สรุป ตรรกศาสตร์ ม.4 เนื้อหาครบ จบในที่เดียว พร้อมแนวโจทย์และวิธีทำ

April 3, 2024

หากพูดถึงเนื้อหาการเรียน ม.4 หรือการติวคณิตศาสตร์ ม.4 คงหนีไม่พ้น บทตรรกศาสตร์ ที่น้อง ๆ จะได้เรียนกันตั้งแต่ช่วง ม.4 เทอม 1 ซึ่งบทนี้มีความสำคัญอย่างมาก เป็นบทที่ว่าด้วยความเป็นเหตุเป็นผล จึงเป็นพื้นฐานสำคัญในการสรุปความ และการให้เหตุผลอย่างถูกต้องมีหลักการ และเป็นบทสำคัญที่ออกสอบในข้อสอบคณิคศาสตร์แทบจะทุกสนาม วันนี้ พี่กอล์ฟ – เดอะเบรน จะพามารู้จักและทำความเข้าใจกับบทตรรกศาสตร์ให้มากขึ้น ไปดูกันเลย!!

ตรรกศาสตร์ คืออะไร

ตรรกศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเหตุและผล เป็นพื้นฐานสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ และสามารถนำไปใช้ต่อยอดในด้านอื่น ๆ เช่น คอมพิวเตอร์ เป็นต้น

ประพจน์ คืออะไร

ประพจน์ (Statement) คือ ประโยคหรือข้อความที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ซึ่งจะอยู่ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ นิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น $p, q, r$ แทนประพจน์

โดยเราจะเรียกการเป็น “จริง” หรือ “เท็จ” ของแต่ละประพจน์ว่า ค่าความจริง (Truth Value) และจะใช้ $T$ แทนค่าความจริงที่ เป็นจริง (True) และ $F$ แทนค่าความจริงที่ เป็นเท็จ (False)

ตัวอย่างประโยคที่เป็นประพจน์

เดือนมกราคม มี 31 วัน
$\sqrt{5}$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ คือ ประโยคที่ไม่สามารถระบุได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ เช่น ประโยคคำถาม, คำสั่ง, ขอร้อง, อุทาน

ตัวเชื่อมประพจน์

ในบทตรรกศาสตร์นี้ เราจะมีการนำประพจน์มากกว่า 1 ประพจน์มาเชื่อมกัน เกิดเป็นประพจน์ใหม่ โดยใช้ ตัวเชื่อม (Connective) ต่าง ๆ ดังนี้

“และ” ใช้สัญลักษณ์ $\land$
“หรือ” ใช้สัญลักษณ์ $\lor$
“ถ้า…แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ $\rightarrow$
“ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ $\leftrightarrow$
“นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ $\sim$

ตารางค่าความจริงของประพจน์

จากตารางการแจกแจงค่าความเป็นจริงของประพจน์ น้อง ๆ สามารถสรุปได้ดังนี้

“และ” $(\land)$ จะเป็นจริงเพียงกรณีเดียว คือ $T \land T$ เป็น $T$
“หรือ” $(\lor)$ จะเป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ $F \lor F$ เป็น $F$
“ถ้า…แล้ว…” $(\rightarrow)$ จะเป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ $T \rightarrow F$ เป็น $F$
“ก็ต่อเมื่อ” $(\leftrightarrow)$ ถ้ามีค่าความจริงเหมือนกันจะเป็นจริง ไม่เหมือนกันจะเป็นเท็จ
“นิเสธ” $(\sim)$ จะมีค่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์เดิม

ข้อมูลจากตารางค่าความเป็นจริงของประพจน์ดังกล่าวนั้นทำให้น้อง ๆ ได้รู้เพิ่มเติมว่า

