สรุป เมทริกซ์ ม.5 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS & เฉลยละเอียด แจกฟรี!

หน้าหลัก » article » สรุป เมทริกซ์ ม.5 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS & เฉลยละเอียด แจกฟรี!

September 3, 2024

“เมทริกซ์” เรียกว่าเป็นคณิตศาสตร์บทสำคัญบทหนึ่งของ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ซึ่งบทนี้ตามหลักสูตรจะอยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 แต่ก็มีบางโรงเรียนที่นำไปเรียนกันตั้งแต่ ม.4 เทอม 2 เลยด้วย

และหลักสูตรคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ในปัจจุบัน บทเมทริกซ์ ถูกปรับปรุงเนื้อหา โดยมีการนำเนื้อหาของเดิมบางส่วนออกไป อย่างเช่น เรื่องไมเนอร์ (Minor), โคแฟกเตอร์ (Cofactor) และ เมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix)

วันนี้ “พี่กอล์ฟ” จะพาไปดู สรุปเนื้อหาและจุดสำคัญของบทเมทริกซ์ ม.5 ที่น้อง ๆ ต้องรู้ก่อนเข้าห้องสอบ และนำ ตัวอย่างข้อสอบเมทริกซ์ พร้อมเฉลยละเอียด มาแจกกันด้วยครับ!!

พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์

เริ่มต้นบทเมทริกซ์ ม.5 น้อง ๆ จะได้เรียนหัวข้อ พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์ กันก่อนเลยครับว่า เมทริกซ์ คืออะไร?

บทนิยาม
ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ชุดของจำนวนจริง mn จำนวน ซึ่งเขียนเรียงกันในรูป

เรียกว่า เมทริกซ์ (matrix) ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด m แถว ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวตั้ง เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด n หลัก เรียก a_ij ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ ถ้าเมทริกซ์มี m แถว n หลัก จะเรียก m x n ว่า ขนาด (size) หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์

จากนิยามจะพบว่ามีค่าที่น้อง ๆ ต้องรู้หลายคำเลย เช่น แถว, หลัก, สมาชิก, ขนาด หรือมิติ เรามาดูจากตัวอย่างกันบ้างดีกว่า

การเท่ากันของเมทริกซ์

หลังจากเราทำความรู้จักหน้าตาของเมทริกซ์และรู้ว่าเมทริกซ์คืออะไรแล้ว ตามพี่กอล์ฟมาดูกันต่อเลยครับว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้ ต้องมีเงื่อนไขอะไรบ้าง?

หรือจำง่าย ๆ ว่า A = B ก็ต่อเมื่อ

ขนาดของ A = ขนาดของ B
สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันต้องเท่ากันทุกตำแหน่ง

การบวกและลบเมทริกซ์

พอน้อง ๆ รู้แล้วว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากันได้เมื่อไหร่ ต่อมาเราจะเริ่มนำเมทริกซ์มาดำเนินการกัน โดยเริ่มจาก การบวกและลบเมทริกซ์ ก่อนเลย

หรือจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะนำมาบวกลบกันได้ ขนาดของทั้ง 2 เมทริกซ์ต้องเท่ากัน และในการบวกลบเมทริกซ์ ให้น้อง ๆ นำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาบวกลบกันครับ

การคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง

หัวข้อต่อมาหลังจากได้เรียนรู้เรื่องการบวกลบเมทริกซ์แล้ว เราจะมาดูเรื่อง การคูณระหว่างเมทริกซ์กับจำนวนจริง กันบ้าง

พี่จะบอกวิธีจำง่าย ๆ ให้ว่า เวลาน้อง ๆ จะคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงให้นำจำนวนจริงนั้นคูณสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์ครับ

การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์

จากหัวข้อที่แล้วอย่าง การคูณเมทริกซ์กับจำนวนจริง น้อง ๆ จะเห็นว่าไม่ยากเลยนะครับ แต่สำหรับหัวข้อนี้ที่เป็น การคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์ บอกเลยว่าเป็นหัวข้อที่ทำให้รุ่นพี่เราหลาย ๆ คนที่ผ่านการเรียนเมทริกซ์ ม.5 มาแล้ว ถึงกับบ่นกันเลยทีเดียว

แต่จริง ๆ แล้ว การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ไม่ใช่เรื่องยุ่งยากซับซ้อนมากนัก ถ้าเข้าใจและจับหลักได้ เรามาเริ่มจากการดูนิยามกันก่อนเลยครับ

น้อง ๆ บางคนบอก แค่อ่านนิยามก็มึนแล้ววว… ไม่เป็นไร ๆ เดี๋ยวพี่กอล์ฟแปลเป็นภาษาง่าย ๆ ให้เหมือนเดิมครับ

เริ่มจากเราต้องดูก่อนว่า เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ที่จะนำมาคูณกัน สามารถคูณกันได้หรือไม่ เพราะบางคู่ก็คูณได้ บางคู่ก็คูณไม่ได้

หลักในการดู คือ เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะคูณกันได้เมื่อ

