สรุปครบ เมทริกซ์ ม.5 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS & เฉลยละเอียด แจกฟรี!

สรุปเมทริกซ์ ม.5 ฉบับเข้าใจง่าย พร้อมแนวข้อสอบ TCAS + เฉลยละเอียด

เลือกอ่านหัวข้อที่สนใจ คลิกเลย!

เลือกอ่านหัวข้อที่สนใจ คลิกเลย!

      ใครงงกับ “เมทริกซ์” อยู่ตอนนี้… อย่าเพิ่งถอดใจกันไปนะครับ!! เพราะบทนี้เป็นหนึ่งในบทสำคัญของ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มักจะเจอได้บ่อย ๆ ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย

      ตามหลักสูตรแล้ว บทเมทริกซ์จะอยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 แต่บางโรงเรียนก็อาจเรียนกันตั้งแต่ ม.4 เทอม 2 เลยด้วย ซึ่งหลักสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ในปัจจุบัน มีการปรับปรุงเนื้อหาบทเมทริกซ์โดยนำเนื้อหาของเดิมบางส่วนออกไป อย่างเช่น เรื่องไมเนอร์ (Minor), โคแฟกเตอร์ (Cofactor) และเมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix)

      วันนี้ พี่กอล์ฟ – อ.ชวลิต กุลกีรติการ จะพาไปทบทวน สรุปเมทริกซ์ ม.5 แบบเน้นจุดสำคัญที่น้อง ๆ ต้องรู้ก่อนเข้าห้องสอบ พร้อมแนวข้อสอบ TCAS และเฉลยละเอียด มาแจกกันด้วยครับ รับรองว่าอ่านจบแล้ว เข้าใจเมทริกซ์มากขึ้นแน่นอน!!

พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์

      เริ่มต้นบทเมทริกซ์ ม.5 น้อง ๆ จะได้เรียนหัวข้อ พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์ ก่อนเลยครับว่า เมทริกซ์ คืออะไร?

บทนิยาม

ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ชุดของจำนวนจริง mn จำนวน ซึ่งเขียนเรียงกันในรูป

    \[ \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \none & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \]

เรียกว่า เมทริกซ์ (matrix) ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด m แถว ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวตั้ง เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด n หลัก เรียก a_{ij} ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ ถ้าเมทริกซ์มี m แถว n หลัก จะเรียก m \times n ว่า ขนาด (size) หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์

      จากนิยามจะพบว่ามีค่าที่น้อง ๆ ต้องรู้หลายคำเลยทีเดียว เช่น แถว, หลัก, สมาชิก, ขนาด หรือมิติ เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้นเรามาดูจากตัวอย่างกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 1 - พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์ คืออะไร?

การเท่ากันของเมทริกซ์

      หลังจากเราทำความรู้จักหน้าตาของเมทริกซ์และรู้ว่าเมทริกซ์คืออะไรแล้ว ตามพี่กอล์ฟมาดูกันต่อเลยครับว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้ ต้องมีเงื่อนไขอะไรบ้าง?

บทนิยาม

ให้ A = [a_{ij}]_{m \times n} และ B = [b_{ij}]_{p \times q}

A เท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ m = p, \, n = q และ a_{ij} = b_{ij}

สำหรับทุก i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\} และ j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}

เขียนแทน A เท่ากับ B ด้วย A = B

      หรือจำง่าย ๆ ว่า A = B ก็ต่อเมื่อ

  1. ขนาดของ A = ขนาดของ B
  2. สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันต้องเท่ากันทุกตำแหน่ง

ตัวอย่างที่ 2

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 2 - การเท่ากันของเมทริกซ์

การบวกและลบเมทริกซ์

      พอน้อง ๆ รู้แล้วว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้เมื่อไหร่ ต่อมาเราจะเริ่มนำเมทริกซ์มาดำเนินการกัน โดยเริ่มจาก การบวกและลบเมทริกซ์ ก่อนเลย

