• WE BY THE BRAIN เรียนสนุก เข้าใจง่าย ทำโจทย์ได้จริง
เข้าสู่ระบบ
เข้าสู่ระบบ
ลงทะเบียน
ลงทะเบียน

สรุปครบ เมทริกซ์ ม.5 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS & เฉลยละเอียด แจกฟรี!

สรุปเมทริกซ์ ม.5 ฉบับเข้าใจง่าย พร้อมแนวข้อสอบ TCAS + เฉลยละเอียด

เลือกอ่านหัวข้อที่สนใจ คลิกเลย!

เลือกอ่านหัวข้อที่สนใจ คลิกเลย!

      ใครงงกับ “เมทริกซ์” อยู่ตอนนี้… อย่าเพิ่งถอดใจกันไปนะครับ!! เพราะบทนี้เป็นหนึ่งในบทสำคัญของ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มักจะเจอได้บ่อย ๆ ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย

      ตามหลักสูตรแล้ว บทเมทริกซ์จะอยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 แต่บางโรงเรียนก็อาจเรียนกันตั้งแต่ ม.4 เทอม 2 เลยด้วย ซึ่งหลักสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ในปัจจุบัน มีการปรับปรุงเนื้อหาบทเมทริกซ์โดยนำเนื้อหาของเดิมบางส่วนออกไป อย่างเช่น เรื่องไมเนอร์ (Minor), โคแฟกเตอร์ (Cofactor) และเมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix)

      วันนี้ พี่กอล์ฟ – อ.ชวลิต กุลกีรติการ จะพาไปทบทวน สรุปเมทริกซ์ ม.5 แบบเน้นจุดสำคัญที่น้อง ๆ ต้องรู้ก่อนเข้าห้องสอบ พร้อมแนวข้อสอบ TCAS และเฉลยละเอียด มาแจกกันด้วยครับ รับรองว่าอ่านจบแล้ว เข้าใจเมทริกซ์มากขึ้นแน่นอน!!

พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์

      เริ่มต้นบทเมทริกซ์ ม.5 น้อง ๆ จะได้เรียนหัวข้อ พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์ ก่อนเลยครับว่า เมทริกซ์ คืออะไร?

บทนิยาม

ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ชุดของจำนวนจริง mn จำนวน ซึ่งเขียนเรียงกันในรูป

    \[ \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \none & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \]

เรียกว่า เมทริกซ์ (matrix) ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด m แถว ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวตั้ง เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด n หลัก เรียก a_{ij} ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ ถ้าเมทริกซ์มี m แถว n หลัก จะเรียก m \times n ว่า ขนาด (size) หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์

      จากนิยามจะพบว่ามีค่าที่น้อง ๆ ต้องรู้หลายคำเลยทีเดียว เช่น แถว, หลัก, สมาชิก, ขนาด หรือมิติ เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้นเรามาดูจากตัวอย่างกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 1 - พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์ คืออะไร?

การเท่ากันของเมทริกซ์

      หลังจากเราทำความรู้จักหน้าตาของเมทริกซ์และรู้ว่าเมทริกซ์คืออะไรแล้ว ตามพี่กอล์ฟมาดูกันต่อเลยครับว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้ ต้องมีเงื่อนไขอะไรบ้าง?

บทนิยาม

ให้ A = [a_{ij}]_{m \times n} และ B = [b_{ij}]_{p \times q}

A เท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ m = p, \, n = q และ a_{ij} = b_{ij}

สำหรับทุก i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\} และ j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}

เขียนแทน A เท่ากับ B ด้วย A = B

      หรือจำง่าย ๆ ว่า A = B ก็ต่อเมื่อ

  1. ขนาดของ A = ขนาดของ B
  2. สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันต้องเท่ากันทุกตำแหน่ง

ตัวอย่างที่ 2

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 2 - การเท่ากันของเมทริกซ์

การบวกและลบเมทริกซ์

      พอน้อง ๆ รู้แล้วว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้เมื่อไหร่ ต่อมาเราจะเริ่มนำเมทริกซ์มาดำเนินการกัน โดยเริ่มจาก การบวกและลบเมทริกซ์ ก่อนเลย

บทนิยาม

ให้ A = [a_{ij}]_{m \times n} และ B = [b_{ij}]_{m \times n} เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน

ผลบวกของเมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B คือ เมทริกซ์ [c_{ij}]_{m \times n}

เมื่อ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} สำหรับทุก i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}

