเลยว่าเป็นหัวข้อที่ทำให้รุ่นพี่เราหลาย ๆ คนที่ผ่านการเรียนเมทริกซ์ ม.5 มาแล้ว ถึงกับบ่นกันเลยทีเดียว

แต่จริง ๆ แล้ว การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ไม่ใช่เรื่องยุ่งยากซับซ้อนมากนัก ถ้าน้อง ๆ เข้าใจและจับหลักได้ เรามาเริ่มจากการดูนิยามกันก่อนเลยครับ

บทนิยาม

ถ้า $\;$ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ $\;$ และ $\;$ $B = [b_{ij}]_{p \times q}$

ผลคูณของเมทริกซ์ $\;$ $A$ $\;$ และ $\;$ $B$ $\;$ เขียนแทนด้วย $\;$ $AB$ $\;$ จะนิยามได้

ก็ต่อเมื่อ $\;$ $n = p$ $\;$ และเมทริกซ์ผลคูณ $\;$ $AB$ $\;$ จะมีขนาด $\;$ $m \times q$

ซึ่งมีสมาชิกในแถวที่ $\;$ $i$ $\;$ และหลักที่ $\;$ $j$ $\;$ เป็น $\;$ $a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \: \ldots \: + a_{in}b_{nj$

สำหรับทุก $\;$ $i \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; m\}$ $\;$ และ $\;$ $j \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; q\}$

💡 คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : น้อง ๆ บางคนบอก แค่อ่านนิยามก็มึนแล้ววว 😵 ไม่เป็นไร ๆ เดี๋ยวพี่แปลเป็นภาษาง่าย ๆ ให้เหมือนเดิมครับ

เริ่มจากเราต้องดูก่อนว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ที่จะนำมาคูณกัน สามารถคูณกันได้หรือไม่ เพราะบางคู่ก็คูณได้ บางคู่ก็คูณไม่ได้

หลักในการดู คือ เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะคูณกันได้เมื่อ

จำนวนหลักของตัวหน้า = จำนวนแถวของตัวหลัง

ถ้าไม่เท่ากันจะคูณกันไม่ได้

และ

ขนาดของเมทริกซ์ผลลัพธ์ = จำนวนแถวของตัวหน้า $\times$ จำนวนหลักของตัวหลัง

ตัวอย่างที่ 5

หลังจากตรวจสอบได้แล้วว่า เมทริกซ์คู่ใดคูณกันได้หรือคูณกันไม่ได้ ต่อมาเราจะมาหาผลลัพธ์จากการคูณกันครับ โดยน้อง ๆ ต้องคำนวณกันทีละตำแหน่ง

เช่น $\:$ $A_{2 \times 2} B_{2 \times 3} = C_{2 \times 3}$

สมาชิกของผลลัพธ์ $\;$ $C_{ij}$ $\;$ จะเกิดจากการนำสมาชิกในแถวที่ $\;$ $i$ $\;$ ของ $\;$ $A$

มาคูณตัวต่อตัวกับสมาชิกในหลักที่ $\;$ $j$ $\;$ ของ $\;$ $B$ $\;$ แล้วนำผลคูณที่ได้มาบวกกัน

ตัวอย่างที่ 6

ควรรู้! โดยทั่ว ๆ ไปการคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์จะไม่มีสมบัติการสลับที่การคูณ นั่นคือ $AB \neq BA$

ตัวอย่างที่ 7

เมทริกซ์เอกลักษณ์

สำหรับจำนวนเต็มบวก $\;$ $n$ $\;$ ใด ๆ ให้ $\;$ $I_n$ $\;$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $\;$ $n \times n$ $\;$ ซึ่งเป็นสมาชิกในแถวที่ $\;$ $i$ $\;$ และหลักที่ $\;$ $i$ $\;$ เป็น 1 สำหรับทุก $\;$ $i \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; n\}$ $\;$ และสมาชิกในแถวที่ $\;$ $i$ $\;$ และหลักที่ $\;$ $j$ $\;$ เป็น 0 เมื่อ $\;$ $i \neq j$ $\;$ เรียก $\;$ $I_n$ $\;$ ว่า เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) ขนาด $\;$ $n \times n$

ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์

$I_1 = \left[1\right] \; , \quad I_2 = \left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \; , \quad I_3 = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$

สมบัติของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณ

ให้ $\;$ $A = [a_{ij}]_{m \times n} \; , \; B = [b_{ij}]_{n \times p}$ $\;$ และ $\;$ $C = [c_{ij}]_{p \times q}$ $\;$ จะได้ว่า

$A(BC) = (AB)C$
$\mathbf{\underline{0}}_{r \times m} A = \mathbf{\underline{0}}_{r \times n}$ $\quad$ และ $\quad$ $A \mathbf{\underline{0}}_{n \times r} = \mathbf{\underline{0}}_{m \times r}$
$I_m A = A$ $\quad$ และ $\quad$ $AI_n = A$
$(cA)B = A(cB) = c(AB)$ $\quad$ เมื่อ $\;$ $c$ $\;$ เป็นจำนวนจริง
$A(B + D) = AB + AD$ $\quad$ $\quad$ เมื่อ $\;$ $D$ $\;$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $\;$ $n \times p$
$(A + E)B = AB + EB$ $\quad$ $\quad$ เมื่อ $\;$ $E$ $\;$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $\;$ $m \times n$

