สรุปเวกเตอร์ ม.5 | สูตรสำคัญ & ตัวอย่างโจทย์ TCAS พร้อมเฉลยละเอียด

November 22, 2024

เวกเตอร์ ม.5 ถือเป็นบทขนาดกลางและมีความยากระดับปานกลางใน คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ซึ่งที่ผ่านมาข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ จะออกบทนี้ทุกปี ปีละ 2 ข้อครับ

เนื้อหาบทเวกเตอร์นี้ จะพูดถึงทั้งเวกเตอร์ 2 มิติ และเวกเตอร์ 3 มิติ โดยหัวข้อหลัก ๆ ที่น้องต้องทำความเข้าใจ “พี่เอ๋ – เดอะเบรน” สรุปมาให้เป็น 3 หัวข้อดังนี้

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ เช่น นิยามต่าง ๆ, การบวกลบเวกเตอร์, การเท่ากันของเวกเตอร์, การสร้างเวกเตอร์, เวกเตอร์ 1 หน่วย, การขนานกันและตั้งฉากกันของเวกเตอร์ เป็นต้น
ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Scalar product or Dot product)
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross product) และการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม ตลอดจนปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พูดง่าย ๆ ว่า ถ้าบทนี้น้อง ๆ เข้าใจนิยามและความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์, Dot เวกเตอร์ได้ และ Cross เวกเตอร์เป็น น้องก็จะเก็บคะแนนบทนี้ได้ไม่ยากเลย

วันนี้พี่เอ๋มี สรุปเนื้อหาเวกเตอร์ ม.5 มาแจกให้น้อง ๆ ได้อ่านทวนก่อนสอบ โดยสรุปให้ครบถ้วนทั้งหัวข้อและสูตรสำคัญ พร้อมตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและเฉลยละเอียด ตามมาดูกันเลยครับ 😁

ความรู้พื้นฐานที่ควรรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์

เริ่มต้นบทเวกเตอร์ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 น้อง ๆ จะได้เรียนเรื่อง ความรู้พื้นฐานที่ควรทราบเกี่ยวกับเวกเตอร์ ครับ

ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity)

ปริมาณเวกเตอร์ คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เมื่อต้องกล่าวถึงปริมาณเวกเตอร์จะต้องระบุทั้งขนาดและทิศทางจึงจะได้ความหมายที่ชัดเจน เช่น แรง, การกระจัด, น้ำหนัก, ความเร็ว, ความเร่ง เป็นต้น

ปริมาณเวกเตอร์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เวกเตอร์ จะแทนด้วย ส่วนของเส้นตรงที่มีหัวลูกศร (directed segment) โดย ความยาว ของส่วนของเส้นตรงบอกถึง ขนาดของเวกเตอร์ และ หัวลูกศร บอกถึง ทิศทางของเวกเตอร์

จากรูปจะแสดงเวกเตอร์จาก $A$ ไป $B$ อ่านว่า เวกเตอร์ เอบี เขียนแทนด้วย $\overrightarrow{AB}$ , $\overset{\rightharpoonup}{AB}$ , $\overline{AB}$ หรืออาจใช้สัญลักษณ์อื่นแทน เช่น $\overline{u}$

โดยเรียก $A$ ว่า จุดเริ่มต้น (initial point) ของเวกเตอร์
และเรียก $B$ ว่า จุดสิ้นสุด (terminal point) ของเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดเวกเตอร์ คือ ความยาวของเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย | $\overline{AB}$ | หรือ | $\overline{u}$ |

เวกเตอร์ศูนย์

เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย $\overline{0}$ หรือ $\overset{\rightharpoonup}{0}$ (จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดเดียวกัน)

**โดยทั่วไปจะไม่กล่าวถึงทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์**

เวกเตอร์ที่ขนานกัน

$\overline{u}$ และ $\overline{v}$ ที่เป็นเวกเตอร์ขนานกัน จะแบ่งได้ 2 กรณี คือ

1) เวกเตอร์ทั้งสองมีทิศเดียวกัน

2) เวกเตอร์ทั้งสองมีทิศตรงข้าม

$\overline{u}$ ขนานกับ $\overline{v}$ เขียนแทนด้วย $\overline{u}$ // $\overline{v}$

