สรุป เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4 พร้อมแนวข้อสอบและเฉลยละเอียด

หน้าหลัก » article » สรุป เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4 พร้อมแนวข้อสอบและเฉลยละเอียด

November 30, 2024

ถ้าพูดถึง “เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย” ในวิชาคณิตศาสตร์ ม.4 น้อง ๆ หลายคนอาจรู้สึกว่าบทนี้เป็นเรื่องที่ซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่ความจริงแล้ว เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยคือหนึ่งในหัวข้อสำคัญที่เป็นพื้นฐานสำคัญของการเรียนรู้ในระดับสูงขึ้นในอนาคต

วันนี้ “พี่ภูมิ” มี สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4 บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมตัวอย่างข้อสอบคณิตศาสตร์และเฉลยละเอียด มาแจกให้น้อง ๆ เรียนรู้และอ่านทบทวนก่อนสอบ ถ้าอยากรู้ว่าบทนี้จะได้เรียนเกี่ยวกับอะไรบ้าง รีบตามมาดูพร้อมกันเลย!!

เรขาคณิตวิเคราะห์ ม.4

เรขาคณิตวิเคราะห์ เป็นเรื่องที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ เพราะมันช่วยเชื่อมโยงความรู้ระหว่างพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน โดยใช้พีชคณิตมาช่วยในการศึกษาและวิเคราะห์รูปทรงต่าง ๆ ในเรขาคณิต โดยการเรียนเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ น้อง ๆ จะต้องทำสิ่งเหล่านี้ให้เป็นครับ

หาระยะทางระหว่างจุดสองจุด และหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง
หาความชันของเส้นตรง และใช้ความชันในการอธิบายเกี่ยวกับเส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
เขียนกราฟและหาสมการเส้นตรงได้
หาระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดและเส้นคู่ขนานได้
เขียนกราฟ หาส่วนประกอบ และหาสมการวงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลาได้

ซึ่งก่อนที่จะเรียนเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับ ม.ปลาย น้อง ๆ ควรทบทวนพื้นฐานในเรื่องเรขาคณิต ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมการเชิงเส้นสองตัวแปร พาราโบลา และการแยกตัวประกอบของพหุนาม ของระดับ ม.ต้น มาก่อน

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

ให้ $P_1(x_1 , y_1)$ และ $P_2(x_2 , y_2)$ เป็นจุดในระนาบ

ระยะห่างระหว่างจุด $P_1(x_1 , y_1)$ และ $P_2(x_2 , y_2)$ หาได้จาก $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

และจะเห็นว่า

ถ้า $x_1 = x_2$ แล้วจุดทั้งสองอยู่ในแนวเส้นตรงที่ขนานกับแกน y (อยู่บนเส้นตั้ง)
จึงได้ว่า ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง = | $y_1 - y_2$ |

ถ้า $y_1 = y_2$ แล้วจุดทั้งสองอยู่ในแนวเส้นตรงที่ขนานกับแกน x (อยู่บนเส้นนอน)
จึงได้ว่า ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง = | $x_1 - x_2$ |

จุดแบ่งภายในส่วนของเส้นตรง

กำหนดจุด $P_1(x_1 , y_1)$ และ $P_2(x_2 , y_2)$ ถ้าจุด $P(x , y)$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง $P_1 P_2$ แล้ว

จุดตัดของเส้นมัธยฐาน (centroid) ของรูปสามเหลี่ยม

จากรูป $P$ เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐานทั้งสามเส้น

จะได้ว่า $P(\frac{์x_1 + x_2 + x_3}{3} , \frac{์y_1 + y_2 + y_3}{3})$

การหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมใด ๆ

ความชันของเส้นตรง (slope)

ให้ $l$ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด $P_1(x_1 , y_1)$ และ $P_2(x_2 , y_2)$ โดยที่ $x_1 \neq x_2$

ความชันของเส้นตรง $l$ คือ $m = \frac{์y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$

เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน

เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน $Y$ จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากัน

สรุป $l_1$ ขนานกับ $l_2$ เมื่อ $m_1 = m_2$

เส้นตรงสองเส้นที่ตั้งฉากกัน

เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน $Y$ จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากับ −1

สรุป $l_1$ ตั้งฉากกับ $l_2$ เมื่อ $m_1 m_2 = -1$

สมการเส้นตรง (straight line)

สมการตั้งต้น

จากรูป สมมติให้เส้นตรงผ่านจุด $(x_1 , y_1)$ และจุด $(x , y)$ เป็นจุดใด ๆ บนกราฟเส้นตรง ดังรูป