บทนิยาม

ให้ A = [a_{ij}]_{m \times n} และ B = [b_{ij}]_{m \times n} เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน

ผลบวกของเมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B คือ เมทริกซ์ [c_{ij}]_{m \times n}

เมื่อ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} สำหรับทุก i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}

และ j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\} เขียนแทน A บวกกับ B ด้วย A + B

นั่นคือ [a_{ij}]_{m \times n} + [b_{ij}]_{m \times n} = [a_{ij} + b_{ij}]_{m \times n}

      หรือจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะนำมาบวกลบกันได้ ขนาดของทั้ง 2 เมทริกซ์ต้องเท่ากัน และในการบวกลบเมทริกซ์ ให้น้อง ๆ นำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกันครับ

ตัวอย่างที่ 3

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 3 - การบวกและลบเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง

      หัวข้อต่อมาหลังจากได้เรียนรู้เรื่องการบวกลบเมทริกซ์แล้ว เราจะมาดูเรื่อง การคูณระหว่างเมทริกซ์กับจำนวนจริง กันบ้าง

บทนิยาม

ให้ A = [a_{ij}]_{m \times n} และ c เป็นจำนวนจริง

ผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A คือ เมทริกซ์ [b_{ij}]_{m \times n}

เมื่อ b_{ij} = c a_{ij} สำหรับทุก i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}

และ j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\} เขียนแทนผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A ด้วย cA

นั่นคือ c [a_{ij}]_{m \times n} = [c a_{ij}]_{m \times n}

      พี่จะบอกวิธีจำง่าย ๆ ให้ว่า เวลาน้อง ๆ จะคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงให้ นำจำนวนจริงนั้นคูณสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์ ครับ

ตัวอย่างที่ 4

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 4 - การคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง

การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

      จากหัวข้อที่แล้วอย่างการคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง น้อง ๆ จะเห็นว่าไม่ยากเลยนะครับ แต่สำหรับหัวข้อนี้ที่เป็น การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ ต้องบอกเลยว่าเป็นหัวข้อที่ทำให้รุ่นพี่เราหลาย ๆ คนที่ผ่านการเรียนเมทริกซ์ ม.5 มาแล้ว ถึงกับบ่นกันเลยทีเดียว

      แต่จริง ๆ แล้ว การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ไม่ใช่เรื่องยุ่งยากซับซ้อนมากนัก ถ้าน้อง ๆ เข้าใจและจับหลักได้ เรามาเริ่มจากการดูนิยามกันก่อนเลยครับ

บทนิยาม

ถ้า  A = [a_{ij}]_{m \times n}  และ  B = [b_{ij}]_{p \times q}

ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B เขียนแทนด้วย AB จะนิยามได้

ก็ต่อเมื่อ n = p และเมทริกซ์ผลคูณ AB จะมีขนาด m \times q

ซึ่งมีสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เป็น a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj}

สำหรับทุก  i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}  และ  j \in \{1, 2, 3, \ldots, q\}

      น้อง ๆ บางคนบอก แค่อ่านนิยามก็มึนแล้ววว 😵 ไม่เป็นไร ๆ เดี๋ยวพี่กอล์ฟแปลเป็นภาษาง่าย ๆ ให้เหมือนเดิมครับ

      เริ่มจากเราต้องดูก่อนว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ที่จะนำมาคูณกัน สามารถคูณกันได้หรือไม่ เพราะบางคู่ก็คูณได้ บางคู่ก็คูณไม่ได้

      หลักในการดู คือ เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะคูณกันได้เมื่อ

จำนวนหลักของตัวหน้า = จำนวนแถวของตัวหลัง

      ถ้าไม่เท่ากันจะคูณกันไม่ได้

      และ

ขนาดของเมทริกซ์ผลลัพธ์ = จำนวนแถวของตัวหน้า \times จำนวนหลักของตัวหลัง
สรุป เมทริกซ์ ม.5 - การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 5

