สรุปครบ เมทริกซ์ ม.5 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS & เฉลยละเอียด แจกฟรี!

หน้าหลัก » article » สรุปครบ เมทริกซ์ ม.5 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS & เฉลยละเอียด แจกฟรี!

September 3, 2024

ใครงงกับ “เมทริกซ์” อยู่ตอนนี้… อย่าเพิ่งถอดใจกันไปนะครับ!! เพราะบทนี้เป็นหนึ่งในบทสำคัญของ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มักจะเจอได้บ่อย ๆ ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย

ตามหลักสูตรแล้ว บทเมทริกซ์จะอยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 แต่บางโรงเรียนก็อาจเรียนกันตั้งแต่ ม.4 เทอม 2 เลยด้วย ซึ่งหลักสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ในปัจจุบัน มีการปรับปรุงเนื้อหาบทเมทริกซ์โดยนำเนื้อหาของเดิมบางส่วนออกไป อย่างเช่น เรื่องไมเนอร์ (Minor), โคแฟกเตอร์ (Cofactor) และเมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix)

วันนี้ พี่กอล์ฟ – อ.ชวลิต กุลกีรติการ จะพาไปทบทวน สรุปเมทริกซ์ ม.5 แบบเน้นจุดสำคัญที่น้อง ๆ ต้องรู้ก่อนเข้าห้องสอบ พร้อมแนวข้อสอบ TCAS และเฉลยละเอียด มาแจกกันด้วยครับ รับรองว่าอ่านจบแล้ว เข้าใจเมทริกซ์มากขึ้นแน่นอน!!

พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์

เริ่มต้นบทเมทริกซ์ ม.5 น้อง ๆ จะได้เรียนหัวข้อ พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์ ก่อนเลยครับว่า เมทริกซ์ คืออะไร?

บทนิยาม

ให้ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ชุดของจำนวนจริง $mn$ จำนวน ซึ่งเขียนเรียงกันในรูป

$\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \none & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right]$

เรียกว่า เมทริกซ์ (matrix) ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด $m$ แถว ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวตั้ง เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด $n$ หลัก เรียก $a_{ij}$ ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ $i$ และหลักที่ $j$ ของเมทริกซ์ ถ้าเมทริกซ์มี $m$ แถว $n$ หลัก จะเรียก $m \times n$ ว่า ขนาด (size) หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์

จากนิยามจะพบว่ามีค่าที่น้อง ๆ ต้องรู้หลายคำเลยทีเดียว เช่น แถว, หลัก, สมาชิก, ขนาด หรือมิติ เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้นเรามาดูจากตัวอย่างกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1

การเท่ากันของเมทริกซ์

หลังจากเราทำความรู้จักหน้าตาของเมทริกซ์และรู้ว่าเมทริกซ์คืออะไรแล้ว ตามพี่กอล์ฟมาดูกันต่อเลยครับว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้ ต้องมีเงื่อนไขอะไรบ้าง?

บทนิยาม

ให้ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ และ $B = [b_{ij}]_{p \times q}$

$A$ เท่ากับ $B$ ก็ต่อเมื่อ $m = p, \, n = q$ และ $a_{ij} = b_{ij}$

สำหรับทุก $i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}$ และ $j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}$

เขียนแทน $A$ เท่ากับ $B$ ด้วย $A = B$

หรือจำง่าย ๆ ว่า $A = B$ ก็ต่อเมื่อ

ขนาดของ $A$ = ขนาดของ $B$
สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันต้องเท่ากันทุกตำแหน่ง

ตัวอย่างที่ 2

การบวกและลบเมทริกซ์

พอน้อง ๆ รู้แล้วว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้เมื่อไหร่ ต่อมาเราจะเริ่มนำเมทริกซ์มาดำเนินการกัน โดยเริ่มจาก การบวกและลบเมทริกซ์ ก่อนเลย

บทนิยาม

ให้ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ และ $B = [b_{ij}]_{m \times n}$ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน

ผลบวกของเมทริกซ์ $A$ กับเมทริกซ์ $B$ คือ เมทริกซ์ $[c_{ij}]_{m \times n}$

เมื่อ $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ สำหรับทุก $i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}$

และ $j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ เขียนแทน $A$ บวกกับ $B$ ด้วย $A + B$

นั่นคือ $[a_{ij}]_{m \times n} + [b_{ij}]_{m \times n} = [a_{ij} + b_{ij}]_{m \times n}$

หรือจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะนำมาบวกลบกันได้ ขนาดของทั้ง 2 เมทริกซ์ต้องเท่ากัน และในการบวกลบเมทริกซ์ ให้น้อง ๆ นำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกันครับ

ตัวอย่างที่ 3

การคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง

หัวข้อต่อมาหลังจากได้เรียนรู้เรื่องการบวกลบเมทริกซ์แล้ว เราจะมาดูเรื่อง การคูณระหว่างเมทริกซ์กับจำนวนจริง กันบ้าง

บทนิยาม

ให้ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง

ผลคูณของ $c$ กับเมทริกซ์ $A$ คือ เมทริกซ์ $[b_{ij}]_{m \times n}$

เมื่อ $b_{ij} = c a_{ij}$ สำหรับทุก $i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}$

และ $j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ เขียนแทนผลคูณของ $c$ กับเมทริกซ์ $A$ ด้วย $cA$

นั่นคือ $c [a_{ij}]_{m \times n} = [c a_{ij}]_{m \times n}$

พี่จะบอกวิธีจำง่าย ๆ ให้ว่า เวลาน้อง ๆ จะคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงให้ นำจำนวนจริงนั้นคูณสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์ ครับ

ตัวอย่างที่ 4

การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

จากหัวข้อที่แล้วอย่างการคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง น้อง ๆ จะเห็นว่าไม่ยากเลยนะครับ แต่สำหรับหัวข้อนี้ที่เป็น การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ ต้องบอกเลยว่าเป็นหัวข้อที่ทำให้รุ่นพี่เราหลาย ๆ คนที่ผ่านการเรียนเมทริกซ์ ม.5 มาแล้ว ถึงกับบ่นกันเลยทีเดียว

แต่จริง ๆ แล้ว การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ไม่ใช่เรื่องยุ่งยากซับซ้อนมากนัก ถ้าน้อง ๆ เข้าใจและจับหลักได้ เรามาเริ่มจากการดูนิยามกันก่อนเลยครับ

บทนิยาม

ถ้า $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ และ $B = [b_{ij}]_{p \times q}$

ผลคูณของเมทริกซ์ $A$ และ $B$ เขียนแทนด้วย $AB$ จะนิยามได้

ก็ต่อเมื่อ $n = p$ และเมทริกซ์ผลคูณ $AB$ จะมีขนาด $m \times q$

ซึ่งมีสมาชิกในแถวที่ $i$ และหลักที่ $j$ เป็น $a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj}$

สำหรับทุก $i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}$ และ $j \in \{1, 2, 3, \ldots, q\}$

น้อง ๆ บางคนบอก แค่อ่านนิยามก็มึนแล้ววว 😵 ไม่เป็นไร ๆ เดี๋ยวพี่กอล์ฟแปลเป็นภาษาง่าย ๆ ให้เหมือนเดิมครับ

เริ่มจากเราต้องดูก่อนว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ที่จะนำมาคูณกัน สามารถคูณกันได้หรือไม่ เพราะบางคู่ก็คูณได้ บางคู่ก็คูณไม่ได้

หลักในการดู คือ เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะคูณกันได้เมื่อ

จำนวนหลักของตัวหน้า = จำนวนแถวของตัวหลัง

ถ้าไม่เท่ากันจะคูณกันไม่ได้

และ

ขนาดของเมทริกซ์ผลลัพธ์ = จำนวนแถวของตัวหน้า $\times$ จำนวนหลักของตัวหลัง

ตัวอย่างที่ 5

หลังจากตรวจสอบได้แล้วว่า เมทริกซ์คู่ใดคูณกันได้หรือคูณกันไม่ได้ ต่อมาเราจะมา หาผลลัพธ์จากการคูณ กันครับ โดยน้อง ๆ ต้องคำนวณกันทีละตำแหน่ง

เช่น $A_{2 \times 2} B_{2 \times 3} = C_{2 \times 3}$

สมาชิกของผลลัพธ์ $C_{ij}$ จะเกิดจากการนำสมาชิกในแถวที่ $i$ ของ $A$

มาคูณตัวต่อตัวกับสมาชิกในหลักที่ $j$ ของ $B$ แล้วนำผลคูณที่ได้มาบวกกัน

ตัวอย่างที่ 6

ควรรู้! โดยทั่ว ๆ ไปการคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์จะไม่มีสมบัติการสลับที่การคูณ นั่นคือ $AB \neq BA$

ตัวอย่างที่ 7

เมทริกซ์เอกลักษณ์

สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใด ๆ ให้ $I_n$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $n \times n$ ซึ่งเป็นสมาชิกในแถวที่ $i$ และหลักที่ $i$ เป็น 1 สำหรับทุก $i \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ และสมาชิกในแถวที่ $i$ และหลักที่ $j$ เป็น 0 เมื่อ $i \neq j$ เรียก $I_n$ ว่า เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) ขนาด $n \times n$

ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์

$I_1 = \left[1\right], \quad I_2 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right], \quad I_3 = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$

สมบัติของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณ

ให้ $A = [a_{ij}]_{m \times n}, \quad B = [b_{ij}]_{n \times p}$ และ $C = [c_{ij}]_{p \times q}$ $\quad$ จะได้ว่า

$A(BC) = (AB)C$
$\mathbf{\underline{0}}_{r \times m} A = \mathbf{\underline{0}}_{r \times n}$ และ $A \mathbf{\underline{0}}_{n \times r} = \mathbf{\underline{0}}_{m \times r}$
$I_m A = A$ และ $AI_n = A$
$(cA)B = A(cB) = c(AB)$ เมื่อ $c$ เป็นจำนวนจริง
$A(B + D) = AB + AD$ เมื่อ $D$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $n \times p$
$(A + E)B = AB + EB$ เมื่อ $E$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $m \times n$

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

บทนิยาม

ให้ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ ถ้า $B = [b_{ij}]_{n \times m}$ โดยที่ $b_{ij} = a_{ji}$

สำหรับทุก $i \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ และ $j \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}$

แล้วจะเรียก $B$ ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ $A$ เขียนแทนด้วย $A^t$

หรืออาจจะจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก หรือเปลี่ยนหลักไปเป็นแถว

ตัวอย่างที่ 8

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)

อีกหนึ่งหัวข้อที่น้อง ๆ จะได้เรียนในบทเมทริกซ์ ม.5 ก็คือ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) ครับ โดยดีเทอร์มิแนนต์มีสัญลักษณ์ที่ใช้ คือ $det(A)$ หรือ $|A|$

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

หรือจำง่าย ๆ ได้แบบนี้

ตัวอย่างที่ 9

ตัวอย่างที่ 10

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3

การหา ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3 จะมีวิธีการคล้าย ๆ แบบขนาด 2 × 2 คือ ใช้การคูณทแยงลงและทแยงขึ้น แล้วนำผลคูณที่ได้มารวมกัน แต่น้องต้องเขียน 2 หลักแรกมาต่อด้านท้ายก่อนการคูณครับ

ขั้นที่ 1 เขียนหลักที่ 1 และ 2 ต่อท้ายหลักที่ 3 เพิ่ม

ขั้นที่ 2 คูณทแยงแนวลงและแนวขึ้น จากนั้นนำผลคูณที่ได้มารวมกัน

ตัวอย่างที่ 11

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ $A$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน และ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

$det(I) = 1$
$det(A^t) = detA$
$det(A^n) = (detA)^n$
$det(AB) = (detA)(detB)$
$det(kA) = (k^n)detA$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงตัวและ $A$ มีขนาด $n \times n$

เมทริกซ์ผกผัน (อินเวอร์สการคูณ)

บทนิยาม

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $n \times n$ ถ้ามีเมทริกซ์ $B$ ขนาด $n \times n$ ซึ่ง

$AB = BA = I_n$

แล้วจะเรียก $B$ ว่า เมทริกซ์ผกผัน หรือ ตัวผกผันการคูณ หรือ อินเวอร์สการคูณ ของเมทริกซ์ $A$ และเขียนแทนด้วย $A^{-1}$

จากนิยามจะพบว่า เมทริกซ์ที่จะสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้จะต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งในหลักสูตรปัจจุบันจะเรียนการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่เกิน 2 × 2

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 1 × 1

ตัวอย่างที่ 12

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

จากวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันจะเห็นว่า การหาเมทริกซ์ผกผันขึ้นกับค่าของ $detA$ ด้วย คือ เมทริกซ์ผกผันจะมีค่าเมื่อ $det(A) \neq 0$ เท่านั้น

ตัวอย่างที่ 13

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

ปิดท้ายด้วยหัวข้อ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น น้อง ๆ คงจะเคยแก้ระบบสมการเชิงเส้นกันมาแล้วตั้งแต่สมัยเรียนคณิตศาสตร์ ม.ต้น ซึ่งใน ม.ต้น เรามักจะแก้โดยการกำจัดตัวแปร ด้วยการทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรบางตัวให้เท่ากัน แล้วนำสมการมาบวกลบกัน ในบทนี้เราสามารถนำความรู้เรื่องเมทริกซ์มาใช้แก้ระบบสมการได้อีกด้วย

โดยในหลักสูตรจะเน้นไปที่ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและสามตัวแปร แต่น้อง ๆ สามารถนำหลักการนี้ไปใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนตัวแปรมากกว่านี้ได้เช่นกันครับ

พี่จะพาไปเรียนรู้ วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 วิธี นั่นคือ

วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์ผกผัน
วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์แต่งเติม

1. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

ขั้นตอนการทำ

เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ $AX = B$
เมื่อ $A$ คือ เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์
$X$ คือ เมทริกซ์ของตัวแปร
$B$ คือ เมทริกซ์ของค่าคงตัวทางขวา
จากสมการ $AX = B$ ทำการหาเมทริกซ์ $X$
จาก $AX = B$
A^-1 $AX =$ A^-1 $B$ จะได้ $X = A^{-1}B$