เวกเตอร์ที่เท่ากัน

$\overline{u}$ เท่ากับ $\overline{v}$ ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน ดังรูป

จากรูป $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ มีทิศเดียวกันและ | $\overline{u}$ | = | $\overline{v}$ | เขียนแทนด้วย $\overline{u}$ = $\overline{v}$

❤︎ ขนาดเท่ากัน ทิศเดียวกัน

นิเสธของเวกเตอร์

นิเสธของ $\overline{u}$ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของ $\overline{u}$ แต่มีทิศทางตรงข้ามกับทิศทางของ $\overline{u}$ เขียนแทนด้วย $-\overline{u}$ ดังรูป

จากรูป นิเสธของ $\overline{u}$ คือ $-\overline{u}$ , นิเสธของ $\overline{AB}$ = $-\overline{AB}$ = $\overline{BA}$

❤︎ ขนาดเท่า ทิศตรงข้าม

การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ $a$ เป็นสเกลาร์ และ $\overline{u}$ เป็นเวกเตอร์ ผลคูณของเวกเตอร์ $\overline{u}$ กับสเกลาร์ $a$ เขียนแทนด้วย $a\overline{u}$ โดยที่

ถ้า $a = 0$ แล้ว $a\overline{u} = \overline{0}$
ถ้า $a > 0$ แล้ว $a\overline{u}$ จะมีขนาดเท่ากับ | $a$ || $\overline{u}$ | และมีทิศเดียวกับ $\overline{u}$
ถ้า $a < 0$ แล้ว $a\overline{u}$ จะมีขนาดเท่ากับ | $a$ || $\overline{u}$ | แต่มีทิศตรงข้ามกับ $\overline{u}$

สมบัติการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง (สเกลาร์)

$a\overline{u}$ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ
(สมบัติปิด)
$a(b\overline{u}) = (ab)\overline{u}$
(สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม)
$(a+b)\overline{u} = a\overline{u} + b\overline{u}$
$a(\overline{u} + \overline{v}) = a\overline{u} + a\overline{v}$
(สมบัติการแจกแจง)
$1\overline{u} = \overline{u}$ และ $0\overline{u} = \overline{u}0 = \overline{0}$

การบวกเวกเตอร์

หัวข้อต่อมาในคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทเวกเตอร์ น้อง ๆ จะได้เรียนเรื่อง การบวกเวกเตอร์ ครับ ไม่ว่าจะเป็นการบวกเวกเตอร์แบบต่าง ๆ รวมถึงสมบัติการบวกเวกเตอร์ที่น้อง ๆ ต้องรู้

การบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหัว

ให้ยึดหลัก “หางต่อหัว ลากเส้นปิด ทิศลัพธ์อยู่ที่หัว”

❤︎ ข้อสังเกต

จะเห็นว่า $\overline{u} + \overline{v} = \overline{v} + \overline{u}$

แสดงว่า การบวกกันของเวกเตอร์สามารถสลับที่ได้

การบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหาง

ให้ยึดหลัก “หางต่อหาง สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ลัพธ์ทแยงมุมผ่ากลาง”

สมบัติการบวกเวกเตอร์

ให้ $\overline{u}$ , $\overline{v}$ และ $\overline{w}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ

$\overline{u} + \overline{v}$ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ (สมบัติปิด)
$\overline{u} + \overline{v} = \overline{v} + \overline{u}$ (สมบัติการสลับที่)
$\overline{u} + \left( \overline{v} + \overline{w} \right) = \left( \overline{u} + \overline{v} \right) + \overline{w}$ (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้)
$\overline{0} + \overline{u} = \overline{u} + \overline{0} = \overline{u}$ (สมบัติการมีเอกลักษณ์)
$\overline{u} + \left( -\overline{u} \right) = \left( -\overline{u} \right) + \overline{u} = \overline{0}$ (สมบัติการมีอินเวอร์ส)
ถ้า $\overline{u} = \overline{v}$ แล้ว $\overline{w} + \overline{u} = \overline{w} + \overline{v}$ (สมบัติการบวกด้วยเวกเตอร์ที่เท่ากัน)

