สมัครเรียนออนไลน์

สมัครเรียนออนไลน์

สรุปเนื้อหาแคลคูลัส ม.6 สูตรสำคัญและแนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยพร้อมเฉลย

April 4, 2024

เมื่อพูดถึง “แคลคูลัส” ที่เป็นเนื้อหาของวิชาคณิตศาสตร์ ม.6 น้อง ๆ ม.ปลาย หลายคนอาจรู้สึกว่าเป็นบทที่น่าจะยากและซับซ้อน แต่จริง ๆ แล้ว ถ้าน้อง ๆ เรียนด้วยความเข้าใจถึงนิยามและกระบวนการในการคิดได้ บทนี้จะเป็นบทที่ไม่ได้ยากอย่างที่หลาย ๆ คนกลัวกัน

วันนี้ พี่กอล์ฟ – เดอะเบรน จะพาน้อง ๆ ไปดู สรุปเนื้อหาและจุดสำคัญ ๆ ของบทแคลคูลัส โดยพี่จะขอแบ่งเนื้อหาของ แคลคูลัส ม.ปลาย ออกเป็น 3 ส่วนใหญ่ ๆ ดังนี้นะครับ

ลิมิตและความต่อเนื่อง
อนุพันธ์
ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์

น้อง ๆ คนไหนพร้อมแล้ว ก็ตามพี่ไปดูกันได้เลย!!

ลิมิตของฟังก์ชัน

เริ่มด้วยหัวข้อแรกของแคลคูลัส ม.6 อย่าง ลิมิตของฟังก์ชัน กันเลยครับ

โดยทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน $f$ ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง ถ้าค่าของ $f(x)$ เข้าใกล้จำนวนจริง $L$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ แล้วจะเรียก $L$ ว่า ลิมิตของ $f$ ที่ $a$ ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

$\lim\limits_{x \to a} f(x)=L$

เทคนิคการหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน

💡 NOTE : ในเทคนิคนี้คำว่า ‘เลข’ หมายถึงจำนวนจริงที่ไม่ใช่ 0 นะครับ!

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

บทนิยาม

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามบนช่วงเปิด $(c,\: d)$ และ $a \in (c, \: d)$ จะกล่าวว่า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ที่ $x = a$ ก็ต่อเมื่อ

$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

จากบทนิยาม ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $x = a$ ต้องมีสมบัติครบทั้ง 3 ข้อ ดังนี้

$f(a)$ หาค่าได้
$\lim\limits_{x\to a} f(x)$ มีค่า
$f(a)=\lim\limits_{x\to a} f(x)$

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ เขียนแทนด้วย $f'(x)$ และ

$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ เช่น

$f'(x) \: ,\; \frac{dy}{dx} \: ,\; \frac{df(x)}{dx} \: ,\; {y'}$

สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ความชันของเส้นโค้ง

กำหนดเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน $y = f(x)$ และจุด $P(a, f(a))$ เป็นจุดบนเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $P(a, f(a))$ คือ เส้นตรงที่ผ่านจุด $P$ และมีความชันเท่ากับ $f'(a)$ จะเรียกความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $P$ ว่า ความชันของเส้นโค้งที่จุด $P$

จุดสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์

ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

บทนิยาม

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน ถ้า $F$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่ง $\frac{d}{dx}{F(x)} = f(x)$ สำหรับทุก $x$ ที่อยู่ในโดเมนของ $f$ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน $F$ ว่าเป็น ปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) หนึ่งของฟังก์ชัน $f$

ถ้า $F(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $f(x)$

อินทริกัลไม่จำกัดเขตของ $f(x)$ เทียบกับ $x$ หมายถึง ปฏิยานุพันธ์ของ $f(x)$

เขียนแทนด้วย $\int f(x)\,dx$ โดยที่ $\int f(x)\,dx = F(x)+c$

เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัวใด ๆ

สูตรการอินทิเกรต

ปริพันธ์จำกัดเขต

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus)

กำหนด $f(x)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $[a, b]$ และ $F(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $f(x)$

อินทิกรัลจำกัดเขตของ $f(x)$ จาก $x = a$ ถึง $x = b$ เขียนแทนด้วย

$\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx$

โดยที่

$\int\limits_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b)-F(a)$

💡 หลักการหา $\int\limits_a^b f(x)\,dx$

หา $\int f(x)\,dx$ ก่อน สมมุติให้มีผลลัพธ์เป็น $F(x)$ โดยไม่ต้องบวก $c$
แทนค่า $x = b$ และ $x = a$ ลงใน $F(x)$ จะได้ $F(b)$ และ $F(a)$ ตามลำดับ
หาค่า $F(b) - F(a)$ ซึ่งค่าที่ได้จะเป็นค่าของ $\int\limits_a^b f(x)\,dx$ ตามต้องการ

