สมัครเรียนออนไลน์

สมัครเรียนออนไลน์

สรุปฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 | รวมสูตร + แนวข้อสอบ TCAS

November 1, 2024

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม หลายคนแค่เห็นชื่อบทก็คิดว่าต้องยากแน่ ๆ แต่จริง ๆ แล้วบทนี้ไม่ได้ยากมากอย่างที่กลัวกันเลยนะครับ ถ้าน้อง ๆ เรียนอย่างเข้าใจ จับหลักการสำคัญ จำสูตรและเทคนิคได้ บวกกับการฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอ บทนี้จะกลายเป็นบทเก็บคะแนน ไม่ว่าจะเป็นการสอบที่โรงเรียน หรือข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยอย่าง A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1

โดยฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมจะอยู่ในเนื้อหา คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 แต่ก็อาจจะมีบางโรงเรียนที่จัดไว้ในเนื้อหา ม.5 เทอม 1 ด้วยครับ แล้วสำหรับพื้นฐานความรู้ที่น้อง ๆ จะต้องมีเพื่อให้เรียนบทนี้ได้ดีและมีประสิทธิภาพ คือ ความรู้คณิตศาสตร์ ม.ต้น เรื่องเลขยกกำลัง, ราก, กรณฑ์ รวมถึงเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4

วันนี้ พี่กอล์ฟ – เดอะเบรน สรุปเนื้อหาบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม แบบครบทุกจุดสำคัญ พร้อมนำแนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและเฉลยละเอียดมาฝากกันด้วย ตามไปดูพร้อมกันได้เลยครับ 😊

ทบทวนพื้นฐานเลขยกกำลัง

ในช่วงต้นของบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมจะเป็นการทบทวนเรื่อง เลขยกกำลัง ซึ่งน้อง ๆ ได้เรียนกันมาแล้วตอน ม.ต้น อีกครั้งครับ เพราะเลขยกกำลังเป็นพื้นฐานที่สำคัญมาก ๆ ในบทนี้

บทนิยาม

ให้ $a$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

เรียก $a^n$ ว่า เลขยกกำลัง

เรียก $a$ ว่า ฐานของเลขยกกำลัง

เรียก $n$ ว่า เลขชี้กำลัง

สมบัติของเลขยกกำลัง

ให้ $a \: , \; b$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็น $0 \: , \; m$ และ $n$ เป็นจำนวนตรรกยะ

$a^m \cdot a^n \: = \: a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n} \: = \: a^{m-n}$
${(a^m)}^n \: = \: a^{mn}$
${(ab)}^n \: = \: {a^n}{b^n}$
${\left(\frac{a}{b}\right)}^n \: = \: \frac{a^n}{b^n}$
$a^0 \: = \: 1$
$a^{-n} \: = \: \frac{1}{a^n}$

รากที่สองและรากที่ n ในระบบจำนวนจริง

รากที่สองในระบบจำนวนจริง

บทนิยาม

ให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง

$y$ เป็นรากที่สองของ $x$ ก็ต่อเมื่อ $y^2 \: = \: x$

รากที่ n ในระบบจำนวนจริง

บทนิยาม

ให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า $1$

$y$ เป็นรากที่ $n$ ของ $x$ ก็ต่อเมื่อ $y^n \: = \: x$

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ (ค่าหลักของรากที่ n)

บทนิยาม

ให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า $1$

$y$ เป็นค่าหลักของรากที่ $n$ ของ $x$ ก็ต่อเมื่อ

$y$ เป็นรากที่ $n$ ของ $x$ และ
$xy \: \geq \: 0 \:$

แทนค่าหลักของรากที่ $n$ ของ $x$ ด้วย $\sqrt[n]{x}$ อ่านว่า กรณฑ์ที่ $n$ ของ $x$

การแก้สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

บทนิยาม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป $\{ (x \: , \: y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+ \mid \: y \: = \: a^x \}$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $a > 0$ และ $a \neq 1$

จากนิยาม พบว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะมีความสัมพันธ์แบบเลขยกกำลัง โดยมีเลขชี้กำลังเป็นตัวแปร และฐานเป็นจำนวนจริง เช่น $y \: = \: 2^x \: , \; y \: = \: 5^x \: , \; y \: = \: {\left( \frac{2}{3} \right)}^x$

แต่ถ้าเป็น $y \: = \: x^2 \: , \; y \: = \: x^5$ แบบนี้จะไม่ใช่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลครับ

กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล สามารถแบ่งได้เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม กับ ฟังก์ชันลด โดยดูจากฐาน ( $a$ ) ของ $y \: = \: a^x$

ถ้า $a > 1$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม เช่น $y \: = \: 5^x \: , \; y \: = \: 3^x$
ถ้า $0 < a < 1$ จะเป็นฟังก์ชันลด เช่น $y \: = \: {\left( \frac{1}{2} \right)}^x \: , \; y \: = \: {\left( \frac{4}{7} \right)}^x$

ลักษณะกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

สมการเอกซ์โพเนนเชียล

สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังติดตัวแปร มีหลักการแก้สมการดังนี้

หลักการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล

1. ทำฐานทั้ง 2 ข้างของสมการให้เท่ากัน

ถ้า $a^m \: = \: a^n$ แล้ว $m \: = \: n$

2. ถ้าฐานไม่เท่ากัน แต่เลขชี้กำลังเท่ากัน ให้อ้างว่าเลขชี้กำลังเท่ากับศูนย์

ถ้า $a^m \: = \: b^m$ แล้ว $m \: = \: 0$

อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล จะใช้หลักการของฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

Note สำหรับเครื่องหมาย $< \: , \; \le \: , \; \ge$ ก็ใช้หลักการเดียวกัน

ฟังก์ชันลอการิทึม

บทนิยาม

ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป $\{ (x \: , \: y) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \mid \: y \: = \: \log_{a}x \}$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $a > 0$ และ $a \neq 1$

ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล นั่นคือ

$x \: = \: a^y$ ก็ต่อเมื่อ $y \: = \: \log_{a}x$

จากนิยามด้านบน มีจุดที่น้อง ๆ ต้องระมัดระวัง คือ

เลขที่อยู่ด้านหลัง $\log$ ต้องมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ
ฐานของ $\log$ ต้องเป็นจำนวนจริงบวก และไม่เท่ากับหนึ่ง

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จะคล้ายกับกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ แบ่งได้เป็นฟังก์ชันเพิ่มกับฟังก์ชันลด โดยดูจากฐาน ( $a$ ) ของ $y \: = \: log_{a}x$

ถ้า $a > 1$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม เช่น $y \: = \: \log_{2}x \: , \; y \: = \: \log_{7}x$
ถ้า $0 < a < 1$ จะเป็นฟังก์ชันลด เช่น $y \: = \: \log_{\frac{์1}{2}}x \: , \; y \: = \: \log_{\frac{์4}{9}}x$

ลักษณะกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

ลอการิทึมสามัญ

ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับสิบ และโดยทั่ว ๆ ไป ลอการิทึมฐาน 10 จะไม่นิยมเขียนฐาน เช่น $\log{x} \: = \: \log_{10}x \: , \; \log{15} \: = \: \log_{10}15$

ลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติ หรือ ลอการิทึมแบบเนเปียร์ คือ ลอการิทึมฐาน $e$ เมื่อ $e$ เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวนอตรรกยะจำนวนหนึ่งซึ่งมีค่าประมาณ $2.71828182846$ นิยมเขียน $\ln{x}$ แทน $\log_{e}x$

สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม

ในการเรียนบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 สมบัติต่าง ๆ ของฟังก์ชันลอการิทึมนับเป็นหัวใจสำคัญของบทนี้ครับ น้อง ๆ จะต้องจำสมบัติต่าง ๆ เหล่านี้ให้แม่นยำ เพราะจะถูกนำมาใช้ตลอดทั้งการคำนวณค่าตัวเลข จนถึงการแก้สมการและอสมการลอการิทึมเลย

ให้ $a \: , \; b \: , \; c \: , \; M$ และ $N$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ $a \neq 1 \: , \; b \neq 1 \: , \; c \neq 1$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

$\log_{a}1 \: = \: 0$
$\log_{a}a \: = \: 1$
$\log_{a}(MN) \: = \: \log_{a}M + \log_{a}N$
$\log_{a}\left( \frac{M}{N} \right) \: = \: \log_{a}M - \log_{a}N$
$\log_{a}M^k \: = \: k\log_{a}M$
$\log_{a^k}M \: = \: {\frac{1}{k}}\log_{a}M$ เมื่อ $k \neq 0$
$\log_{b}a \: = \: \frac{log_{c}a}{log_{c}b}$
$\log_{b}a \: = \: \frac{1}{log_{a}b}$
$a^{log_{a}M} \: = \: M$
$a^{\log_{b}C} \: = \: C^{\log_{b}a}$