การลบเวกเตอร์

พอเรียนเรื่องการบวกเวกเตอร์แล้ว หัวข้อต่อมาที่น้อง ๆ จะได้เจอในบทนี้ก็คือ การลบเวกเตอร์ แบบต่าง ๆ ครับ

การลบเวกเตอร์แบบกลับทิศตัวติดลบ

ให้ยึดหลัก “การลบเวกเตอร์ คือ การบวกเวกเตอร์ แต่กลับทิศตัวติดลบ”

การลบเวกเตอร์แบบหางต่อหาง

ให้ยึดหลัก “หางต่อหาง ลากเส้นปิด ทิศลัพธ์อยู่ที่ตัวตั้ง”

Concept สำคัญที่ต้องรู้ในเรื่องเวกเตอร์

สำหรับ $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ ที่ต่างไม่เท่ากับ $\overline{0}$ , $\overline{u}$ // $\overline{v}$ ก็ต่อเมื่อ

มีจำนวนจริง $a$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ที่ทำให้ $\overline{u} = a\overline{v}$

โดย $a > 0$ เมื่อ $\overline{u}$ มีทิศเดียวกับ $\overline{v}$
$a < 0$ เมื่อ $\overline{u}$ มีทิศตรงข้าม $\overline{v}$

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยใน 2 มิติ และ 3 มิติ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย เมื่อต้องการหาเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย และมีทิศเดียวกันกับ $\overline{u}$

จะสามารถหาได้จาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u} = \hat{u} = \frac{\overline{u}}{\lvert \overline{u} \rvert}$

และเมื่อต้องการหาเวกเตอร์ที่ขนานกับเวกเตอร์ $\overline{u}$ และมีขนาดตามที่ต้องการ
เช่น เวกเตอร์ที่มีขนาด 3 หน่วย มีทิศเดียวกันกับ $\overline{u}$
จะได้ว่า เวกเตอร์ดังกล่าว คือ $3\frac{\overline{u}}{\lvert \overline{u} \rvert}$

หากต้องการเวกเตอร์ที่มีขนาด 5 หน่วย มีทิศตรงกันข้ามกับ $\overline{u}$
จะได้ว่า เวกเตอร์ดังกล่าว คือ $-5\frac{\overline{u}}{\lvert \overline{u} \rvert}$

แสดงว่า

เวกเตอร์ 2 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $2\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

เวกเตอร์ 3 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $3\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

$\vdots\\{}$

เวกเตอร์ $a$ หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $a\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

เวกเตอร์ 1 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $-\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

เวกเตอร์ 2 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $-2\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

$\vdots\\{}$

เวกเตอร์ $a$ หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $-a\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

เวกเตอร์ 1 หน่วยตามแนวแกน x, y และ z

$\overline{i}$ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วย ชี้ไปตามแกน + x

$\overline{j}$ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วย ชี้ไปตามแกน + y

$\overline{k}$ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วย ชี้ไปตามแกน + z

การสร้างเวกเตอร์เมื่อทราบพิกัดจุดปลายและจุดตั้งต้นของเวกเตอร์

ในการสร้างเวกเตอร์ เมื่อทราบพิกัดจุดปลายและจุดตั้งต้น ไม่ว่า 2 มิติ หรือ 3 มิติ จะใช้หลัก ปลาย – ตั้งต้น

❤︎ สำหรับเวกเตอร์ใน 2 มิติ

$\overline{u}$ // $\overline{v}$ เมื่อ $m_{\overline{u}}$ = $m_{\overline{v}}$ (ขนานกัน ความชันเท่า)