$p \land q$ จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ $p$ และ $q$ มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งสองประพจน์
$p \land q$ จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ $p$ หรือ $q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ อย่างน้อยหนึ่งประพจน์
$p \lor q$ จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ $p$ และ $q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งสองประพจน์
$p \lor q$ จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ $p$ หรือ $q$ มีค่าความจริงเป็นจริง อย่างน้อยหนึ่งประพจน์
$p \rightarrow q$ จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ $p$ มีค่าความจริงเป็นจริง และ $q$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว $p \rightarrow q$ จะมีค่าความจริงเป็นจริงโดยไม่จำเป็นต้องรู้ ค่าความจริงของ $q$
ถ้า $q$ มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว $p \rightarrow q$ จะมีค่าความจริงเป็นจริงโดยไม่จำเป็นต้องรู้ ค่าความจริงของ $p$
$p \leftrightarrow q$ จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ $p$ และ $q$ มีค่าความจริงเหมือนกัน
$p \leftrightarrow q$ จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ $p$ และ $q$ มีค่าความจริงต่างกัน

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

ในทางตรรกศาสตร์ ถ้ารูปแบบของประพจน์ 2 รูปแบบใดมีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี แล้ว สามารถนำไปใช้แทนกันได้ จะเรียกรูปแบบของประพจน์ทั้ง 2 ว่า “รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน” และใช้สัญลักษณ์ $\equiv$ แทนการสมมูลกัน

รูปแบบของประพจน์สำคัญที่สมมูลกันที่น้อง ๆ ควรรู้จัก

$p \land q &\equiv q \land p$
$p \lor q &\equiv q \lor p$
$(p \land q) \land r &\equiv p \land (q \land r)$
$(p \lor q) \lor r &\equiv p \lor (q \lor r)$
$p \land (q \lor r) &\equiv (p \land q) \lor (p \land r)$
$p \lor (q \land r) &\equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$
$p \rightarrow q &\equiv \sim p \lor q$
$p \rightarrow q &\equiv \sim q \rightarrow \sim p$
$p \leftrightarrow q &\equiv (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p)$
$\sim(\sim p) &\equiv p$
$\sim(p \land q) &\equiv \sim p \lor \sim q$
$\sim(p \lor q) &\equiv \sim p \land \sim q$
$\sim(p \rightarrow q) &\equiv p \land \sim q$
$\sim(p \leftrightarrow q) &\equiv \sim p \leftrightarrow q \equiv p \leftrightarrow \sim q$

สัจนิรันดร์

รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกว่า “สัจนิรันดร์” หัวข้อสัจนิรันดร์เป็นเรื่องที่ออกข้อสอบบ่อยมาก ๆ โดยแนวข้อสอบส่วนมากจะกำหนดประพจน์มาให้ และให้เราตรวจสอบว่าประพจน์ที่กำหนดมาให้นั้นเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ซึ่งวิธีการตรวจสอบทำได้ 2 วิธี คือ

1. วิธีการสร้างตารางค่าความจริง

ถ้า ค่าความจริงของประพจน์นั้นเป็นจริงทุกกรณี (ทุกบรรทัดในตาราง) จะสรุปได้ว่าประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้ามีบางกรณีในตารางมีค่าความจริงเป็นเท็จ ประพจน์นั้นจะไม่เป็นสัจนิรันดร์

2. วิธีการหาข้อขัดแย้ง

วิธีนี้ทำโดยสมมุติให้รูปแบบของประพจน์ที่ต้องการตรวจสอบเป็น “เท็จ” แล้วจึงหาค่าความจริงของประพจน์ย่อย จากนั้นดูว่ามีข้อขัดแย้งเกิดขึ้นหรือไม่ ถ้า มีข้อขัดแย้ง แสดงว่า รูปแบบของประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าไม่มีข้อขัดแย้ง แสดงว่ารูปแบบของประพจน์นั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์

การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า เมื่อมีประพจน์ $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปประพจน์ $C$ ประพจน์หนึ่งได้ การอ้างเหตุผลประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2 ส่วน คือ

เหตุ หรือ สิ่งที่กำหนดให้ ได้แก่ ประพจน์ $p_1, p_2, \ldots, p_n$
ผล หรือ ข้อสรุป คือ ประพจน์ $C$

เหตุ $p_1$

$p_2$

$\vdots$

$p_n$

ผล $C$

สำหรับ วิธีการตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลที่กำหนดให้สมเหตุสมผลหรือไม่ ทำได้โดยนำเหตุทุกประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม “และ” จากนั้นนำไปเชื่อมกับผลด้วยตัวเชื่อม “ถ้า… แล้ว…” จะได้