สมการลอการิทึม

หลักการแก้สมการลอการิทึม

ให้ $a > 0$ และ $a \neq 1$ ถ้า $\log_{a}m \: = \: \log_{a}n$ แล้ว $m \: = \: n$

ข้อควรระวัง! ทุกครั้งที่แก้สมการลอการิทึมเสร็จ น้อง ๆ จะต้องนำคำตอบที่ได้ไปตรวจสอบเสมอนะครับ โดยต้องตรวจสอบ 2 ที่ คือ

เลขที่อยู่ด้านหลัง $\log$ ต้องมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ
ฐานของ $\log$ ต้องเป็นจำนวนจริงบวก และไม่เท่ากับหนึ่ง

อสมการลอการิทึม

การแก้อสมการลอการิทึม จะใช้หลักการของฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

Note สำหรับเครื่องหมาย $< \: , \; \le \: , \; \ge$ ก็ใช้หลักการเดียวกัน

การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

สำหรับความรู้ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับศาสตร์ด้านอื่น ๆ ได้มากมาย ทั้งฟิสิกส์, เคมี, เศรษฐศาสตร์ ฯลฯ ยกตัวอย่างเช่น

1. การคำนวณระดับความเข้มเสียง

ระดับเสียง (Sound Level) เป็นการเปรียบเทียบความเข้มเสียงนั้นกับความเข้มเสียงเบาที่สุดที่มนุษย์ได้ยิน เนื่องจากความเข้มเสียงที่มนุษย์ได้ยินอยู่ในช่วง วัตต์ต่อตารางเมตร ถึง 1 วัตต์ต่อตารางเมตร ซึ่งเป็นช่วงที่กว้างมาก ดังนั้น เพื่อความสะดวกในการจัดลำดับความเข้มเสียง จึงนิยมใช้ระดับเสียงเป็นตัวบอกความดังของเสียงแทนความเข้มของเสียง ซึ่งสามารถคำนวณได้ดังนี้ $10^{-12}$

$\beta \: = \: 10 \log \frac{์I}{I_0}$

เมื่อ $\beta$ แทน ระดับเสียง มีหน่วยเป็นเดซิเบล

$I$ แทน ความเข้มเสียงที่ต้องการวัด มีหน่วยเป็นวัตต์ต่อตารางเมตร

$I_0$ แทน ความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่มได้ยิน ซึ่งเท่ากับ $10^{-12}$ วัตต์ต่อตารางเมตร

2. การคำนวณระดับความเป็นกรด – เบส

ระดับความเป็นกรด – เบส (pH) ของสารละลาย สามารถคำนวณได้ดังนี้

$pH \: = \: {-\log} \left[ H_{3}O^{+} \right]$

เมื่อ $pH$ แทน ระดับความเป็นกรด – เบสของสารละลาย

$\left[ H_{3}O^{+} \right]$ แทน ความเข้มข้นของไฮโดรเจนไอออน มีหน่วยเป็นโมลต่อลิตร

3. การคำนวณดอกเบี้ยทบต้น

การฝากเงินที่มีการคิด ดอกเบี้ยทบต้นต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทุกสิ้นปี สามารถคำนวณได้ดังนี้

$B(n) \: = \: B_{0}(1+r)^n$

เมื่อ $B(n)$ แทน จำนวนเงินฝากในบัญชี เมื่อสิ้นสุดปีที่ $n$

$B_0$ แทน จำนวนเงินฝากเริ่มต้น

$r$ แทน อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อปี

4. การคำนวณการเพิ่มขึ้นของจำนวนแบคทีเรีย

การเพิ่มขึ้นของจำนวนแบคทีเรีย ซึ่งเป็นไปอย่างต่อเนื่องตลอดเวลา สามารถคำนวณได้ดังนี้

$n(t) \: = \: n_{0}e^{rt}$

เมื่อ $n(t)$ แทน จำนวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผ่านไป $t$ ชั่วโมง

$n_0$ แทน จำนวนแบคทีเรียเมื่อเวลาเริ่มต้น

$r$ แทน อัตราการเพิ่มขึ้นของจำนวนแบคทีเรียต่อเวลา

แนวข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลยละเอียด

นอกจากจะมีสรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 มาฝากน้อง ๆ แล้ว พี่มี ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลยละเอียด มาให้น้อง ๆ ได้ดูเป็นแนวทางสำหรับเตรียมความพร้อมก่อนสอบด้วยครับ ตามไปดูเลย!