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 5 - การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

      หลังจากตรวจสอบได้แล้วว่า เมทริกซ์คู่ใดคูณกันได้หรือคูณกันไม่ได้ ต่อมาเราจะมา หาผลลัพธ์จากการคูณ กันครับ โดยน้อง ๆ ต้องคำนวณกันทีละตำแหน่ง

      เช่น  A_{2 \times 2} B_{2 \times 3} = C_{2 \times 3}

             สมาชิกของผลลัพธ์ C_{ij} จะเกิดจากการนำสมาชิกในแถวที่ i ของ A

             มาคูณตัวต่อตัวกับสมาชิกในหลักที่ j ของ B แล้วนำผลคูณที่ได้มาบวกกัน

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ผลลัพธ์การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 6

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 6 - การผลลัพธ์การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ (1)

      ควรรู้!  โดยทั่ว ๆ ไปการคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์จะไม่มีสมบัติการสลับที่การคูณ นั่นคือ AB \neq BA

ตัวอย่างที่ 7

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 7 - การผลลัพธ์การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ (2)

เมทริกซ์เอกลักษณ์

      สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ ให้ I_n เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times n ซึ่งเป็นสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ i เป็น 1 สำหรับทุก i \in \{1, 2, 3, \ldots, n\} และสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เป็น 0 เมื่อ i \neq j เรียก I_n ว่า เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) ขนาด n \times n

ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์

I_1 = \left[1\right], \quad I_2 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right], \quad I_3 = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

สมบัติของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณ

      ให้ A = [a_{ij}]_{m \times n}, \quad B = [b_{ij}]_{n \times p}  และ  C = [c_{ij}]_{p \times q} \quad จะได้ว่า

  1. A(BC) = (AB)C
  2. \mathbf{\underline{0}}_{r \times m} A = \mathbf{\underline{0}}_{r \times n} และ A \mathbf{\underline{0}}_{n \times r} = \mathbf{\underline{0}}_{m \times r}
  3. I_m A = A และ AI_n = A
  4. (cA)B = A(cB) = c(AB) เมื่อ c เป็นจำนวนจริง
  5. A(B + D) = AB + AD     เมื่อ D เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times p
  6. (A + E)B = AB + EB      เมื่อ  E  เป็นเมทริกซ์ขนาด  m \times n

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

บทนิยาม

ให้  A = [a_{ij}]_{m \times n}  ถ้า  B = [b_{ij}]_{n \times m}  โดยที่  b_{ij} = a_{ji}

สำหรับทุก  i \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}  และ  j \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}

แล้วจะเรียก  B  ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ A เขียนแทนด้วย A^t

      หรืออาจจะจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก หรือเปลี่ยนหลักไปเป็นแถว

ตัวอย่างที่ 8

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 8 - การหาเมทริกซ์สลับเปลี่ยน

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)

      อีกหนึ่งหัวข้อที่น้อง ๆ จะได้เรียนในบทเมทริกซ์ ม.5 ก็คือ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) ครับ โดยดีเทอร์มิแนนต์มีสัญลักษณ์ที่ใช้ คือ det(A) หรือ |A|

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

      หรือจำง่าย ๆ ได้แบบนี้

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2​

ตัวอย่างที่ 9

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 9 - การดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2​ จงหา detA

ตัวอย่างที่ 10

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 10 - การดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2​ จงหา detB

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3

      การหา ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3 จะมีวิธีการคล้าย ๆ แบบขนาด 2 × 2 คือ ใช้การคูณทแยงลงและทแยงขึ้น แล้วนำผลคูณที่ได้มารวมกัน แต่น้องต้องเขียน 2 หลักแรกมาต่อด้านท้ายก่อนการคูณครับ