$(p_1 \land p_2 \land \ldots \land p_n) \rightarrow C$

นำประพจน์ที่ได้นี้ไปตรวจสอบสัจนิรันดร์ ถ้าเป็นสัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล (Valid) แต่ถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผลนี้ไม่สมเหตุสมผล (Invalid)

ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ

ประโยคเปิด (Open Sentence)

ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร จึงไม่สามารถบอกได้ว่ามีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ แต่เมื่อแทนตัวแปรในประโยคเปิดด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์ที่สามารถบอกได้ว่าค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ ใช้สัญลักษณ์ $P(x)$ แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปร $x$

ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier)

สำหรับ $\ldots$ ทุกตัว แทนด้วยสัญลักษณ์ $\forall$
สำหรับ $\ldots$ บางตัว แทนด้วยสัญลักษณ์ $\exists$

เราสามารถ หาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณนี้ ได้ดังนี้

$\forall x [P(x)]$ มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร $x$ ใน $P(x)$ ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด
$\forall x [P(x)]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร $x$ ใน $P(x)$ ด้วยสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ
$\exists x [P(x)]$ มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร $x$ ใน $P(x)$ ด้วยสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
$\exists x [P(x)]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร $x$ ใน $P(x)$ ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด

ฝึกทำโจทย์ตรรกศาสตร์ พร้อมเฉลย - พี่กอล์ฟ เดอะเบรน

โจทย์ตรรกศาสตร์ ข้อที่ 1

โจทย์ตรรกศาสตร์ ข้อที่ 2

โจทย์ตรรกศาสตร์ ข้อที่ 3

สรุปเรื่องเนื้อหาตรรกศาสตร์ ม.4

และนี่คือตัวอย่างเนื้อหาส่วนหนึ่งของตรรกศาสตร์ ม.4 ที่ออกข้อสอบอยู่บ่อย ๆ ในระดับ ม.ปลาย หากน้อง ๆ ทำความเข้าใจเนื้อหาของบทเรียน ตรรกศาสตร์ รู้ความหมายของประพจน์ สัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผล ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ และจับจุดสำคัญของบทนี้ได้ น้อง ๆ ก็สามารถนำความรู้ไปทำข้อสอบและประยุกต์ใช้ได้กับบทเรียนต่าง ๆ ได้ง่ายขึ้นเยอะเลยครับ

ติวคณิตศาสตร์ ม.4 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 รวมทุกบท

ตรรกศาสตร์

เซตและตรรกศาสตร์ A-Level

หากน้อง ๆ ม.ปลาย ต้องการติวคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ให้แม่นขึ้น เพื่อให้ทำข้อสอบได้ง่ายขึ้นหรืออยากคว้าเกรด 4 สามารถสมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 รวมทุกบท กับ WE BY THE BRAIN ได้เลย

สมัครคอร์สนี้ดียังไง?

✔ เนื้อหาในคอร์สเรียนตรงตามหลักสูตรของ สสวท. ประกอบด้วยเซต ตรรกศาสตร์ และระบบจำนวนจริง

✔ สอนโดยพี่ ๆ ติวเตอร์ทีมคณิตศาสตร์ที่มีประสบการณ์การสอนกว่า 38 ปี ที่จะช่วยปูพื้นฐานให้น้อง ๆ อย่างละเอียด

✔ พร้อมพาฝึกทำโจทย์อย่างเข้มข้น ไล่ระดับตั้งแต่ง่ายไปจนถึงยาก ที่เป็นข้อสอบแข่งขันจากสนามสอบทั้งในและต่างประเทศ

✔ เสริมด้วยเทคนิคทริกลัดแก้โจทย์ไว ที่จะช่วยให้น้อง ๆ สามารถทำข้อสอบปรนัยได้อย่างรวดเร็วยิ่งขึ้น

คอร์สนี้เหมาะกับใคร?

✔ เหมาะสำหรับน้อง ม.3 ที่กำลังจะขึ้น ม.4 และต้องการเตรียมตัวล่วงหน้า

✔ เหมาะสำหรับน้อง ม.4 ที่ต้องการเรียนควบคู่ไปกับที่โรงเรียน เพื่อคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ และเป็นพื้นฐานสำคัญในการเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์1 A-Level ในระบบ TCAS