$\overline{u}$ ⊥ $\overline{v}$ เมื่อ $m_{\overline{u}}$ • $m_{\overline{v}}$ = -1 (ตั้งฉากกัน ผลคูณความชันเป็น -1)

สมบัติการเท่ากันของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ และเวกเตอร์ศูนย์

เวกเตอร์ใน 2 มิติ

เวกเตอร์ใน 3 มิติ

สมบัติเพิ่มเติมเกี่ยวกับการบวก, ลบเวกเตอร์ใน 2 มิติ และ 3 มิติ

ให้ $\overline{u}$ , $\overline{v}$ และ $\overline{w}$ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน 2 มิติ หรือ 3 มิติ โดย $\alpha$ , $\beta$ เป็นจำนวนจริง

$\alpha \left( \overline{u} \pm \overline{v}) = \alpha \overline{u} \pm \alpha \overline{v}$
$\left( \alpha \pm \beta \right) \overline{u} = \alpha \overline{u} \pm \beta \overline{u}$
${\lvert \overline{u} + \overline{v} \rvert} \leq {\lvert \overline{u} \rvert} + {\lvert \overline{v} \rvert}$

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product หรือ dot product)

เมื่อ $\overline{u}$ • $\overline{v}$ คือ ผลคูณเชิงสเกลาร์ $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ (ผลลัพธ์ที่ได้เป็นสเกลาร์) จะสามารถหาได้ 2 วิธี คือ

วิธีที่ 1

วิธีที่ 2

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

สมบัติเกี่ยวกับการ dot vector ใน 2 มิติ และ 3 มิติ

$\overline{i} \cdot \overline{i}$ = $\overline{j} \cdot \overline{j}$ = $\overline{k} \cdot \overline{k}$ = $1$
$\overline{i} \cdot \overline{j}$ = $\overline{j} \cdot \overline{k}$ = $\overline{i} \cdot \overline{k}$ = $0$ ( $\overline{i}$ , $\overline{j}$ และ $\overline{k}$ ตั้งฉากซึ่งกันและกัน)
$\overline{u} \cdot \overline{v}$ = $\overline{v} \cdot \overline{u}$ (สมบัติการสลับที่)
$m\left( \overline{u} \cdot \overline{v} \right)$ = $\left( m\overline{u} \right) \cdot \overline{v}$ = $\overline{u} \cdot \left( m\overline{v} \right)$
$\overline{u} \cdot \left( \overline{v} \pm \overline{w} \right)$ = $\overline{u} \cdot \overline{v} \pm \overline{u} \cdot \overline{w}$ (สมบัติการแจกแจง)
$\overline{u} \cdot \overline{u}$ = ${\lvert \overline{u} \rvert}^2$
ถ้า $\overline{u}$ , $\overline{v} \neq \overline{0}$ จะได้ว่า $\overline{u}$ ตั้งฉากกับ $\overline{v}$ ก็ต่อเมื่อ $\overline{u} \cdot \overline{v}$ = $0$

SPECIAL DOT FORMULA

❤︎ Note

ถ้า $\lvert \overline{u} + \overline{v} \rvert$ = $\lvert \overline{u} - \overline{v} \rvert$ แล้วจะได้ว่า $\overline{u}$ ⊥ $\overline{v}$ และ $\overline{u} \cdot \overline{v}$ = $0$

Projection vector ใน 2 มิติ และ 3 มิติ

$Proj_{\overline{v}}\overline{u}$ คือ Projection ของ $\overline{u}$ บน $\overline{v}$ ( $\overline{v}$ เป็นฉาก)

$Proj_{\overline{u}}\overline{v}$ คือ Projection ของ $\overline{v}$ บน $\overline{u}$ ( $\overline{u}$ เป็นฉาก)

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 5

ภาพฉายของจุดบนระนาบต่าง ๆ

ถ้าเราลากเส้นผ่านจุด $P(x, y, z)$ ให้ขนานแกน $z$ ไปตัดกับระนาบ $xy$ จะได้จุดตัดมีพิกัดเป็น $Q(x, y, 0)$ เรียกจุดนี้ว่าเป็นภาพฉายของจุด $P$ บนระนาบ $xy$

