สรุปพื้นฐานพาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) ม.3 สูตรและสมการแบบเข้าใจง่าย!

October 18, 2024

น้อง ๆ คิดเหมือนกันไหมครับว่าการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ยิ่งเรียนเนื้อหาในระดับชั้นที่สูงขึ้น เราก็มักจะได้ยินชื่อบทเรียนใหม่ ๆ หัวข้อใหม่ ๆ ที่ไม่คุ้นเคย หรือไม่เคยได้ยินมาก่อน อย่าง “พาราโบลา” ก็เป็นหนึ่งในบทเรียนที่จะได้เรียนกันในวิชาคณิตศาสตร์ ม.ต้น

สำหรับน้องคนไหนที่เห็นแค่ชื่อก็รู้สึกว่ายาก! กลัวจะเรียนไม่เข้าใจ ก็อย่าเพิ่งกังวลไปนะ ในบทความนี้ พี่ภูมิ – เดอะเบรน จะ สรุปพื้นฐานพาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) ม.3 ให้เอง รับรองว่าอ่านจบแล้วเข้าใจมากขึ้นอย่างแน่นอน!

พาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง ม.3) คืออะไร?

เรามาดูกันก่อนเลยดีกว่าครับว่า พาราโบลา คืออะไร? จากนิยาม พาราโบลา (Parabola) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจาก จุดที่ตรึงอยู่กับที่ จุดหนึ่ง และ เส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่ เส้นหนึ่ง เป็นระยะทางเท่ากัน ซึ่งจุดที่ตรึงอยู่กับที่ เรียกว่า โฟกัส (Focus) ของพาราโบลา และเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่ เรียกว่า เส้นบังคับ หรือ ไดเรกตริกซ์ (Directrix) ของพาราโบลาครับ

5 ส่วนประกอบของพาราโบลาที่น้อง ๆ ต้องรู้

พอได้รู้นิยามของพาราโบลากันไปแล้ว คราวนี้พี่จะพาน้อง ๆ มารู้จักกับส่วนประกอบของพาราโบลาต่อเลยครับ โดยส่วนประกอบของพาราโบลาที่ควรจำให้ได้มี 5 ส่วนดังนี้

1. จุดยอด (Vertex)

จุดยอด หรือจุดยอดของพาราโบลา คือ จุดยอดที่พาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เป็นจุดที่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของกราฟ ขึ้นอยู่กับว่าเป็นพาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่ำ ซึ่งจะใช้ สัญลักษณ์ “V” แทนคำว่า Vertex

2. เส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix)

เส้นไดเรกตริกซ์ หรือเรียกกันว่าเส้นบังคับ เป็น เส้นตรงที่อยู่คู่กับจุดโฟกัส ซึ่งทุกจุดบนพาราโบลานั้นจะห่างจากไดเรกตริกซ์เท่ากับระยะห่างจากจุดโฟกัส พูดง่าย ๆ คือ เส้นไดเรกตริกซ์ใช้เพื่อกำหนดเซตของจุดชุดหนึ่งให้เรียงต่อกันเป็นเส้นโค้งพาราโบลา

3. จุดโฟกัส (Focus)

จุดโฟกัส หรือจุดคงที่ ซึ่งใช้ สัญลักษณ์ “F” เป็น จุดที่อยู่ภายในพาราโบลา โดยทุกจุดบนพาราโบลาจะมีระยะห่างจากจุดโฟกัสเท่ากับระยะห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์

4. จุดกำเนิด (Origin)

จุดกำเนิดของพาราโบลา คือ จุดที่แกน x และแกน y มีค่าเท่ากับ 0 หรือจุดที่แกน x และแกน y ตัดกัน

5. เลตัสเรกตัม (Latus Rectum)

เลตัสเรกตัม เป็น คอร์ดที่ตั้งฉากกับแกนของพาราโบลาและผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา (ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนพาราโบลา เรียกว่า “คอร์ด” ของพาราโบลา)

“พาราโบลา” เกี่ยวข้องกับ “ภาคตัดกรวย” อย่างไร?

