ใครงงกับ “เมทริกซ์” อยู่ตอนนี้… อย่าเพิ่งถอดใจกันไปนะครับ!! เพราะบทนี้เป็นหนึ่งในบทสำคัญของ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มักจะเจอได้บ่อย ๆ ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย
ตามหลักสูตรแล้ว บทเมทริกซ์จะอยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 แต่บางโรงเรียนก็อาจเรียนกันตั้งแต่ ม.4 เทอม 2 เลยด้วย ซึ่งหลักสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ในปัจจุบัน มีการปรับปรุงเนื้อหาบทเมทริกซ์โดยนำเนื้อหาของเดิมบางส่วนออกไป อย่างเช่น เรื่องไมเนอร์ (Minor), โคแฟกเตอร์ (Cofactor) และเมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix)
วันนี้ พี่กอล์ฟ – อ.ชวลิต กุลกีรติการ จะพาไปทบทวน สรุปเมทริกซ์ ม.5 แบบเน้นจุดสำคัญที่น้อง ๆ ต้องรู้ก่อนเข้าห้องสอบ พร้อมแนวข้อสอบ TCAS และเฉลยละเอียด มาแจกกันด้วยครับ รับรองว่าอ่านจบแล้ว เข้าใจเมทริกซ์มากขึ้นแน่นอน!!
พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์
เริ่มต้นบทเมทริกซ์ ม.5 น้อง ๆ จะได้เรียนหัวข้อ พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์ ก่อนเลยครับว่า เมทริกซ์ คืออะไร?
ให้ และ
เป็นจำนวนเต็มบวก ชุดของจำนวนจริง
จำนวน ซึ่งเขียนเรียงกันในรูป








จากนิยามจะพบว่ามีค่าที่น้อง ๆ ต้องรู้หลายคำเลยทีเดียว เช่น แถว, หลัก, สมาชิก, ขนาด หรือมิติ เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้นเรามาดูจากตัวอย่างกันดีกว่า
ตัวอย่างที่ 1

การเท่ากันของเมทริกซ์
หลังจากเราทำความรู้จักหน้าตาของเมทริกซ์และรู้ว่าเมทริกซ์คืออะไรแล้ว ตามพี่กอล์ฟมาดูกันต่อเลยครับว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้ ต้องมีเงื่อนไขอะไรบ้าง?
ให้ และ
เท่ากับ
ก็ต่อเมื่อ
และ
สำหรับทุก และ
เขียนแทน เท่ากับ
ด้วย
หรือจำง่าย ๆ ว่า ก็ต่อเมื่อ
- ขนาดของ
= ขนาดของ
- สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันต้องเท่ากันทุกตำแหน่ง
ตัวอย่างที่ 2

การบวกและลบเมทริกซ์
พอน้อง ๆ รู้แล้วว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้เมื่อไหร่ ต่อมาเราจะเริ่มนำเมทริกซ์มาดำเนินการกัน โดยเริ่มจาก การบวกและลบเมทริกซ์ ก่อนเลย
ให้ และ
เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน
ผลบวกของเมทริกซ์ กับเมทริกซ์
คือ เมทริกซ์
เมื่อ สำหรับทุก
และ เขียนแทน
บวกกับ
ด้วย
นั่นคือ
หรือจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะนำมาบวกลบกันได้ ขนาดของทั้ง 2 เมทริกซ์ต้องเท่ากัน และในการบวกลบเมทริกซ์ ให้น้อง ๆ นำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกันครับ
ตัวอย่างที่ 3

การคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง
หัวข้อต่อมาหลังจากได้เรียนรู้เรื่องการบวกลบเมทริกซ์แล้ว เราจะมาดูเรื่อง การคูณระหว่างเมทริกซ์กับจำนวนจริง กันบ้าง
ให้ และ
เป็นจำนวนจริง
ผลคูณของ กับเมทริกซ์
คือ เมทริกซ์
เมื่อ สำหรับทุก
และ เขียนแทนผลคูณของ
กับเมทริกซ์
ด้วย
นั่นคือ
พี่จะบอกวิธีจำง่าย ๆ ให้ว่า เวลาน้อง ๆ จะคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงให้ นำจำนวนจริงนั้นคูณสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์ ครับ
ตัวอย่างที่ 4

การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์
จากหัวข้อที่แล้วอย่างการคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง น้อง ๆ จะเห็นว่าไม่ยากเลยนะครับ แต่สำหรับหัวข้อนี้ที่เป็น การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ ต้องบอกเลยว่าเป็นหัวข้อที่ทำให้รุ่นพี่เราหลาย ๆ คนที่ผ่านการเรียนเมทริกซ์ ม.5 มาแล้ว ถึงกับบ่นกันเลยทีเดียว
แต่จริง ๆ แล้ว การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ไม่ใช่เรื่องยุ่งยากซับซ้อนมากนัก ถ้าน้อง ๆ เข้าใจและจับหลักได้ เรามาเริ่มจากการดูนิยามกันก่อนเลยครับ
ถ้า และ
ผลคูณของเมทริกซ์ และ
เขียนแทนด้วย
จะนิยามได้
ก็ต่อเมื่อ และเมทริกซ์ผลคูณ
จะมีขนาด
ซึ่งมีสมาชิกในแถวที่ และหลักที่
เป็น
สำหรับทุก และ
น้อง ๆ บางคนบอก แค่อ่านนิยามก็มึนแล้ววว 😵 ไม่เป็นไร ๆ เดี๋ยวพี่กอล์ฟแปลเป็นภาษาง่าย ๆ ให้เหมือนเดิมครับ
เริ่มจากเราต้องดูก่อนว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ที่จะนำมาคูณกัน สามารถคูณกันได้หรือไม่ เพราะบางคู่ก็คูณได้ บางคู่ก็คูณไม่ได้
หลักในการดู คือ เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะคูณกันได้เมื่อ
ถ้าไม่เท่ากันจะคูณกันไม่ได้
และ


ตัวอย่างที่ 5

หลังจากตรวจสอบได้แล้วว่า เมทริกซ์คู่ใดคูณกันได้หรือคูณกันไม่ได้ ต่อมาเราจะมา หาผลลัพธ์จากการคูณ กันครับ โดยน้อง ๆ ต้องคำนวณกันทีละตำแหน่ง
เช่น
สมาชิกของผลลัพธ์ จะเกิดจากการนำสมาชิกในแถวที่
ของ
มาคูณตัวต่อตัวกับสมาชิกในหลักที่ ของ
แล้วนำผลคูณที่ได้มาบวกกัน

ตัวอย่างที่ 6

ควรรู้! โดยทั่ว ๆ ไปการคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์จะไม่มีสมบัติการสลับที่การคูณ นั่นคือ
ตัวอย่างที่ 7

เมทริกซ์เอกลักษณ์
สำหรับจำนวนเต็มบวก ใด ๆ ให้
เป็นเมทริกซ์ขนาด
ซึ่งเป็นสมาชิกในแถวที่
และหลักที่
เป็น 1 สำหรับทุก
และสมาชิกในแถวที่
และหลักที่
เป็น 0 เมื่อ
เรียก
ว่า เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) ขนาด
ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์
สมบัติของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณ
ให้ และ
จะได้ว่า
และ
และ
เมื่อ
เป็นจำนวนจริง
เมื่อ
เป็นเมทริกซ์ขนาด
เมื่อ
เป็นเมทริกซ์ขนาด
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
ให้ ถ้า
โดยที่
สำหรับทุก และ
แล้วจะเรียก ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ
เขียนแทนด้วย
หรืออาจจะจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก หรือเปลี่ยนหลักไปเป็นแถว
ตัวอย่างที่ 8