      ขั้นที่ 1 เขียนหลักที่ 1 และ 2 ต่อท้ายหลักที่ 3 เพิ่ม

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3​ ขั้นที่ 1

      ขั้นที่ 2 คูณทแยงแนวลงและแนวขึ้น จากนั้นนำผลคูณที่ได้มารวมกัน

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3​ ขั้นที่ 2

ตัวอย่างที่ 11

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 11 - การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3​

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

      ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

  1. det(I) = 1
  2. det(A^t) = detA
  3. det(A^n) = (detA)^n
  4. det(AB) = (detA)(detB)
  5. det(kA) = (k^n)detA เมื่อ k เป็นค่าคงตัวและ A มีขนาด  n \times n

เมทริกซ์ผกผัน (อินเวอร์สการคูณ)

บทนิยาม

ให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times n ถ้ามีเมทริกซ์ B ขนาด n \times n ซึ่ง

AB = BA = I_n

แล้วจะเรียก B ว่า เมทริกซ์ผกผัน หรือ ตัวผกผันการคูณ หรือ อินเวอร์สการคูณ ของเมทริกซ์ A และเขียนแทนด้วย A^{-1}

      จากนิยามจะพบว่า เมทริกซ์ที่จะสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้จะต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งในหลักสูตรปัจจุบันจะเรียนการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่เกิน 2 × 2

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 1 × 1

ตัวอย่างที่ 12

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ตัวอย่าง 12

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

      จากวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันจะเห็นว่า การหาเมทริกซ์ผกผันขึ้นกับค่าของ detA ด้วย คือ เมทริกซ์ผกผันจะมีค่าเมื่อ det(A) \neq 0 เท่านั้น

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - การหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2

ตัวอย่างที่ 13

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่าง 13 - การหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

      ปิดท้ายด้วยหัวข้อ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น น้อง ๆ คงจะเคยแก้ระบบสมการเชิงเส้นกันมาแล้วตั้งแต่สมัยเรียนคณิตศาสตร์ ม.ต้น ซึ่งใน ม.ต้น เรามักจะแก้โดยการกำจัดตัวแปร ด้วยการทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรบางตัวให้เท่ากัน แล้วนำสมการมาบวกลบกัน ในบทนี้เราสามารถนำความรู้เรื่องเมทริกซ์มาใช้แก้ระบบสมการได้อีกด้วย

      โดยในหลักสูตรจะเน้นไปที่ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและสามตัวแปร แต่น้อง ๆ สามารถนำหลักการนี้ไปใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนตัวแปรมากกว่านี้ได้เช่นกันครับ

      พี่จะพาไปเรียนรู้ วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 วิธี นั่นคือ

  1. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์ผกผัน
  2. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์แต่งเติม

1. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

ขั้นตอนการทำ

  1. เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ AX = B
    เมื่อ    A คือ เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์
           X คือ เมทริกซ์ของตัวแปร
        B คือ เมทริกซ์ของค่าคงตัวทางขวา

  2. จากสมการ AX = B ทำการหาเมทริกซ์ X
    จาก         AX = B
           A-1AX = A-1B  จะได้  X = A^{-1}B

ตัวอย่างที่ 14

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่าง 14 - การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

2. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์แต่งเติม

ขั้นตอนการทำ

  1. เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ AX = B
    แล้วแปลงต่อในรูปเมทริกซ์แต่งเติม [A \,|\, B]

  2. ใช้การดำเนินการตามแถว ซึ่งมี 3 แบบ ดังนี้

    แบบที่ 1 สลับแถวที่ i และแถวที่ j ของเมทริกซ์ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ R_i \leftrightarrow R_j

    แบบที่ 2 คูณสมาชิกในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c เมื่อ c \ne 0 ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ cR_i

    แบบที่ 3 คูณสมาชิกในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c เมื่อ c \ne 0 แล้วนำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่ j เมื่อ i \ne j ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ cR_i + R_j (แทนผลลัพธ์นี้ในแถวที่ j)

    ทำจนเมทริกซ์ด้านซ้ายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้วจะได้เมทริกซ์ด้านขวาคือคำตอบของระบบสมการ