โจทย์ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ข้อที่ 1

โจทย์ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ข้อที่ 2

โจทย์ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ข้อที่ 3

ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 3 (1)

ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 3 (2)

โจทย์ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ข้อที่ 4

โจทย์ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ข้อที่ 5

สรุป ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4

และนี่คือ สรุปเนื้อหา สูตรสำคัญ และแนวข้อสอบบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ที่น้อง ๆ ควรรู้ก่อนเข้าห้องสอบนะครับ จะเห็นว่าบทนี้ไม่ได้ยากอย่างที่หลาย ๆ คนกลัวกันเลย

ซึ่งจุดเน้นในบทนี้ที่ข้อสอบมักจะออกบ่อย ๆ ทั้งข้อสอบกลางภาค – ข้อสอบปลายภาค ไปจนถึงข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย อย่าง ข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 ก็คือ

สมการ ทั้งสมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทึม
อสมการ ทั้งอสมการเอกซ์โพเนนเชียลและอสมการลอการิทึม
การใช้สมบัติของลอการิทึมในการคำนวณเลข
กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม
โจทย์ปัญหาต่าง ๆ เกี่ยวกับเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

ถ้าทบทวนตามหัวข้อเหล่านี้และฝึกฝนทำโจทย์ให้คล่อง พี่มั่นใจว่าน้อง ๆ จะต้องเก็บคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์บทนี้ได้อย่างแน่นอนครับ

ติวคณิตศาสตร์ ม.4 กับ "เดอะเบรน" พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบแข่งขัน

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 กลุ่ม A รวมทุกบท

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 กลุ่ม A รวมทุกบท

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

สำหรับน้อง ๆ ที่อยากจะเรียนบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมให้เข้าใจและทำโจทย์แม่นขึ้น พี่แนะนำให้สมัครเรียน คอร์สคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 กับ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ

เพราะในคอร์สสรุปเนื้อหาครบถ้วน กระชับ เข้าใจง่าย พร้อมทั้งมีโจทย์หลายแนวให้น้อง ๆ ได้ฝึกฝน และยังได้เรียนรู้เทคนิคทริกลัดที่จะช่วยให้แก้โจทย์เร็วขึ้น เพิ่มโอกาสคว้าเกรด 4 อย่างมั่นใจ และเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในอนาคตด้วย ✌️

📌สมัครคอร์สนี้ดียังไง?

✓ เนื้อหาในคอร์สเรียนตรงตามหลักสูตร สสวท. ครบถ้วน กระชับ ช่วยปูพื้นฐานให้อย่างละเอียด

✓ พาฝึกทำโจทย์อย่างเข้มข้นเป็นขั้นตอน ไล่ระดับตั้งแต่ง่าย ปานกลาง ไปจนถึงยาก ที่เป็นข้อสอบแข่งขันจากสนามสอบต่าง ๆ ทั้งในและต่างประเทศ

✓ พร้อมเสริมเทคนิคลัด ที่จะช่วยให้ทำข้อสอบปรนัยได้รวดเร็วขึ้น

✓ สอนโดยทีมติวเตอร์คณิตศาสตร์ระดับประเทศ ด้วยเทคนิคการสอนที่เข้าใจง่าย ช่วยให้การเรียนคณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องยากและกลายเป็นเรื่องสนุก

✓ เหมาะสำหรับน้อง ๆ ที่ต้องการคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ และเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์1 A-Level

รีวิวน้อง ๆ DEK WE คว้าเกรด 4 คณิตศาสตร์ ม.ต้น - ม.ปลาย

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเอิงเอย - น้องเอย พิชิตเกรด 4 คณิตศาสตร์และที่ 1 ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องใบบุญ - น้องแอมเบอร์ พิชิตเกรด 4 คณิตศาสตร์และที่ 1 ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องไอด้า - น้องพาหุง พิชิตเกรด 4 คณิตศาสตร์และที่ 1 ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องญาดา - น้องมายด์ พิชิตเกรด 4 คณิตศาสตร์และที่ 1 ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องไหม - น้องซิน พิชิตเกรด 4 คณิตศาสตร์และที่ 1 ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องโฟกัส - น้องเชียร์ พิชิตเกรด 4 และที่ 1 ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องข้าวเม่า - น้องปัณปัณ พิชิตเกรด 4 และที่ 1 ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องพริตตี้ - น้องทอฝัน พิชิตเกรด 4 และที่ 1 ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องต้นน้ำและน้องริช พิชิตเกรด4วิชาคณิตและที่ 1ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องนานาและน้องจีจี้ พิชิตเกรด4วิชาคณิตและที่ 1ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องดี๊ดีและน้องมินนี่ พิชิตเกรด4วิชาคณิตและที่ 1ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องแป้งและน้องเดียร์ พิชิตเกรด4วิชาคณิตและที่ 1ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องต้นหอมและน้องโบนัส พิชิตเกรด4วิชาคณิตและที่ 1ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องพลอยใสและน้องออร์แกน พิชิตเกรด4วิชาคณิตและที่ 1ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเอยและน้องไผ่ พิชิตเกรด4วิชาคณิตและที่ 1ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องวาโยและน้องตุลย์ พิชิตเกรด4วิชาคณิตและที่ 1ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องหยกและน้องลายเส้น พิชิตเกรด4วิชาคณิตและที่ 1ระดับชั้น