ตัวอย่างที่ 14

2. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์แต่งเติม

ขั้นตอนการทำ

เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ $AX = B$
แล้วแปลงต่อในรูปเมทริกซ์แต่งเติม $[A \,|\, B]$
ใช้การดำเนินการตามแถว ซึ่งมี 3 แบบ ดังนี้
แบบที่ 1 สลับแถวที่ $i$ และแถวที่ $j$ ของเมทริกซ์ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ $R_i \leftrightarrow R_j$
แบบที่ 2 คูณสมาชิกในแถวที่ $i$ ด้วยค่าคงตัว $c$ เมื่อ $c \ne 0$ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ $cR_i$
แบบที่ 3 คูณสมาชิกในแถวที่ $i$ ด้วยค่าคงตัว $c$ เมื่อ $c \ne 0$ แล้วนำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่ $j$ เมื่อ $i \ne j$ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ $cR_i + R_j$ (แทนผลลัพธ์นี้ในแถวที่ $j$ )
ทำจนเมทริกซ์ด้านซ้ายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้วจะได้เมทริกซ์ด้านขวาคือคำตอบของระบบสมการ

ตัวอย่างที่ 15

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย - บทเมทริกซ์

เอาล่ะ!! พออ่านสรุปเนื้อหาเมทริกซ์ ม.5 จบครบทุกหัวข้อ ก็ได้เวลามาฝึกทำโจทย์เมทริกซ์กันบ้างแล้ว โดยพี่กอล์ฟนำ ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทเมทริกซ์ มาให้ได้วิเคราะห์ระดับความยาก – ง่ายของข้อสอบ พร้อมเฉลยละเอียดให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์ด้วยครับ

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท

เมทริกซ์

เมทริกซ์ A-Level

และนี่คือ เนื้อหาสำคัญในบทเมทริกซ์ ม.5 ที่น้อง ๆ ควรรู้นะครับ จะเห็นเลยว่าบทนี้เป็น บทคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มีสัญลักษณ์และนิยามใหม่ ๆ ค่อนข้างเยอะ แล้วยังเป็นบทที่ตัวเลขตอนคำนวณเยอะด้วยเช่นกัน ดังนั้นตอนอยู่ในห้องสอบ พี่กอล์ฟขอเตือนว่าต้องระมัดระวังเรื่องการคิดเลขด้วยนะ แต่ถ้าใครที่หมั่นฝึกฝนทำโจทย์เยอะ ๆ พี่มั่นใจเลยว่าบทเมทริกซ์นี้จะเป็นบทเก็บคะแนนของน้อง ๆ แน่นอน ✌️

ใครเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย แล้วรู้สึกว่าเมทริกซ์เป็นบทยาก หรืออยากติวคณิตบทนี้ให้แม่นขึ้นกว่าเดิม สามารถสมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท ที่ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ

สมัครคอร์สนี้ดียังไง?

✔ ในคอร์สนี้พี่ ๆ ติวเตอร์สรุปเนื้อหาไว้อย่างครบถ้วน กระชับเข้าใจง่าย ปูพื้นฐานให้อย่างละเอียด

✔ พร้อมพาฝึกทำโจทย์อย่างเข้มข้นเป็นขั้นตอน ไล่ระดับตั้งแต่ง่าย ปานกลาง ไปจนถึงยาก ที่เป็นข้อสอบแข่งขันจากสนามสอบต่าง ๆ ทั้งในและต่างประเทศ

✔ เสริมด้วยเทคนิคทริกลัด ที่จะช่วยให้น้อง ๆ สามารถทำข้อสอบปรนัยได้อย่างรวดเร็วยิ่งขึ้น นำไปใช้ได้จริงในห้องสอบ

✔ สอนโดยทีมติวเตอร์คณิตศาสตร์ ด้วยเทคนิคการสอนที่เข้าใจง่าย ช่วยให้การเรียนคณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องยากและกลายเป็นเรื่องสนุก

คอร์สนี้เหมาะกับใคร?

✔ น้อง ม.4 ที่กำลังจะขึ้น ม.5 ที่ต้องการเตรียมตัวล่วงหน้า

✔ น้อง ม.5 ที่ต้องการเรียนควบคู่ไปกับที่โรงเรียนเพื่อคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ และเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในระบบ TCAS วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์1 A-Level

ใครอยากเก่งคณิต อยากได้โจทย์และเทคนิคดี ๆ จาก พี่ ๆ ติวเตอร์ ทีมคณิตศาสตร์ รีบกดติดตามก่อนใครได้ที่ช่องทางด้านล่างนี้เลย!