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)
อีกหนึ่งหัวข้อที่น้อง ๆ จะได้เรียนในบทเมทริกซ์ ม.5 ก็คือ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) ครับ โดยดีเทอร์มิแนนต์มีสัญลักษณ์ที่ใช้ คือ หรือ
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

หรือจำง่าย ๆ ได้แบบนี้

ตัวอย่างที่ 9

ตัวอย่างที่ 10

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3
การหา ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3 จะมีวิธีการคล้าย ๆ แบบขนาด 2 × 2 คือ ใช้การคูณทแยงลงและทแยงขึ้น แล้วนำผลคูณที่ได้มารวมกัน แต่น้องต้องเขียน 2 หลักแรกมาต่อด้านท้ายก่อนการคูณครับ

ขั้นที่ 1 เขียนหลักที่ 1 และ 2 ต่อท้ายหลักที่ 3 เพิ่ม

ขั้นที่ 2 คูณทแยงแนวลงและแนวขึ้น จากนั้นนำผลคูณที่ได้มารวมกัน

ตัวอย่างที่ 11

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
ให้ และ
เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน และ
เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
เมื่อ
เป็นค่าคงตัวและ
มีขนาด
เมทริกซ์ผกผัน (อินเวอร์สการคูณ)
ให้ เป็นเมทริกซ์ขนาด
ถ้ามีเมทริกซ์
ขนาด
ซึ่ง
แล้วจะเรียก ว่า เมทริกซ์ผกผัน หรือ ตัวผกผันการคูณ หรือ อินเวอร์สการคูณ ของเมทริกซ์
และเขียนแทนด้วย
จากนิยามจะพบว่า เมทริกซ์ที่จะสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้จะต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งในหลักสูตรปัจจุบันจะเรียนการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่เกิน 2 × 2
สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 1 × 1

ตัวอย่างที่ 12

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

จากวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันจะเห็นว่า การหาเมทริกซ์ผกผันขึ้นกับค่าของ ด้วย คือ เมทริกซ์ผกผันจะมีค่าเมื่อ
เท่านั้น

ตัวอย่างที่ 13

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น
ปิดท้ายด้วยหัวข้อ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น น้อง ๆ คงจะเคยแก้ระบบสมการเชิงเส้นกันมาแล้วตั้งแต่สมัยเรียนคณิตศาสตร์ ม.ต้น ซึ่งใน ม.ต้น เรามักจะแก้โดยการกำจัดตัวแปร ด้วยการทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรบางตัวให้เท่ากัน แล้วนำสมการมาบวกลบกัน ในบทนี้เราสามารถนำความรู้เรื่องเมทริกซ์มาใช้แก้ระบบสมการได้อีกด้วย
โดยในหลักสูตรจะเน้นไปที่ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและสามตัวแปร แต่น้อง ๆ สามารถนำหลักการนี้ไปใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนตัวแปรมากกว่านี้ได้เช่นกันครับ
พี่จะพาไปเรียนรู้ วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 วิธี นั่นคือ
- วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์ผกผัน
- วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์แต่งเติม
1. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
ขั้นตอนการทำ
- เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์
เมื่อคือ เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์
คือ เมทริกซ์ของตัวแปร
คือ เมทริกซ์ของค่าคงตัวทางขวา
- จากสมการ
ทำการหาเมทริกซ์
จาก
A-1A-1
จะได้
ตัวอย่างที่ 14

2. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์แต่งเติม
ขั้นตอนการทำ
- เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์
แล้วแปลงต่อในรูปเมทริกซ์แต่งเติม - ใช้การดำเนินการตามแถว ซึ่งมี 3 แบบ ดังนี้
แบบที่ 1 สลับแถวที่
และแถวที่
ของเมทริกซ์ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์
แบบที่ 2 คูณสมาชิกในแถวที่
ด้วยค่าคงตัว
เมื่อ
ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์
แบบที่ 3 คูณสมาชิกในแถวที่
ด้วยค่าคงตัว
เมื่อ
แล้วนำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่
เมื่อ
ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์
(แทนผลลัพธ์นี้ในแถวที่
)
ทำจนเมทริกซ์ด้านซ้ายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้วจะได้เมทริกซ์ด้านขวาคือคำตอบของระบบสมการ
ตัวอย่างที่ 15