สูตรการอินทิกรัลจำกัดเขต

พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

แนวข้อสอบแคลคูลัส พร้อมเฉลย โดย “พี่กอล์ฟ - เดอะเบรน”

นอกจากจะสรุปจุดสำคัญ ๆ ของบทแคลคูลัส ที่น้อง ๆ จะได้เรียนกันในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 แล้ว พี่ก็ไม่พลาดที่จะนำ แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทแคลคูลัส มาให้น้อง ๆ ลองฝึกทำกัน พร้อมมีเฉลยละเอียดให้ได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์ด้วยครับ

โจทย์แคลคูลัส พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

โจทย์แคลคูลัส พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

โจทย์แคลคูลัส พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

โจทย์แคลคูลัส พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

โจทย์แคลคูลัส พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.6 กับ “เดอะเบรน” พร้อมคว้าเกรด 4 และเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย

และนี่คือตัวอย่างเนื้อหาของบท แคลคูลัสเบื้องต้น ในระดับ ม.ปลาย พร้อมตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องแคลคูลัส ที่นำมาฝากกันวันนี้ครับ พี่เชื่อว่าถ้าน้อง ๆ เรียนแคลคูลัสด้วยความเข้าใจ และหมั่นฝึกฝนทำโจทย์บ่อย ๆ บทนี้จะเป็นบทที่น้อง ๆ เก็บคะแนนได้ไม่ยากเลย และยังเป็นพื้นฐานที่ใช้ต่อยอดในการเรียนแคลคูลัสต่อในระดับมหาวิทยาลัยได้อีกด้วย

แคลคูลัส

แคลคูลัส

สำหรับน้อง ๆ ม.ปลาย ที่กำลังมองหาตัวช่วยเพิ่มความฟิต อยากเรียนแคลคูลัสให้เข้าใจมากขึ้น พี่แนะนำให้สมัคร คอร์สแคลคูลัส ม.ปลาย ที่ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ เพราะคอร์สนี้เน้นสร้างความเข้าใจในเรื่องแคลคูลัส โดยสอนตั้งแต่แนวคิดพื้นฐานไปจนถึงการประยุกต์ใช้ในการแก้โจทย์ พร้อมตัวอย่างโจทย์และแบบฝึกหัดหลากหลายรูปแบบ ที่จะช่วยให้เข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น และนำไปใช้ในการสอบได้ด้วยครับ

สมัครคอร์สนี้ดียังไง?

✔ สอนละเอียดแบบเป็นขั้นเป็นตอน

✔ มีเทคนิคทริกลัดที่จะช่วยให้น้อง ๆ ทำโจทย์ได้เร็วขึ้น

✔ พาฝึกทำโจทย์หลากหลาย ไล่ระดับตั้งแต่ง่ายไปยาก ทั้งข้อสอบในโรงเรียน ข้อสอบแข่งขัน และข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย A-Level

✔ ฝึกให้น้องทำข้อสอบได้ทั้งแบบปรนัยและอัตนัยแบบเเสดงวิธีทำ

รีวิวน้อง ๆ DEK WE คว้าเกรด 4 คณิตศาสตร์ ม.ต้น - ม.ปลาย

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องนุกนิก - น้องอัส คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องพราว - น้องออม คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเชอร์รี่ - น้องแจน คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องสมาร์ท - น้องเจแปน คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องไปเปอร์ - น้องอิ๊น คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องปลื้ม - น้องแอมเบอร์ คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเดียว - น้องนกยูง คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องซีน - น้องบิว คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องชมพู่ - น้องก้อย คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องกีต้าร์ - น้องคอตต้อน คณิตศาสตร์ เกรด 4

น้อง ๆ ที่สนใจสมัครติวคณิตศาสตร์ ม.6 กับ “เดอะเบรน” สามารถ กดปุ่ม Add Line ด้านล่างเพื่อรับคำปรึกษาและวางแผนการเรียนกับ “พี่วีวี่” ได้เลย ❤︎

คำถามที่พบบ่อย (FAQ) เกี่ยวกับ "แคลคูลัส ม.6"

อยากเรียนแคลคูลัส ม.6 ให้เข้าใจ ควรทบทวนเนื้อหาความรู้เดิมบทไหนมาก่อน?

เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่ถูกนำมาใช้ต่อในบทแคลคูลัส ที่น้อง ๆ ควรจะทบทวนให้แม่นยำ เพราะจะถูกนำมาใช้บ่อย ๆ มีดังนี้

บทจำนวนจริง โดยเฉพาะเรื่องการแก้สมการและอสมการพหุนาม รวมถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามต้องฝึกให้คล่องเลย เพราะในบทแคลคูลัสใช้ค่อนข้างเยอะ
บทเรขาคณิตวิเคราะห์ ส่วนหลัก ๆ ที่ถูกนำมาใช้คือเรื่องเส้นตรง ตั้งแต่การถามหาความชัน, สมการเส้นตรง, เส้นขนาน, เส้นตั้งฉาก และการเขียนกราฟ โดยเฉพาะเส้นตรงและพาราโบลาจะถูกใช้ในบทนี้บ่อย
บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ควรทบทวนในส่วนนิยามของฟังก์ชันเพิ่ม, ฟังก์ชันลด, คู่อันดับ และการเขียนกราฟ
การหาพื้นที่ของรูปวงกลม, สี่เหลี่ยม, สามเหลี่ยม และการหาปริมาณและพื้นที่ผิวของรูปทรงต่าง ๆ ส่วนนี้อาจจะถูกนำมาใช้ตอนทำโจทย์ปัญหาที่เป็นโจทย์ประยุกต์

แคลคูลัส ม.6 กับแคลคูลัสในระดับมหาวิทยาลัย เนื้อหาต่างกันยังไง?

แคลคูลัส ม.6 จะเป็นแคลคูลัสพื้นฐานเบื้องต้นของบทนี้ ครับ จะสอนให้น้อง ๆ รู้จักกระบวนการในการหาลิมิต, อนุพันธ์ และปริพันธ์แบบไม่ซับซ้อนมากนัก

แต่สำหรับ แคลคูลัสในระดับมหาวิทยาลัย เนื้อหาจะลึกและยากกว่า โดยจะเน้นไปตามการใช้งานประยุกต์ของแต่ละคณะและสาขา เช่น แคลคูลัสที่เรียนในคณะวิศวกรรมศาสตร์, วิทยาศาสตร์, เศรษฐศาสตร์ ก็จะมีจุดเน้นต่างกันตามการใช้งานของแต่ละคณะ

คณิตศาสตร์ ม.ปลาย, แคลคูลัส, คณิตศาสตร์ ม.6

Picture of อ.ชวลิต กุลกีรติการ (พี่กอล์ฟ)

อ.ชวลิต กุลกีรติการ (พี่กอล์ฟ)

วิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เกียรตินิยม ประสบการณ์การสอน 24 ปี

คอร์สแนะนำ

วางแผนการเรียน

DEK WE SUCCESS

โปรโมชัน

บทความแนะนำ

สรุปสูตรอนุกรมเลขคณิต ม.6 พร้อมตัวอย่างแนวโจทย์ที่น้อง ๆ ต้องรู้!

คณิตศาสตร์

สรุปสูตรอนุกรมเลขคณิต ม.6 พร้อมตัวอย่างแนวโจทย์ที่น้อง ๆ ต้องรู้!

23/05/2025

“ตรีโกณมิติ” ยากตรงไหน? เรียนตรีโกณยังไงให้เข้าใจ โดยพี่ช้าง เดอะเบรน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

“ตรีโกณมิติ” ยากตรงไหน? เรียนตรีโกณยังไงให้เข้าใจ โดยพี่ช้าง เดอะเบรน

30/12/2024

5 เคล็ดลับเรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้เข้าใจ เก่งขึ้นได้จริง!

คณิตศาสตร์

5 เคล็ดลับเรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้เข้าใจ เก่งขึ้นได้จริง!

25/12/2024

คณิตศาสตร์

สรุป เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4 พร้อมแนวข้อสอบและเฉลยละเอียด

30/11/2024

โรงเรียนกวดวิชา WE BY THE BRAIN (เดอะเบรน) มุ่งสร้างความสำเร็จอย่างต่อเนื่อง เพื่อทุกความฝันของเด็กไทยมากว่า 39 ปี การันตีความเป็นมืออาชีพด้านคุณภาพการเรียนการสอน ได้รับความไว้วางใจจากน้อง ๆ นักเรียนมากกว่า 2 ล้านคน

เกี่ยวกับ WE

คอร์สเรียน

ติดต่อเรา

โรงเรียนกวดวิชา WE BY THE BRAIN (สำนักงานใหญ่) 215 ถ.งามวงศ์วาน ต.บางเขน อ.เมือง จ.นนทบุรี 11000

WE CARE

เปิดบริการทุกวัน 10.00-19.00 น.
โทร : 02-952-6767
Line : @weplus_care

© WE BY THE BRAIN. 2026 ALL RIGHT RESERVED.

Top