ในทำนองเดียวกันจะเรียกจุด $R(0, y, z)$ ว่าเป็นภาพฉายของ $P$ บนระนาบ $yz$ และเรียกจุด $S(x, 0, z)$ ว่าเป็นภาพฉายของจุด $P$ บนระนาบ $xz$

การหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ถ้า $\overline{P}$ เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด $A(x_1 , y_1 , z_1)$ และจุด $B(x_2 , y_2 , z_3)$

จะได้ $\overline{P} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$

การหาจุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ถ้า $\overline{C}$ เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐาน $A(x_1 , y_1 , z_1)$ และ $B(x_2, y_2 , z_2)$

และ $C(x_3 , y_3 , z_3)$ จะได้ $\overline{C} = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)$

การหาระยะห่างระหว่าง 2 จุด

โคไซน์แสดงทิศทาง (direction cosine)

จากรูป $\overline{OP} = a\overline{i} + b\overline{j} + c\overline{k}$

โคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ $\overset{\rightharpoonup}{OP}$ หาได้ดังนี้

$\cos\alpha = \frac{a}{\lvert \overline{OP} \rvert}$

$\cos\beta = \frac{b}{\lvert \overline{OP} \rvert}$

$\cos\gamma = \frac{c}{\lvert \overline{OP} \rvert}$

เมื่อ $\alpha$ คือ มุมระหว่าง $\overline{OP}$   กับ $\overline{i}$
$\beta$ คือ มุมระหว่าง $\overline{OP}$   กับ $\overline{j}$
$\gamma$ คือ มุมระหว่าง $\overline{OP}$   กับ $\overline{k}$

❤︎ เกร็ดความจริง! เกี่ยวกับโคไซน์แสดงทิศทาง

ถ้า $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ เป็นมุมระบุทิศทางของเวกเตอร์
จะได้ว่า ${cos^2}\alpha + {cos^2}\beta + {cos^2}\gamma = 1$
ถ้าเวกเตอร์คู่ใดมีโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกัน แสดงว่า เวกเตอร์คู่นั้นมีทิศเดียวกัน ถ้าเวกเตอร์คู่ใดมีโคไซน์แสดงทิศทางในแต่ละแกนเป็นจำนวนที่ตรงข้ามกัน แสดงว่าเวกเตอร์คู่นั้นมีทิศทางตรงข้ามกัน

ตัวอย่างที่ 6

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (cross product หรือ vector product)

การหาผลคูณเชิงเวกเตอร์

ให้ $\overline{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = u_1 \overline{i} + u_2 \overline{j} + u_3 \overline{k}$ และ $\overline{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = v_1 \overline{i} + v_2 \overline{j} + v_3 \overline{k}$

$\overline{u} \times \overline{v}$ คือ การหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ $\overline{u}$ กับ $\overline{v}$ (ผลลัพท์ที่ได้เป็นเวกเตอร์)

$\overline{u} \times \overline{v} = \begin{bmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\[4pt] u_1 & u_2 & u_3 \\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_2 & u_3 \\[2pt] v_2 & v_3 \end{bmatrix} \overline{i} - \begin{bmatrix} u_1 & u_3 \\[2pt] v_1 & v_3 \end{bmatrix} \overline{j} + \begin{bmatrix} u_1 & u_2 \\[2pt] v_1 & v_2 \end{bmatrix} \overline{k}$

ตัวอย่างที่ 7

ทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์จากการ cross product

ขั้นตอนการหาทิศของ cross product

น้อง ๆ สามารถหาทิศทางของ $\overline{u} \times \overline{v}$ และ $\overline{v} \times \overline{u}$ ได้โดยใช้กฎมือขวา

ขั้นที่ 1

แบมือขวาออกโดยให้นิ้วทั้งสี่ (นอกจากนิ้วหัวแม่มือ) ชี้ไปทางเดียวกัน และให้นิ้วหัวแม่มือตั้งฉากกับนิ้วอื่น ๆ

