โดยทั่วไปการหาคำตอบหรือหาค่าตัวแปรสำหรับโจทย์ที่เป็นเศษส่วนเราสามารถทำได้ด้วยวิธีง่าย ๆ เพียงแค่ใช้การคูณไขว้ในการแก้หาคำตอบเหล่านั้นดังเช่น
ตัวอย่าง จงหาค่า \(x\) จากสมการ \(\frac{x+1}{5}=\frac{x-3}{3}\)
วิธีทำ จาก \(\frac{x+1}{5}=\frac{x-3}{3}\) จะได้ว่า \(3\cdot (x+1)=5\cdot(x-3)\) ดังนั้น \(3x+3=5x-15 \quad \therefore x = 9\)
แต่สำหรับข้อสอบแข่งขันหรือข้อสอบสอบเข้าโรงเรียนชั้นนำต่างๆ ในบางครั้งสนามเหล่านี้ไม่ได้ออกข้อสอบในระดับที่ง่ายเหมือนดังตัวอย่างที่ยกมา แต่จะเป็นโจทย์เศษส่วนที่ต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยอาจจะมีการนำเรื่องอื่นๆมาผสมอยู่ในโจทย์เศษส่วนด้วยก็ได้ เช่น เศษส่วนมีพจน์ในรูปของกรณฑ์อยู่ในทั้งเศษและส่วน หรือเศษและส่วนเป็นพหุนาม เป็นต้น ซึ่งจะทำให้การแก้หาคำตอบของโจทย์มีความยุ่งยากและซับซ้อนมากขึ้น
เช่น กำหนดให้ \(\frac{\sqrt{x+54}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+54}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\) แล้ว \( x \) มีค่าเท่ากับเท่าใด (เตรียมอุดมฯ 63)
จะเห็นว่าหากเราใช้วิธีการคูณไขว้ในการแก้หาค่า x จะเป็นเรื่องที่ยุ่งยากมากที่จะหาค่าของตัวแปรออกมาได้ ดังนั้นเพื่อให้โจทย์ข้อนี้สามารถแก้ได้ง่ายมากขึ้น เราจะต้องทำความรู้จักกับทฤษฎีหนึ่งก่อนนั่นคือ Componendo and Dividendo โดยทฤษฎีนี้จะเป็นเครื่องมือที่ช่วยให้การคำนวณในเรื่องเศษส่วนของเราทำได้ง่ายยิ่งขึ้น
สำหรับจำนวน a, b, c และ d โดยที่ \( b,d\neq 0\) และ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) แล้ว
Componendo : \(\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)
Dividendo : \(\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\)
Componendo and Dividendo : \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)
และสำหรับ \(k\neq\frac{a}{b}\) จะได้ว่า \(\frac{a+kb}{a-b}=\frac{c+kd}{c-d}\)
1. กำหนดให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ \(\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=- \frac{1}{100}\)
จงหาว่า \(\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (ตอบ 101)
2. กำหนดให้ \(\frac{\sqrt{x+54}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+54}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\) แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าใด (เตรียมอุดมฯ 63) มาดูคลิปเฉลยไปพร้อมกันเลย
3. จงหาผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ \(\frac{3x^{3}+2x^{2}+x+5}{3x^{3}+2x^{2}-x-5}=\frac{3x^{3}+2x^{2}+5x-13}{3x^{3}+2x^{2}-5x+13}\) (สอวน.) (ตอบ \(\frac{23}{6}\))
4. กำหนดให้ x=\(\frac{\sqrt{a+3b}+\sqrt{a-3b}}{\sqrt{a+3b}-\sqrt{a-3b}}\) แล้ว \(3bx^{2}-2ax+3b+2\) มีค่าเท่ากับเท่าใด (ตอบ 2)
5. If \(\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}= \frac{4x-1}{2}\) then find the value of x. (ตอบ \(\frac{5}{4}\))
6. If \(\frac{a^{3}+12a}{6a^{2}+8}= \frac{b^{3}+27b}{9b^{2}+27}\) then find the value of \(\frac{a}{b}\). (ตอบ\(\frac{2}{3}\))
แหล่งที่มา Componendo and Dividendo. (27 กรกฎาคม 2563). เข้าถึงได้จาก Brilliant.org : https://brilliant.org/wiki/componendo-and-dividendo/