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย - บทเมทริกซ์
เอาล่ะ!! พออ่านสรุปเนื้อหาเมทริกซ์ ม.5 จบครบทุกหัวข้อ ก็ได้เวลามาฝึกทำโจทย์เมทริกซ์กันบ้างแล้ว โดยพี่กอล์ฟนำ ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทเมทริกซ์ มาให้ได้วิเคราะห์ระดับความยาก – ง่ายของข้อสอบ พร้อมเฉลยละเอียดให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์ด้วยครับ
โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย
และนี่คือ เนื้อหาสำคัญในบทเมทริกซ์ ม.5 ที่น้อง ๆ ควรรู้นะครับ จะเห็นเลยว่าบทนี้เป็น บทคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มีสัญลักษณ์และนิยามใหม่ ๆ ค่อนข้างเยอะ แล้วยังเป็นบทที่ตัวเลขตอนคำนวณเยอะด้วยเช่นกัน ดังนั้นตอนอยู่ในห้องสอบ พี่กอล์ฟขอเตือนว่าต้องระมัดระวังเรื่องการคิดเลขด้วยนะ แต่ถ้าใครที่หมั่นฝึกฝนทำโจทย์เยอะ ๆ พี่มั่นใจเลยว่าบทเมทริกซ์นี้จะเป็นบทเก็บคะแนนของน้อง ๆ แน่นอน ✌️
ใครเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย แล้วรู้สึกว่าเมทริกซ์เป็นบทยาก หรืออยากติวคณิตบทนี้ให้แม่นขึ้นกว่าเดิม สามารถสมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท ที่ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ
สมัครคอร์สนี้ดียังไง?
✔ ในคอร์สนี้พี่ ๆ ติวเตอร์สรุปเนื้อหาไว้อย่างครบถ้วน กระชับเข้าใจง่าย ปูพื้นฐานให้อย่างละเอียด
✔ พร้อมพาฝึกทำโจทย์อย่างเข้มข้นเป็นขั้นตอน ไล่ระดับตั้งแต่ง่าย ปานกลาง ไปจนถึงยาก ที่เป็นข้อสอบแข่งขันจากสนามสอบต่าง ๆ ทั้งในและต่างประเทศ
✔ เสริมด้วยเทคนิคทริกลัด ที่จะช่วยให้น้อง ๆ สามารถทำข้อสอบปรนัยได้อย่างรวดเร็วยิ่งขึ้น นำไปใช้ได้จริงในห้องสอบ
✔ สอนโดยทีมติวเตอร์คณิตศาสตร์ ด้วยเทคนิคการสอนที่เข้าใจง่าย ช่วยให้การเรียนคณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องยากและกลายเป็นเรื่องสนุก
คอร์สนี้เหมาะกับใคร?
✔ น้อง ม.4 ที่กำลังจะขึ้น ม.5 ที่ต้องการเตรียมตัวล่วงหน้า
✔ น้อง ม.5 ที่ต้องการเรียนควบคู่ไปกับที่โรงเรียนเพื่อคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ และเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในระบบ TCAS วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์1 A-Level
ใครอยากเก่งคณิต อยากได้โจทย์และเทคนิคดี ๆ จาก พี่ ๆ ติวเตอร์ ทีมคณิตศาสตร์ รีบกดติดตามก่อนใครได้ที่ช่องทางด้านล่างนี้เลย!
- Facebook Page : WE BY THE BRAIN
- Instagram : webythebrain
- Youtube : WE BY THE BRAIN
- Tiktok : คณิต เดอะเบรน
- Lemon8 : คณิต เดอะเบรน

อ.ชวลิต กุลกีรติการ (พี่กอล์ฟ)
วิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เกียรตินิยม ประสบการณ์การสอน 24 ปี