และ j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\} เขียนแทน A บวกกับ B ด้วย A + B

นั่นคือ [a_{ij}]_{m \times n} + [b_{ij}]_{m \times n} = [a_{ij} + b_{ij}]_{m \times n}

      หรือจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะนำมาบวกลบกันได้ ขนาดของทั้ง 2 เมทริกซ์ต้องเท่ากัน และในการบวกลบเมทริกซ์ ให้น้อง ๆ นำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกันครับ

ตัวอย่างที่ 3

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 3 - การบวกและลบเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง

      หัวข้อต่อมาหลังจากได้เรียนรู้เรื่องการบวกลบเมทริกซ์แล้ว เราจะมาดูเรื่อง การคูณระหว่างเมทริกซ์กับจำนวนจริง กันบ้าง

บทนิยาม

ให้ A = [a_{ij}]_{m \times n} และ c เป็นจำนวนจริง

ผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A คือ เมทริกซ์ [b_{ij}]_{m \times n}

เมื่อ b_{ij} = c a_{ij} สำหรับทุก i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}

และ j \in \{1, 2, 3, \ldots, n\} เขียนแทนผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A ด้วย cA

นั่นคือ c [a_{ij}]_{m \times n} = [c a_{ij}]_{m \times n}

      พี่จะบอกวิธีจำง่าย ๆ ให้ว่า เวลาน้อง ๆ จะคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงให้ นำจำนวนจริงนั้นคูณสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์ ครับ

ตัวอย่างที่ 4

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 4 - การคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง

การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

      จากหัวข้อที่แล้วอย่างการคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง น้อง ๆ จะเห็นว่าไม่ยากเลยนะครับ แต่สำหรับหัวข้อนี้ที่เป็น การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ ต้องบอกเลยว่าเป็นหัวข้อที่ทำให้รุ่นพี่เราหลาย ๆ คนที่ผ่านการเรียนเมทริกซ์ ม.5 มาแล้ว ถึงกับบ่นกันเลยทีเดียว

      แต่จริง ๆ แล้ว การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ไม่ใช่เรื่องยุ่งยากซับซ้อนมากนัก ถ้าน้อง ๆ เข้าใจและจับหลักได้ เรามาเริ่มจากการดูนิยามกันก่อนเลยครับ

บทนิยาม

ถ้า  A = [a_{ij}]_{m \times n}  และ  B = [b_{ij}]_{p \times q}

ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B เขียนแทนด้วย AB จะนิยามได้

ก็ต่อเมื่อ n = p และเมทริกซ์ผลคูณ AB จะมีขนาด m \times q

ซึ่งมีสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เป็น a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj}

สำหรับทุก  i \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}  และ  j \in \{1, 2, 3, \ldots, q\}

      น้อง ๆ บางคนบอก แค่อ่านนิยามก็มึนแล้ววว 😵 ไม่เป็นไร ๆ เดี๋ยวพี่กอล์ฟแปลเป็นภาษาง่าย ๆ ให้เหมือนเดิมครับ

      เริ่มจากเราต้องดูก่อนว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ที่จะนำมาคูณกัน สามารถคูณกันได้หรือไม่ เพราะบางคู่ก็คูณได้ บางคู่ก็คูณไม่ได้

      หลักในการดู คือ เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะคูณกันได้เมื่อ

จำนวนหลักของตัวหน้า = จำนวนแถวของตัวหลัง

      ถ้าไม่เท่ากันจะคูณกันไม่ได้

      และ

ขนาดของเมทริกซ์ผลลัพธ์ = จำนวนแถวของตัวหน้า \times จำนวนหลักของตัวหลัง
สรุป เมทริกซ์ ม.5 - การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 5

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 5 - การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

      หลังจากตรวจสอบได้แล้วว่า เมทริกซ์คู่ใดคูณกันได้หรือคูณกันไม่ได้ ต่อมาเราจะมา หาผลลัพธ์จากการคูณ กันครับ โดยน้อง ๆ ต้องคำนวณกันทีละตำแหน่ง

      เช่น  A_{2 \times 2} B_{2 \times 3} = C_{2 \times 3}

             สมาชิกของผลลัพธ์ C_{ij} จะเกิดจากการนำสมาชิกในแถวที่ i ของ A

             มาคูณตัวต่อตัวกับสมาชิกในหลักที่ j ของ B แล้วนำผลคูณที่ได้มาบวกกัน

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ผลลัพธ์การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 6