ขั้นที่ 2

ถ้าตอนแรกพุ่งนิ้วทั้งสี่ตามทิศของ $\overline{u}$ แล้วพับนิ้วทั้งสี่เข้าหาทิศของ $\overline{v}$ นิ้วหัวแม่มือจะชี้ทิศของ $\overline{u} \times \overline{v}$
ถ้าตอนแรกพุ่งนิ้วทั้งสี่ตามทิศของ $\overline{v}$ แล้วพับนิ้วทั้งสี่เข้าหาทิศของ $\overline{u}$ นิ้วหัวแม่มือจะชี้ทิศของ $\overline{v} \times \overline{u}$

❤︎ จากการสังเกต

จะเห็นว่า $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน

จะได้ว่า $\overline{u} \times \overline{v}$ และ $\overline{v} \times \overline{u}$ เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่าน $\overline{u}$ และ $\overline{v}$

(พูดง่าย ๆ $\overline{u} \times \overline{v}$ ตั้งฉากกับ $\overline{u}$ , $\overline{v}$ และ $\overline{v} \times \overline{u}$ ตั้งฉากกับ $\overline{u}$ , $\overline{v}$ )

และจะเห็นว่า $\overline{u} \times \overline{v}$ และ $\overline{v} \times \overline{u}$ มีทิศทางตรงข้ามกัน

ดังนั้น $\overline{u} \times \overline{v}$ = $-\left( \overline{v} \times \overline{u} \right)$

❤︎ เกร็ดความจริง

ถ้า $\overline{u}$ , $\overline{v}$ และ $\overline{w}$ เป็นเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบเดียวกัน แล้ว $\overline{u} \cdot \left( \overline{v} \times \overline{w} \right) = 0$

การหาขนาดของ $\overline{u} \times \overline{v}$

ให้ $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ โดย $\overline{u} \neq \overline{0}$ และ $\overline{v} \neq \overline{0}$

จะได้ว่า $\lvert \overline{u} \times \overline{v} \rvert$ = $\lvert \overline{u} \rvert \lvert \overline{v} \rvert \sin\theta$ เมื่อ $\theta$ เป็นขนาดของมุมระหว่าง $\overline{u}$ และ $\overline{v}$

โดยที่ 0° ≤ θ ≤ 180°

สมบัติเกี่ยวกับการ cross vector

ให้ $\overline{u}$ , $\overline{v}$ และ $\overline{w}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในสามมิติ และ $m$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ

$\overline{i} \times \overline{j} = \overline{k}, \quad \overline{j} \times \overline{i} = -\overline{k}$
$\overline{j} \times \overline{k} = \overline{i}, \quad \overline{k} \times \overline{j} = -\overline{i}$
$\overline{k} \times \overline{i} = \overline{j}, \quad \overline{i} \times \overline{k} = -\overline{j}$
$\overline{i} \times \overline{i} = \overline{0}$
$\overline{j} \times \overline{j} = \overline{0}$
$\overline{k} \times \overline{k} = \overline{0}$
$\overline{u} \times \overline{v} = - \left( \overline{v} \times \overline{u} \right)$
$\overline{u} \times \overline{u} = \overline{0}$
$\left( r \overline{u} \right) \times \left( s \overline{v} \right) = rs \left( \overline{u} \times \overline{v} \right)$
$m \left( \overline{u} \times \overline{v} \right) = \left( m \overline{u} \right) \times \overline{v} = \overline{u} \times \left( m \overline{v} \right)$
$\overline{u} \times \left( \overline{v} \pm \overline{w} \right) = \overline{u} \times \overline{v} \pm \overline{u} \times \overline{w}$
$\left( \overline{u} \pm \overline{v} \right) \times \overline{w} = \overline{u} \times \overline{w} \pm \overline{v} \times \overline{w}$
$\overline{u} \cdot \left( \overline{v} \times \overline{w} \right) = \left( \overline{u} \times \overline{v} \right) \cdot \overline{w}$
$\left( \overline{u} \times \overline{v} \right) \cdot \overline{w} = \left( \overline{v} \times \overline{w} \right) \cdot \overline{u} = \left( \overline{w} \times \overline{u} \right) \cdot \overline{v}$

การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่ ◻ ด้านขนาน = ฐาน × สูง
= $\lvert \overline{u} \rvert \lvert \overline{v} \rvert \sin\theta$

พื้นที่ ◻ ด้านขนาน = $\lvert \overline{u} \times \overline{v} \rvert$

❤︎ ข้อสังเกต

พื้นที่ ∆ ที่แรเงา = $\frac{1}{2}$ พื้นที่ ◻ ด้านขนาน

พื้นที่ ∆ ที่แรเงา = $\frac{1}{2} \lvert \overline{u} \times \overline{v} \rvert$

ตัวอย่างที่ 8

ตัวอย่างที่ 9

การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ปริมาตร = พื้นที่ฐาน $\times$ สูง
= $\lvert \overline{v} \times \overline{w} \rvert \lvert \overline{u} \rvert \lvert \cos\theta \rvert$
= $\lvert \overline{u} \rvert \lvert \overline{v} \times \overline{w} \rvert \lvert \cos\theta \rvert$
= $\lvert \lvert \overline{u} \rvert \rvert \overline{v} \times \overline{w} \lvert \cos\theta \rvert$

ปริมาตร = $\lvert \overline{u} \cdot \left( \overline{v} \times \overline{w} \right) \rvert$

กำหนดทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานมี $\overline{u}$ , $\overline{v}$ และ $\( \overline{w}$ เป็นด้าน

ถ้ากำหนด $\overline{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}, \quad \overline{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ และ $\overline{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix}$ จะได้ว่า

ปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน = $\begin{vmatrix} \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix} \end{vmatrix}$

ถ้า $\overline{u}$ , $\overline{v}$ และ $\overline{w}$ อยู่บนระนาบเดียวกัน

สามารถอ้างได้ว่า ปริมาตร = $0\left( \lvert \overset{\rightharpoonup}{u} \cdot \left( \overset{\rightharpoonup}{v} \times \overset{\rightharpoonup}{w} \right) \rvert = 0 \right)$

ตัวอย่างที่ 10

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย วิชาคณิตศาสตร์ - เวกเตอร์

เอาล่ะ! หลังจากทบทวนเนื้อหาและเช็กจุดสำคัญของบทเวกเตอร์ ม.5 กันแล้ว พี่มี ตัวอย่างข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทเวกเตอร์ มาให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้แนวโจทย์และวิธีแก้โจทย์กันด้วยครับ

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 1

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 2

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 3

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 4

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม B รวมทุกบท

เวกเตอร์

จบกันไปแล้วนะครับ กับ สรุปเนื้อหาเวกเตอร์ ม.5 อย่างที่พี่ได้บอกไว้ในตอนต้นบทความว่า ถ้าน้อง ๆ อยากจะเรียนบทเวกเตอร์ให้เข้าใจและทำข้อสอบได้ ก็ต้องเริ่มจากการทำความเข้าใจนิยามและความรู้พื้นฐาน รวมทั้งฝึกทำโจทย์เยอะ ๆ เพื่อเพิ่มความชำนาญในการทำข้อสอบด้วย

สำหรับน้อง ๆ ที่เรียนบทเวกเตอร์ไม่เข้าใจ หรืออยากจะติวเสริมเพิ่มความมั่นใจไปอีกขั้น พี่ขอแนะนำ คอร์สคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 รวมทุกบท ที่ สรุปเนื้อหาแบบกระชับ เข้าใจง่าย พาตะลุยโจทย์ให้ได้ฝึกฝนทำข้อสอบหลากหลายแนว พร้อมเรียนรู้เทคนิคทริกลัดช่วยให้แก้โจทย์ได้ไวขึ้น ใครอยากคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ หรือต้องการปูความรู้พื้นฐานสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในสนามสอบ TCAS ห้ามพลาดเด็ดขาดเลย!