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

บทนิยาม

ให้ $\;$ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ $\;$ ถ้า $\;$ $B = [b_{ij}]_{n \times m}$ $\;$ โดยที่ $\;$ $b_{ij} = a_{ji}$

สำหรับทุก $\;$ $i \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; n\}$ $\;$ และ $\;$ $j \in \{1 \: , \; 2 \: , \; 3 \: , \; \ldots \: , \; m\}$

แล้วจะเรียก $\;$ $B$ $\;$ ว่า $\;$ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) $\;$ ของ $\;$ $A$ $\;$ เขียนแทนด้วย $\;$ $A^t$

💡 คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : น้องอาจจะจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก หรือเปลี่ยนหลักไปเป็นแถว ครับ

ตัวอย่างที่ 8

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)

อีกหนึ่งหัวข้อที่น้อง ๆ จะได้เรียนในบทเมทริกซ์ ม.5 ก็คือ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) ครับ โดยดีเทอร์มิแนนต์มีสัญลักษณ์ที่ใช้ คือ $\quad$ $det(A)$ $\quad$ หรือ $\quad$ $|A|$

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

ให้ $\quad$ $A = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]$ $\quad$ จะได้ ดีเทอร์มิแนนต์ของ $\quad$ $A$ $\quad$ คือ $\quad$ $ad - bc$

หรือจำง่าย ๆ ได้แบบนี้

ตัวอย่างที่ 9

ตัวอย่างที่ 10

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3

การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3 จะมีวิธีการคล้าย ๆ แบบขนาด 2 × 2 คือ ใช้การคูณทแยงลงและทแยงขึ้น แล้วนำผลคูณที่ได้มารวมกัน แต่น้องต้องเขียน 2 หลักแรกมาต่อด้านท้ายก่อนการคูณครับ

ให้ $\quad$ $A = \left[ \begin{array}{cccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} \right]$ $\quad$ ขั้นตอนการหา $\quad$ $det \: A$ $\quad$ ทำดังนี้

ขั้นที่ 1 เขียนหลักที่ 1 และ 2 ต่อท้ายหลักที่ 3 เพิ่ม

ขั้นที่ 2 คูณทแยงแนวลงและแนวขึ้น จากนั้นนำผลคูณที่ได้มารวมกัน

ตัวอย่างที่ 11

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ $\;$ $A$ $\;$ และ $\;$ $B$ $\;$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน และ $\;$ $I$ $\;$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

$det(I) = 1$
$det(A^t) = detA$
$det(A^n) = (detA)^n$
$det(AB) = (detA)(detB)$
$det(kA) = (k^n)detA$ $\quad$ เมื่อ $\;$ $k$ $\;$ เป็นค่าคงตัวและ $\;$ $A$ $\;$ มีขนาด $\;$ $n \times n$

เมทริกซ์ผกผัน (อินเวอร์สการคูณ)

บทนิยาม

ให้ $\:$ $A$ $\:$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $\:$ $n \times n$ $\:$ ถ้ามีเมทริกซ์ $\:$ $B$ $\:$ ขนาด $\:$ $n \times n$ $\:$ ซึ่ง

$AB \: = \: BA \: = \: I_n$

แล้วจะเรียก $\:$ $B$ $\:$ ว่า เมทริกซ์ผกผัน หรือ ตัวผกผันการคูณ หรือ อินเวอร์สการคูณ ของเมทริกซ์ $\:$ $A$ $\:$ และเขียนแทนด้วย $\:$ $A^{-1}$ $\:$

จากนิยามจะพบว่า เมทริกซ์ที่จะสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้จะต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งในหลักสูตรปัจจุบันจะเรียนการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่เกิน 2 × 2 ครับ

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 1 × 1

ให้ $\;$ $A = [a]$ $\;$ จะได้ $\;$ $A^{-1} = \left[\frac{1}{a}\right]$ $\;$ เมื่อ $\;$ $a \ne 0$

ตัวอย่างที่ 12

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

ให้ $\:$ $A = \left[ \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right]$ $\:$ จะได้ $\:$ $A^{-1} = \frac{1}{det \: A} \left[ \begin{array}{cccc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right]$ $\:$ เมื่อ $\:$ $det \: A \neq 0$

จากวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันจะเห็นว่า การหาเมทริกซ์ผกผันขึ้นกับค่าของ $\;$ $det \: A$ $\;$ ด้วย คือ เมทริกซ์ผกผันจะมีค่าเมื่อ $\;$ $det \: (A) \neq 0$ $\;$ เท่านั้น