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 6 - การผลลัพธ์การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ (1)

      ควรรู้!  โดยทั่ว ๆ ไปการคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์จะไม่มีสมบัติการสลับที่การคูณ นั่นคือ AB \neq BA

ตัวอย่างที่ 7

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 7 - การผลลัพธ์การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ (2)

เมทริกซ์เอกลักษณ์

      สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ ให้ I_n เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times n ซึ่งเป็นสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ i เป็น 1 สำหรับทุก i \in \{1, 2, 3, \ldots, n\} และสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เป็น 0 เมื่อ i \neq j เรียก I_n ว่า เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) ขนาด n \times n

ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์

I_1 = \left[1\right], \quad I_2 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right], \quad I_3 = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

สมบัติของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณ

      ให้ A = [a_{ij}]_{m \times n}, \quad B = [b_{ij}]_{n \times p}  และ  C = [c_{ij}]_{p \times q} \quad จะได้ว่า

  1. A(BC) = (AB)C
  2. \mathbf{\underline{0}}_{r \times m} A = \mathbf{\underline{0}}_{r \times n} และ A \mathbf{\underline{0}}_{n \times r} = \mathbf{\underline{0}}_{m \times r}
  3. I_m A = A และ AI_n = A
  4. (cA)B = A(cB) = c(AB) เมื่อ c เป็นจำนวนจริง
  5. A(B + D) = AB + AD     เมื่อ D เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times p
  6. (A + E)B = AB + EB      เมื่อ E  เป็นเมทริกซ์ขนาด  m \times n

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

บทนิยาม

ให้  A = [a_{ij}]_{m \times n}  ถ้า  B = [b_{ij}]_{n \times m}  โดยที่  b_{ij} = a_{ji}

สำหรับทุก  i \in \{1, 2, 3, \ldots, n\}  และ  j \in \{1, 2, 3, \ldots, m\}

แล้วจะเรียก  B  ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ A เขียนแทนด้วย A^t

      หรืออาจจะจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก หรือเปลี่ยนหลักไปเป็นแถว

ตัวอย่างที่ 8

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 8 - การหาเมทริกซ์สลับเปลี่ยน

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)

      อีกหนึ่งหัวข้อที่น้อง ๆ จะได้เรียนในบทเมทริกซ์ ม.5 ก็คือ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) ครับ โดยดีเทอร์มิแนนต์มีสัญลักษณ์ที่ใช้ คือ det(A) หรือ |A|

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

      หรือจำง่าย ๆ ได้แบบนี้

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2​

ตัวอย่างที่ 9

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 9 - การดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2​ จงหา detA

ตัวอย่างที่ 10

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 10 - การดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2​ จงหา detB

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3

      การหา ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3 จะมีวิธีการคล้าย ๆ แบบขนาด 2 × 2 คือ ใช้การคูณทแยงลงและทแยงขึ้น แล้วนำผลคูณที่ได้มารวมกัน แต่น้องต้องเขียน 2 หลักแรกมาต่อด้านท้ายก่อนการคูณครับ

      ขั้นที่ 1 เขียนหลักที่ 1 และ 2 ต่อท้ายหลักที่ 3 เพิ่ม

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3​ ขั้นที่ 1

      ขั้นที่ 2 คูณทแยงแนวลงและแนวขึ้น จากนั้นนำผลคูณที่ได้มารวมกัน

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3​ ขั้นที่ 2

ตัวอย่างที่ 11

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่างที่ 11 - การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3​

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

      ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

  1. det(I) = 1
  2. det(A^t) = detA
  3. det(A^n) = (detA)^n
  4. det(AB) = (detA)(detB)
  5. det(kA) = (k^n)detA เมื่อ k เป็นค่าคงตัวและ A มีขนาด  n \times n

เมทริกซ์ผกผัน (อินเวอร์สการคูณ)

บทนิยาม

ให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด n \times n ถ้ามีเมทริกซ์ B ขนาด n \times n ซึ่ง

AB = BA = I_n

แล้วจะเรียก B ว่า เมทริกซ์ผกผัน หรือ ตัวผกผันการคูณ หรือ อินเวอร์สการคูณ ของเมทริกซ์ A และเขียนแทนด้วย A^{-1}

      จากนิยามจะพบว่า เมทริกซ์ที่จะสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้จะต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งในหลักสูตรปัจจุบันจะเรียนการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่เกิน 2 × 2