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องนุกนิก - น้องอัส คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องพราว - น้องออม คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเชอร์รี่ - น้องแจน คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องสมาร์ท - น้องเจแปน คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องไปเปอร์ - น้องอิ๊น คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องปลื้ม - น้องแอมเบอร์ คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเดียว - น้องนกยูง คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องซีน - น้องบิว คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องชมพู่ - น้องก้อย คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องกีต้าร์ - น้องคอตต้อน คณิตศาสตร์ เกรด 4

น้อง ๆ ที่สนใจสมัครติวคณิตศาสตร์ ม.4 กับ “เดอะเบรน” สามารถ กดปุ่ม Add Line ด้านล่างเพื่อรับคำปรึกษาและวางแผนการเรียนกับ “พี่วีวี่” ได้เลย ❤︎

❝ เรียนออนไลน์ง่าย สะดวก ทุกที่ทุกเวลา ❞

เรียนคณิตออนไลน์ผ่านแอป WE PLUS ONLINE
จัดสรรเวลาเรียนตามต้องการ
ถามโจทย์หรือปัญหาต่าง ๆ กับติวเตอร์เดอะเบรนได้โดยตรง
พี่ ๆ ติวเตอร์จะตอบคำถามด้วยตนเองและตอบกลับน้อง ๆ ภายใน 24 ชั่วโมง

คณิตศาสตร์ ม.ปลาย, คณิตศาสตร์ ม.4, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

Picture of อ.ชวลิต กุลกีรติการ (พี่กอล์ฟ)

อ.ชวลิต กุลกีรติการ (พี่กอล์ฟ)

วิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เกียรตินิยม ประสบการณ์การสอน 24 ปี

คอร์สแนะนำ

วางแผนการเรียน

DEK WE SUCCESS

โปรโมชัน

บทความแนะนำ

สรุปสูตรอนุกรมเลขคณิต ม.6 พร้อมตัวอย่างแนวโจทย์ที่น้อง ๆ ต้องรู้!

คณิตศาสตร์

สรุปสูตรอนุกรมเลขคณิต ม.6 พร้อมตัวอย่างแนวโจทย์ที่น้อง ๆ ต้องรู้!

23/05/2025

“ตรีโกณมิติ” ยากตรงไหน? เรียนตรีโกณยังไงให้เข้าใจ โดยพี่ช้าง เดอะเบรน

คณิตศาสตร์

“ตรีโกณมิติ” ยากตรงไหน? เรียนตรีโกณยังไงให้เข้าใจ โดยพี่ช้าง เดอะเบรน

30/12/2024

5 เคล็ดลับเรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้เข้าใจ เก่งขึ้นได้จริง!

คณิตศาสตร์

5 เคล็ดลับเรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้เข้าใจ เก่งขึ้นได้จริง!

25/12/2024

คณิตศาสตร์

สรุป เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4 พร้อมแนวข้อสอบและเฉลยละเอียด

30/11/2024

โรงเรียนกวดวิชา WE BY THE BRAIN (เดอะเบรน) มุ่งสร้างความสำเร็จอย่างต่อเนื่อง เพื่อทุกความฝันของเด็กไทยมากว่า 39 ปี การันตีความเป็นมืออาชีพด้านคุณภาพการเรียนการสอน ได้รับความไว้วางใจจากน้อง ๆ นักเรียนมากกว่า 2 ล้านคน

เกี่ยวกับ WE

คอร์สเรียน

ติดต่อเรา

โรงเรียนกวดวิชา WE BY THE BRAIN (สำนักงานใหญ่) 215 ถ.งามวงศ์วาน ต.บางเขน อ.เมือง จ.นนทบุรี 11000

WE CARE

เปิดบริการทุกวัน 10.00-19.00 น.
โทร : 02-952-6767
Line : @weplus_care

© WE BY THE BRAIN. 2026 ALL RIGHT RESERVED.

Top