พี่ต้องบอกเลยว่า “พาราโบลา” เป็นหนึ่งในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ต้น ที่สำคัญมาก ๆ เพราะเป็นพื้นฐานที่น้อง ๆ ต้องทำความเข้าใจให้แม่นตั้งแต่ระดับชั้น ม.3 เพื่อ ใช้ต่อยอดไปสู่บทเรียนที่มีความเข้มข้นและซับซ้อนมากขึ้นในระดับ ม.ปลาย โดยเฉพาะเรื่อง “ภาคตัดกรวย” ที่จะได้เรียนกันตอน ม.4 ครับ

โดยภาคตัดกรวย (Conic Section) คือ เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลมด้วยระนาบแบน เกิดเป็นรูปร่างต่าง ๆ อย่างเช่น วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลา ซึ่งในบทภาคตัดกรวยนี้เองที่น้อง ๆ จะได้เจอกับเรื่องพาราโบลาแบบเจาะลึกมากขึ้น

ดังนั้น ถ้าเข้าใจพื้นฐานเรื่องพาราโบลาได้ตั้งแต่ ม.ต้น เวลาเรียนต่อในระดับ ม.ปลาย ก็จะเข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น และทำโจทย์ได้เร็วขึ้นมากครับ

สมการพาราโบลาที่สำคัญ (กราฟหงาย, กราฟคว่ำ)

สมการรูปแบบที่ 1 : สมการพื้นฐาน

y = ax² โดย a ≠ 0

มีจุดยอดอยู่ที่ V(0, 0) และแกนสมมาตร คือ แกน y

กรณี a > 0 จะพบว่าเป็น พาราโบลาหงาย
กรณี a < 0 จะพบว่าเป็น พาราโบลาคว่ำ

สมการรูปแบบที่ 2 : สมการรูปมาตรฐาน

y – k = a(x – h)² , a ≠ 0

กรณี a > 0 จะพบว่าเป็น พาราโบลาหงาย
จุดยอด (จุดต่ำสุด) = (h, k)
กรณี a < 0 จะพบว่าเป็น พาราโบลาคว่ำ
จุดยอด (จุดสูงสุด) = (h, k)

สมการรูปแบบที่ 3 : สมการรูปทั่วไป

y = ax² + bx + c , a ≠ 0

กรณี a > 0 จะพบว่าเป็น พาราโบลาหงาย
กรณี a < 0 จะพบว่าเป็น พาราโบลาคว่ำ
จุดยอด คือ $V\left(\frac{-b}{2a} \: , \; \frac{4ac-b^2}{4a}\right)$

ตัวอย่างโจทย์พาราโบลา พร้อมเฉลย

@math.thebrain ข้อสอบพาราโบลา สอบเข้าม.4 #webythebrain #คณิตศาสตร์ #สอบเข้าม4 #เดอะเบรน #มต้น #พาราโบลา ♬ เสียงต้นฉบับ – คณิต เดอะเบรน

ติวคณิตศาสตร์ ม.3 กับ “เดอะเบรน” พร้อมพิชิตเกรด 4 และลุยทุกสนามสอบแข่งขัน

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 1 รวมทุกบท

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (พาราโบลา)

พาราโบลาเป็นบทเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ที่สามารถประยุกต์ใช้กับสิ่งต่าง ๆ ในชีวิตประจำวันได้มากมายเลยนะครับ และน้อง ๆ ยังสามารถนำความรู้เรื่องพาราโบลามาใช้ต่อยอดในหลาย ๆ สาขาวิชาของวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมได้อีกด้วย เช่น การศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุ, การออกแบบโครงสร้างทางวิศวกรรม และการวิเคราะห์กราฟของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง เป็นต้น

สำหรับน้อง ๆ ที่รู้สึกว่ายังไม่เข้าใจเนื้อหาเรื่องพาราโบลา หรือมีความกังวลเรื่องการทำโจทย์อยู่ พี่แนะนำให้สมัคร คอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 1 ที่ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