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 1 × 1

ตัวอย่างที่ 12

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - ตัวอย่าง 12

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 × 2

      จากวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันจะเห็นว่า การหาเมทริกซ์ผกผันขึ้นกับค่าของ detA ด้วย คือ เมทริกซ์ผกผันจะมีค่าเมื่อ det(A) \neq 0 เท่านั้น

สรุป เมทริกซ์ ม.5 - การหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2

ตัวอย่างที่ 13

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่าง 13 - การหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

      ปิดท้ายด้วยหัวข้อ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น น้อง ๆ คงจะเคยแก้ระบบสมการเชิงเส้นกันมาแล้วตั้งแต่สมัยเรียนคณิตศาสตร์ ม.ต้น ซึ่งใน ม.ต้น เรามักจะแก้โดยการกำจัดตัวแปร ด้วยการทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรบางตัวให้เท่ากัน แล้วนำสมการมาบวกลบกัน ในบทนี้เราสามารถนำความรู้เรื่องเมทริกซ์มาใช้แก้ระบบสมการได้อีกด้วย

      โดยในหลักสูตรจะเน้นไปที่ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและสามตัวแปร แต่น้อง ๆ สามารถนำหลักการนี้ไปใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนตัวแปรมากกว่านี้ได้เช่นกันครับ

      พี่จะพาไปเรียนรู้ วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 วิธี นั่นคือ

  1. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์ผกผัน
  2. วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการใช้เมทริกซ์แต่งเติม

1. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

ขั้นตอนการทำ

  1. เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ AX = B
    เมื่อ    A คือ เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์
           X คือ เมทริกซ์ของตัวแปร
        B คือ เมทริกซ์ของค่าคงตัวทางขวา

  2. จากสมการ AX = B ทำการหาเมทริกซ์ X
    จาก         AX = B
           A-1AX = A-1B  จะได้  X = A^{-1}B

ตัวอย่างที่ 14

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่าง 14 - การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

2. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์แต่งเติม

ขั้นตอนการทำ

  1. เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ AX = B
    แล้วแปลงต่อในรูปเมทริกซ์แต่งเติม [A \,|\, B]

  2. ใช้การดำเนินการตามแถว ซึ่งมี 3 แบบ ดังนี้

    แบบที่ 1 สลับแถวที่ i และแถวที่ j ของเมทริกซ์ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ R_i \leftrightarrow R_j

    แบบที่ 2 คูณสมาชิกในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c เมื่อ c \ne 0 ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ cR_i

    แบบที่ 3 คูณสมาชิกในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c เมื่อ c \ne 0 แล้วนำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่ j เมื่อ i \ne j ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์ cR_i + R_j (แทนผลลัพธ์นี้ในแถวที่ j)

    ทำจนเมทริกซ์ด้านซ้ายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้วจะได้เมทริกซ์ด้านขวาคือคำตอบของระบบสมการ

ตัวอย่างที่ 15

สรุป เมทริกซ์ ม.5 ตัวอย่าง 15 - การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์แต่งเติม

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย - บทเมทริกซ์

      เอาล่ะ!! พออ่านสรุปเนื้อหาเมทริกซ์ ม.5 จบครบทุกหัวข้อ ก็ได้เวลามาฝึกทำโจทย์เมทริกซ์กันบ้างแล้ว โดยพี่กอล์ฟนำ ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทเมทริกซ์ มาให้ได้วิเคราะห์ระดับความยาก – ง่ายของข้อสอบ พร้อมเฉลยละเอียดให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์ด้วยครับ

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 1 - ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 2 - ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 3 - ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 4 - ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย TCAS

โจทย์เมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท

เมทริกซ์

เมทริกซ์

เมทริกซ์ A-Level

เมทริกซ์ A-Level

      และนี่คือ เนื้อหาสำคัญในบทเมทริกซ์ ม.5 ที่น้อง ๆ ควรรู้นะครับ จะเห็นเลยว่าบทนี้เป็น บทคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มีสัญลักษณ์และนิยามใหม่ ๆ ค่อนข้างเยอะ แล้วยังเป็นบทที่ตัวเลขตอนคำนวณเยอะด้วยเช่นกัน ดังนั้นตอนอยู่ในห้องสอบ พี่กอล์ฟขอเตือนว่าต้องระมัดระวังเรื่องการคิดเลขด้วยนะ แต่ถ้าใครที่หมั่นฝึกฝนทำโจทย์เยอะ ๆ พี่มั่นใจเลยว่าบทเมทริกซ์นี้จะเป็นบทเก็บคะแนนของน้อง ๆ แน่นอน ✌️

      ใครเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย แล้วรู้สึกว่าเมทริกซ์เป็นบทยาก หรืออยากติวคณิตบทนี้ให้แม่นขึ้นกว่าเดิม สามารถสมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท ที่ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ

สมัครคอร์สนี้ดียังไง?