จากรูป ความชัน $(m) = \frac{์y - y_1}{x - x_1}$

จะได้ว่า $y - y_1 = m(x - x_1)$ (เป็นสมการตั้งต้นสำหรับการสร้างสมการกราฟเส้นตรง)

สมการรูปมาตรฐาน

สมการเส้นตรงที่เขียนในรูป $y = mx + c$ ซึ่ง $m$ แทนความชันของเส้นตรง

และ $c$ เป็นค่าตัดแกน $y$ เรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปมาตรฐาน

สมการรูปทั่วไป

สมการเส้นตรงที่เขียนในรูป $Ax + By + C = 0$ โดยที่ $A , B$ และ $C$ เป็นค่าคงที่ และ $A$ และ $B$ ไม่เท่ากับ 0 พร้อมกัน เรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป

ถ้าเส้นตรงตัดแกน $X$ ที่จุด $(a , 0)$ จะเรียก $a$ ว่า ระยะตัดแกน $X$
และถ้าเส้นตรงตัดแกน $Y$ ที่จุด $(0 , b)$ จะเรียก $b$ ว่า ระยะตัดแกน $Y$
*** ระยะตัดแกน $X$ และระยะตัดแกน $Y$ เป็นได้ทั้งจำนวนบวก จำนวนลบ และศูนย์

ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง

การหาระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงเป็นหัวข้อสำคัญในเรขาคณิตวิเคราะห์ ซึ่งสูตรในการหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง $Ax + By + C = 0$ กับจุด $(x_1 , y_1)$ เมื่อ $A , B$ และ $C$ เป็นค่าคงตัว

โดยที่ $A$ และ $B$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

คือ $d = \frac{์|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน

เมื่อเรามีเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน สมการของเส้นตรงทั้งสองมีรูปแบบดังนี้

เส้นตรงแรก : $Ax + By + C_1 = 0$
เส้นตรงที่สอง : $Ax + By + C_2 = 0$

เส้นตรงทั้งสองเส้นมีความชันเท่ากันเท่ากับ $-\frac{์A}{B}$ ดังนั้น ทั้งสองเส้นเป็นเส้นตรงที่ขนานกัน

จะได้ว่า ระยะห่างระหว่างเส้นตรงทั้งสอง $(d) = \frac{์|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

สมัครเรียนพิเศษ คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ WE BY THE BRAIN คลิกเลย!

คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level รวมทุกบท

ตะลุยโจทย์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 กลุ่ม A รวมทุกบท

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 กลุ่ม B รวมทุกบท

เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย A-Level

ภาคตัดกรวย ม.4

หลังจากได้เรียนรู้เรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์กันไปแล้ว คราวนี้ตามพี่มาทำความรู้จักกับ ภาคตัดกรวย ต่อได้เลยครับ

โดย ภาคตัดกรวย คือ รูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย โดยรอยตัดของระนาบและกรวยทำให้เกิดกราฟ 4 แบบ ดังนี้

1. วงกลม

วงกลม คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุด ๆ หนึ่งที่ตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า “จุดศูนย์กลางของวงกลม” และส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลาย เรียกว่า “รัศมีของวงกลม”

สมการวงกลม

จากนิยามจะได้สมการวงกลม 2 รูปแบบ คือ รูปแบบมาตรฐาน และ รูปแบบทั่วไป

1. สมการวงกลมรูปแบบมาตรฐาน

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

เมื่อ $(h , k)$ เป็นจุดศูนย์กลาง และ $r$ เป็นรัศมี

2. สมการวงกลมรูปแบบทั่วไป

$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

จุดศูนย์กลาง = $(-\frac{A}{2} , -\frac{B}{2})$

$r$ = $\frac{1}{2}{\sqrt{A^2 + B^2 - 4C}}$

หรือ $r$ = $\sqrt{h^2 + k^2 - C}$

2. พาราโบลา

พาราโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจากจุดที่ตรึงอยู่กับที่จุดหนึ่งและเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่เส้นหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า “โฟกัสของพาราโบลา” และเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า “เส้นบังคับ” หรือ “ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา”

จากนิยามได้ว่า $PF =$ ระยะจากจุด $P$ ไปยังไดเรกตริกซ์

จากรูปจะได้ $PF = PA$ และ $QF = QB$

$F$ เรียกว่า จุดโฟกัส (Focus)
$V$ เรียกว่า จุดยอด (Vertex)
$S$ เรียกว่า แกนสมมาตร (Symmetric axis)
$di$ เรียกว่า เส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix)
เลตัสเรกตัม (latus rectum) คือ คอร์ดที่ตั้งฉากกับแกนของพาราโบลาและผ่านโฟกัสของพาราโบลา (ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนพาราโบลา เรียกว่า “คอร์ดของพาราโบลา”) มีความยาวเท่ากับ $|4p|$