ตัวอย่างที่ 15

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่าง 15 - การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์แต่งเติม

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย - บทเมทริกซ์

      เอาล่ะ!! พออ่านสรุปเนื้อหาเมทริกซ์ ม.5 จบครบทุกหัวข้อ ก็ได้เวลามาฝึกทำโจทย์เมทริกซ์กันบ้างแล้ว โดยพี่กอล์ฟนำ ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทเมทริกซ์ มาให้ได้วิเคราะห์ระดับความยาก – ง่ายของข้อสอบ พร้อมเฉลยละเอียดให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์ด้วยครับ

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 1 - ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 2 - ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 3 - ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 4 - ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย

      และนี่คือ เนื้อหาสำคัญในบทเมทริกซ์ ม.5 ที่น้อง ๆ ควรรู้นะครับ จะเห็นเลยว่าบทนี้เป็น บทคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มีสัญลักษณ์และนิยามใหม่ ๆ ค่อนข้างเยอะ แล้วยังเป็นบทที่ตัวเลขตอนคำนวณเยอะด้วยเช่นกัน ดังนั้นตอนอยู่ในห้องสอบ พี่กอล์ฟขอเตือนว่าต้องระมัดระวังเรื่องการคิดเลขด้วยนะ แต่ถ้าใครที่หมั่นฝึกฝนทำโจทย์เยอะ ๆ พี่มั่นใจเลยว่าบทเมทริกซ์นี้จะเป็นบทเก็บคะแนนของน้อง ๆ แน่นอน ✌️

      ใครเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย แล้วรู้สึกว่าเมทริกซ์เป็นบทยาก หรืออยากติวคณิตบทนี้ให้แม่นขึ้นกว่าเดิม สามารถสมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท ที่ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ

สมัครคอร์สนี้ดียังไง?

✔ ในคอร์สนี้พี่ ๆ ติวเตอร์สรุปเนื้อหาไว้อย่างครบถ้วน กระชับเข้าใจง่าย ปูพื้นฐานให้อย่างละเอียด

✔ พร้อมพาฝึกทำโจทย์อย่างเข้มข้นเป็นขั้นตอน ไล่ระดับตั้งแต่ง่าย ปานกลาง ไปจนถึงยาก ที่เป็นข้อสอบแข่งขันจากสนามสอบต่าง ๆ ทั้งในและต่างประเทศ

✔ เสริมด้วยเทคนิคทริกลัด ที่จะช่วยให้น้อง ๆ สามารถทำข้อสอบปรนัยได้อย่างรวดเร็วยิ่งขึ้น นำไปใช้ได้จริงในห้องสอบ

✔ สอนโดยทีมติวเตอร์คณิตศาสตร์ ด้วยเทคนิคการสอนที่เข้าใจง่าย ช่วยให้การเรียนคณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องยากและกลายเป็นเรื่องสนุก

คอร์สนี้เหมาะกับใคร?

✔ น้อง ม.4 ที่กำลังจะขึ้น ม.5 ที่ต้องการเตรียมตัวล่วงหน้า

✔ น้อง ม.5 ที่ต้องการเรียนควบคู่ไปกับที่โรงเรียนเพื่อคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ และเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในระบบ TCAS วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์1 A-Level

      ใครอยากเก่งคณิต อยากได้โจทย์และเทคนิคดี ๆ จาก พี่ ๆ ติวเตอร์ ทีมคณิตศาสตร์ รีบกดติดตามก่อนใครได้ที่ช่องทางด้านล่างนี้เลย!

Picture of อ.ชวลิต กุลกีรติการ (พี่กอล์ฟ)

อ.ชวลิต กุลกีรติการ (พี่กอล์ฟ)

วิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เกียรตินิยม ประสบการณ์การสอน 24 ปี

บทความแนะนำ

Top
ทดลองเรียนทดลองเรียนโปรโมชันโปรโมชันรับคำแนะนำรับคำแนะนำ