✔ ในคอร์สนี้พี่ ๆ ติวเตอร์สรุปเนื้อหาไว้อย่างครบถ้วน กระชับเข้าใจง่าย ปูพื้นฐานให้อย่างละเอียด

✔ พร้อมพาฝึกทำโจทย์อย่างเข้มข้นเป็นขั้นตอน ไล่ระดับตั้งแต่ง่าย ปานกลาง ไปจนถึงยาก ที่เป็นข้อสอบแข่งขันจากสนามสอบต่าง ๆ ทั้งในและต่างประเทศ

✔ เสริมด้วยเทคนิคทริกลัด ที่จะช่วยให้น้อง ๆ สามารถทำข้อสอบปรนัยได้อย่างรวดเร็วยิ่งขึ้น นำไปใช้ได้จริงในห้องสอบ

✔ สอนโดยทีมติวเตอร์คณิตศาสตร์ ด้วยเทคนิคการสอนที่เข้าใจง่าย ช่วยให้การเรียนคณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องยากและกลายเป็นเรื่องสนุก

คอร์สนี้เหมาะกับใคร?

✔ น้อง ม.4 ที่กำลังจะขึ้น ม.5 ที่ต้องการเตรียมตัวล่วงหน้า

✔ น้อง ม.5 ที่ต้องการเรียนควบคู่ไปกับที่โรงเรียนเพื่อคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ และเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในระบบ TCAS วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์1 A-Level

      ใครอยากเก่งคณิต อยากได้โจทย์และเทคนิคดี ๆ จาก พี่ ๆ ติวเตอร์ ทีมคณิตศาสตร์ รีบกดติดตามก่อนใครได้ที่ช่องทางด้านล่างนี้เลย!

Picture of อ.ชวลิต กุลกีรติการ (พี่กอล์ฟ)

อ.ชวลิต กุลกีรติการ (พี่กอล์ฟ)

วิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เกียรตินิยม ประสบการณ์การสอน 24 ปี

บทความแนะนำ

โรงเรียนกวดวิชา WE BY THE BRAIN (เดอะเบรน) มุ่งสร้างความสำเร็จอย่างต่อเนื่อง เพื่อทุกความฝันของเด็กไทยมากว่า 38 ปี การันตีความเป็นมืออาชีพด้านคุณภาพการเรียนการสอน ได้รับความไว้วางใจจากน้อง ๆ นักเรียนมากกว่า 2 ล้านคน

Facebook Artboard 35 Artboard 36 Artboard 34 Artboard 38 Artboard 37

เกี่ยวกับ WE

คอร์สเรียน

ติดต่อเรา

โรงเรียนกวดวิชา WE BY THE BRAIN (สำนักงานใหญ่) 215  ถ.งามวงศ์วาน ต.บางเขน อ.เมือง จ.นนทบุรี 11000

WE CARE

เปิดบริการทุกวัน 10.00-19.00 น.
โทร : 02-952-6767 
Line : @weplus_care

© WE BY THE BRAIN. 2025 ALL RIGHT RESERVED.
Top
ทดลองเรียนทดลองเรียนโปรโมชันโปรโมชันรับคำแนะนำรับคำแนะนำ
promotion มี.ค.-เม.ย.25 ลด20%
คลิกเลย!
promotion Jan25 ลด10%
คลิกดูโปรโมชัน
promotion บทย่อย Jan25
คลิกดูโปรโมชัน
กิจกรรม Road to MWIT36 / KVIS12 เตรียมตัวพิชิตโรงเรียนวิทยาศาสตร์
ลงทะเบียน คลิกเลย!
promotion Jan25 ลด10%
คลิกดูโปรโมชัน
promotion บทย่อย Jan25
คลิกดูโปรโมชัน
รายละเอียดคอร์ส คลิกเลย!
คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4, ม.5, ม.6) ที่ WE BY THE BRAIN
คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4, ม.5, ม.6) ที่ WE BY THE BRAIN
รายละเอียดคอร์ส