ตัวอย่างที่ 13

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

ปิดท้ายด้วยหัวข้อ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น น้อง ๆ คงจะเคยแก้ระบบสมการเชิงเส้นกันมาแล้วตั้งแต่สมัยเรียนคณิตศาสตร์ ม.ต้น ซึ่งใน ม.ต้น เรามักจะแก้โดยการกำจัดตัวแปร ด้วยการทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรบางตัวให้เท่ากัน แล้วนำสมการมาบวกลบกัน ในบทนี้เราสามารถนำความรู้เรื่องเมทริกซ์มาใช้แก้ระบบสมการได้อีกด้วย

โดยในหลักสูตรจะเน้นไปที่ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและสามตัวแปร แต่น้อง ๆ สามารถนำหลักการนี้ไปใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนตัวแปรมากกว่านี้ได้เช่นกันครับ

พี่จะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้ วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 วิธี นั่นคือ

1. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์ผกผัน

ขั้นตอนการทำ

1. เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ $\:$ $AX = B$

เมื่อ $\:$ $A$ $\:$ คือ เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์

$X$ $\:$ คือ เมทริกซ์ของตัวแปร

$B$ $\:$ คือ เมทริกซ์ของค่าคงตัวทางขวา

2. จากสมการ $\:$ $AX = B$ $\:$ ทำการหาเมทริกซ์ $\:$ $X$

จาก $\:$ $AX = B$ $\:$

A^-1 $AX =$ A^-1 $B$ $\:$ จะได้ $\:$ $X = A^{-1}B$

ตัวอย่างที่ 14

2. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์แต่งเติม

ขั้นตอนการทำ

1. เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ $\:$ $AX = B$ $\:$

แล้วแปลงต่อในรูปเมทริกซ์แต่งเติม $\:$ $[A \: | \: B]$

2. ใช้การดำเนินการตามแถว ซึ่งมี 3 แบบ ดังนี้

แบบที่ 1 สลับแถวที่ $\:$ $i$ $\:$ และแถวที่ $\:$ $j$ $\:$ ของเมทริกซ์ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ $\:$ $R_{i} \: \leftrightarrow \: R_{j}$

แบบที่ 2 คูณสมาชิกในแถวที่ $\:$ $i$ $\:$ ด้วยค่าคงตัว $\:$ $c$ $\:$ เมื่อ $\:$ $c \ne 0$ $\:$ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ $\:$ $cR_i$

แบบที่ 3 คูณสมาชิกในแถวที่ $\:$ $i$ $\:$ ด้วยค่าคงตัว $\:$ $c$ $\:$ เมื่อ $\:$ $c \ne 0$ $\:$ แล้วนำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่ $\:$ $j$ $\:$ เมื่อ $\:$ $i \ne j$ $\:$ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ $\:$ $cR_i + R_j$ $\:$ (แทนผลลัพธ์นี้ในแถวที่ $\:$ $j$ $\:$ )

ทำจนเมทริกซ์ด้านซ้ายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้วจะได้เมทริกซ์ด้านขวาคือคำตอบของระบบสมการ

ตัวอย่างที่ 15

ตัวอย่างข้อสอบเมทริกซ์ พร้อมเฉลย โดย “พี่กอล์ฟ - เดอะเบรน”

เอาล่ะ!! พออ่านสรุปเนื้อหาเมทริกซ์ ม.5 จบครบทุกหัวข้อ ก็ได้เวลามาฝึกทำโจทย์เมทริกซ์กันบ้างแล้ว โดยพี่นำ ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทเมทริกซ์ มาให้ได้วิเคราะห์ระดับความยาก – ง่ายของข้อสอบ พร้อมเฉลยละเอียดให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์ด้วยครับ

โจทย์เมทริกซ์ ข้อที่ 1

โจทย์เมทริกซ์ ข้อที่ 2

โจทย์เมทริกซ์ ข้อที่ 3

โจทย์เมทริกซ์ ข้อที่ 4

โจทย์เมทริกซ์ ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท

เมทริกซ์

เมทริกซ์ A-Level

และนี่คือ เนื้อหาสำคัญในบทเมทริกซ์ ม.5 ที่น้อง ๆ ควรรู้นะครับ จะเห็นเลยว่าบทนี้เป็นบทคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มีสัญลักษณ์และนิยามใหม่ ๆ ค่อนข้างเยอะ แล้วยังเป็นบทที่ตัวเลขตอนคำนวณเยอะด้วยเช่นกัน ดังนั้นตอนอยู่ในห้องสอบ พี่ขอเตือนว่าต้องระมัดระวังเรื่องการคิดเลขด้วยนะ แต่ถ้าใครที่หมั่นฝึกฝนทำโจทย์เยอะ ๆ พี่มั่นใจเลยว่าบทเมทริกซ์นี้จะเป็นบทเก็บคะแนนของน้อง ๆ แน่นอน ✌️

ใครเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย แล้วรู้สึกว่าเมทริกซ์เป็นบทยาก หรืออยากติวคณิตบทนี้ให้แม่นขึ้นกว่าเดิม สามารถสมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 ที่ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