สมการพาราโบลา

3. วงรี

วงรี คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ในเซตนั้นไปยังจุดที่ตรึงอยู่กับที่สองจุดมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนี้ต้องมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุด เรียกจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดนี้ว่า “โฟกัสของวงรี”

จากรูป $\overline{\hbox{{V_1 V_2}}}$ คือ แกนเอก (major axis) ของวงรี
โดย แกนเอกจะยาวเท่ากับ $2a$ หน่วย

$\overline{\hbox{{B_1 B_2}}}$ คือ แกนโท (minor axis) ของวงรี
โดย แกนโทจะยาวเท่ากับ $2b$ หน่วย

❤ จากนิยาม
$PF_1 + PF_2 = 2a =$ ความยาวแกนนอก

แกนเอกยาวที่สุด → $a > b , c$ เสมอ

ความสัมพันธ์ระหว่าง $a , b , c$
$a^2 = b^2 + c^2$

ความยาวของลาตัสเรกตัม $=\frac{2b^2}{a}$

ความเยื้องศูนย์กลาง

ความเยื้องศูนย์กลาง $(e) = \frac{c}{a}$

โดยที่ $0 < e < 1$

ถ้า $e$ มีค่าใกล้ 1 หรือ $c$ มีค่าเกือบจะเท่ากับ $a$ แล้ววงรีมีความรีมาก (มีรูปร่างเรียวยาว)

แต่ถ้า $e$ มีค่าใกล้ 0 แล้ววงรีมีความรีน้อย (รูปร่างใกล้เคียงกับวงกลม)

สมการวงรีในรูปมาตรฐาน

4. ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนี้ต้องน้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุด เรียกจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดนี้ว่า “โฟกัสของไฮเพอร์โบลา”

จากรูป ไฮเพอร์โบลาจะประกอบด้วยเส้นโค้ง 2 เส้น แต่ละเส้นเรียกว่า กิ่ง (branch)

$\overline{\hbox{{V_1 V_2}}}$ คือ แกนตามขวาง (transverse axis) ของไฮเพอร์โบลา โดย แกนตามขวาง จะยาวเท่ากับ $2a$ หน่วย

$\overline{\hbox{{B_1 B_2}}}$ คือ แกนสังยุค (conjugate axis) ของไฮเพอร์โบลา โดย แกนสังยุค จะยาวเท่ากับ $2b$ หน่วย

❤ จากนิยาม
$|PF_1 - PF_2| = 2a =$ ความยาวแกนตามขวาง

เนื่องจาก $c > a , b$ เสมอ

ความสัมพันธ์ระหว่าง $a , b , c$
$c^2 = a^2 + b^2$

ความยาวของลาตัสเรกตัม $=\frac{2b^2}{a}$

สมการไฮเพอร์โบลาในรูปมาตรฐาน

เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา (Asymptotes)

❤ 2 ขั้นง่าย ๆ สร้างเส้นกำกับไฮเพอร์โบลา (Asymptotes)

ขั้นที่ 1 สร้าง สี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง เป็นสี่เหลี่ยมที่มีด้านกว้าง , ยาวเท่ากับความยาวแกนตามขวางและแกนสังยุค กล่าวคือ เป็นสี่เหลี่ยมที่ครอบแกนตามขวางแลtแกนสังยุค ที่จุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลา

ขั้นที่ 2 ลาก เส้นกำกับ โดยเส้นกำกับ คือ เส้นตรงที่เป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง และเส้นกำกับจะตัดกันที่จุดศูนย์กลางไฮเพอร์โบลาเสมอ

ตัวอย่างข้อสอบคณิตศาสตร์ พร้อมเฉลย - เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

สำหรับน้อง ๆ ที่อยากจะได้แนวข้อสอบคณิตศาสตร์ไปฝึกซ้อมก่อนลงสนามสอบจริง พี่มี ข้อสอบคณิตศาสตร์ บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลยละเอียด มาฝากด้วยครับ จัดโจทย์ให้หลากหลายสนามสอบ ทั้งข้อสอบ Midterm / Final และข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย อย่างข้อสอบคณิต 1 วิชาสามัญ และข้อสอบ A-Level คณิต เราไปฝึกทำโจทย์พร้อมกันเลยดีกว่า!!

ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

ข้อสอบคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)
เกี่ยวกับ "เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย"

บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย เชื่อมโยงกับเนื้อหาคณิตบทไหนบ้าง?

สำหรับบทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4 ก่อนที่จะเรียนเรื่องนี้ พี่แนะนำว่าน้อง ๆ ควรทบทวนพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.ต้น ในเรื่องเรขาคณิต ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมการเชิงเส้นสองตัวแปร พาราโบลา และการแยกตัวประกอบของพหุนามมาก่อน

ซึ่งบทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย จะเชื่อมโยงไปยังอีกหลาย ๆ บทในคณิตศาสตร์ ม.ปลาย เช่น ฟังก์ชัน จำนวนเชิงซ้อน แคลคูลัส เป็นต้น และบทนี้ยังเป็นพื้นฐานสำคัญในการวาดกราฟด้วยครับ

เคล็ดลับเรียนบทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยยังไงให้เข้าใจ?

น้อง ๆ ควรฝึกวาดรูปเยอะ ๆ ครับ บทนี้ไม่ได้มีแค่เรื่องของการคิดเลข หรือแค่จำสูตรได้เท่านั้น แต่เราจะต้องใช้กราฟมาช่วยในการแก้โจทย์ด้วย ดังนั้น ถ้าอยากจะเรียนเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยให้เข้าใจและเห็นภาพ ต้องฝึกวาดกราฟ วาดรูปเยอะ ๆ และคิดตาม จะทำให้บทนี้เป็นเสมือนขนมหวานของน้อง ๆ เลยก็ว่าได้ครับ

“ภาคตัดกรวย” ขึ้นชื่อว่าเป็น “บทยาก” จริงมั้ย?

จริงครับ! เพราะบทนี้มีรูปกราฟเยอะ มีสูตรและสมการเยอะ มีส่วนประกอบกราฟที่ต้องเข้าใจและหาให้ได้หลายส่วนประกอบ ซึ่งถ้าเรารู้เทคนิคการจำ เทคนิคในการทำความเข้าใจ และเทคนิคในการทำโจทย์ ความคิดที่ว่าบทนี้ยากก็จะเปลี่ยนไปทันที และน้อง ๆ จะสามารถก้าวผ่านบทนี้ไปได้อย่างแน่นอน (ลองมาเจอกันในคอร์สได้ครับน้อง ๆ ^^)

บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ข้อสอบชอบออกแนวไหน?

สำหรับข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 หลัง ๆ มานี้ ข้อสอบจะออกแบบตรงไปตรงมา ประมาณ 2 – 3 ข้อ ขอแค่น้อง ๆ จัดรูปสมการที่โจทย์ให้มาให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้ และวิเคราะห์ส่วนประกอบของกราฟจากสมการได้ ก็จะสามารถทำข้อสอบ A-Level ได้แน่นอน

ส่วนข้อสอบคณิตศาสตร์ บทเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ที่ออกสอบในสนามแข่งขันต่าง ๆ หรือข้อสอบในโรงเรียน น้อง ๆ จะต้องเข้าใจสมการและวาดกราฟเป็นครับ เพราะบ่อยครั้งที่อาจารย์มักจะชอบหยิบกราฟหลาย ๆ แบบมาผสมกันในข้อเดียว (ห้อง Gifted หลาย ๆ โรงเรียนชอบเล่นแนวนี้!!)

หวังว่า สรุปเนื้อหาเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.ปลาย ที่พี่นำมาแจกให้ได้อ่านกันในวันนี้ จะช่วยให้น้อง ๆ มีความเข้าใจทั้งในเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยมากขึ้นนะครับ

สำหรับน้องคนไหนที่กำลังเรียนเรื่องนี้อยู่ แล้วรู้สึกว่ามันยาก เรียนไม่เข้าใจ แก้โจทย์ไม่เป็น ก็มาเจอกันใน คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทย่อย – เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ได้เลย เพราะพี่จะสอนแบบปูพื้นฐานให้แน่น สรุปเนื้อหากระชับเข้าใจง่าย มีโจทย์หลากหลายแนวให้ได้ฝึกฝนจนชำนาญ พร้อมสอนเทคนิคทริกลัดที่ช่วยให้แก้โจทย์ไว ใช้ทำข้อสอบได้จริง ใครอยากคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ หรือไม่อยากพลาดคะแนนสนามสอบสำคัญ รีบมาสมัครเรียนกันเลยครับ!!

ใครอยากเก่งคณิต อยากได้โจทย์และเทคนิคดี ๆ จากพี่ ๆ ติวเตอร์ WE MATH รีบกดติดตามก่อนใครได้ที่ช่องทางด้านล่างนี้เลย!

Facebook Page : WE BY THE BRAIN
Instagram : webythebrain
Youtube : WE BY THE BRAIN
Tiktok : คณิต เดอะเบรน
Lemon8 : คณิต เดอะเบรน