จำนวนหลักของตัวหน้า = จำนวนแถวของตัวหลัง

ถ้าไม่เท่ากันจะคูณกันไม่ได้

และ

ขนาดของเมทริกซ์ผลลัพธ์ = จำนวนแถวของตัวหน้า x จำนวนหลักของตัวหลัง

หลังจากตรวจสอบได้แล้วว่า เมทริกซ์คู่ใดคูณกันได้หรือคูณกันไม่ได้ ต่อมาเราจะมา หาผลลัพธ์จากการคูณ กันครับ โดยน้อง ๆ ต้องคำนวณกันทีละตำแหน่ง

เช่น A_2×2 B_2×3 = C_2×3
สมาชิกของผลลัพธ์ C_ij จะเกิดจากการนำสมาชิกในแถวที่ i ของ A
มาคูณตัวต่อตัวกับสมาชิกในหลักที่ j ของ B แล้วนำผลคูณที่ได้มาบวกกัน

ควรรู้! โดยทั่ว ๆ ไปการคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์จะไม่มีสมบัติการสลับที่การคูณ นั่นคือ AB ≠ BA

เมทริกซ์เอกลักษณ์

สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ ให้ I_n เป็นเมทริกซ์ขนาด n x n ซึ่งเป็นสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ i เป็น 1 สำหรับทุก i ∈ {1, 2, 3, …, n} และสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เป็น 0 เมื่อ i ≠ j เรียก I_n ว่า เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) ขนาด n x n

ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์

สมบัติของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณ

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

หรืออาจจะจำง่าย ๆ ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก หรือเปลี่ยนหลักไปเป็นแถว

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant)

อีกหนึ่งหัวข้อที่น้อง ๆ จะได้เรียนในเมทริกซ์ ม.5 ก็คือ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) ครับ โดยดีเทอร์มิแนนต์มีสัญลักษณ์ที่ใช้ คือ det(A) หรือ |A|

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2

หรือจำง่าย ๆ ได้แบบนี้

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3

การหา ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3 จะมีวิธีการคล้าย ๆ แบบขนาด 2 x 2 คือ ใช้การคูณทแยงลงและทแยงขึ้น แล้วนำผลคูณที่ได้มารวมกัน แต่น้องต้องเขียน 2 หลักแรกมาต่อด้านท้ายก่อนการคูณครับ

ขั้นที่ 1 เขียนหลักที่ 1 และ 2 ต่อท้ายหลักที่ 3 เพิ่ม

ขั้นที่ 2 คูณทแยงแนวลงและแนวขึ้น จากนั้นนำผลคูณที่ได้มารวมกัน

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

det(I) = 1
det(A^t) = detA
det(Aⁿ) = (detA)ⁿ
det(AB) = (detA)(detB)
det(kA) = (kⁿ)detA เมื่อ k เป็นค่าคงตัวและ A มีขนาด n x n

เมทริกซ์ผกผัน (อินเวอร์สการคูณ)

บทนิยาม
ให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด n x n ถ้ามีเมทริกซ์ B ขนาด n x n ซึ่ง

AB = BA = I_n

แล้วจะเรียก B ว่า เมทริกซ์ผกผัน หรือ ตัวผกผันการคูณ หรือ อินเวอร์การคูณ ของเมทริกซ์ A และเขียนแทนด้วย A^-1

จากนิยามจะพบว่า เมทริกซ์ที่จะสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้จะต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งในหลักสูตรปัจจุบันจะเรียนการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่เกิน 2 x 2

การหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 1 x 1

การหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2

จากวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันจะเห็นว่า การหาเมทริกซ์ผกผันขึ้นกับค่าของ detA ด้วย คือ เมทริกซ์ผกผันจะมีค่าเมื่อ det(A) ≠ 0 เท่านั้น

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น

ปิดท้ายด้วยหัวข้อ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น น้อง ๆ คงจะเคยแก้ระบบสมการเชิงเส้นกันมาแล้วตั้งแต่สมัยเรียนคณิตศาสตร์ ม.ต้น ซึ่งใน ม.ต้น เรามักจะแก้โดยการกำจัดตัวแปร ด้วยการทำสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรบางตัวให้เท่ากัน แล้วนำสมการมาบวกลบกัน ในบทนี้เราสามารถนำความรู้เรื่องเมทริกซ์มาใช้แก้ระบบสมการได้อีกด้วย

โดยในหลักสูตรจะเน้นไปที่ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและสามตัวแปร แต่น้อง ๆ สามารถนำหลักการนี้ไปใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนตัวแปรมากกว่านี้ได้เช่นกัน

พี่จะพาไปเรียนรู้ วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 วิธีนะครับ นั่นคือ

1. ใช้เมทริกซ์ผกผัน
2. ใช้เมทริกซ์แต่งเติม

1. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

ขั้นตอนการทำ

เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ AX = B
เมื่อ A คือ เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์
X คือ เมทริกซ์ของตัวแปร
B คือ เมทริกซ์ของค่าคงตัวทางขวา
จากสมการ AX = B ทำการหาเมทริกซ์ X
จาก AX = B
A^-1AX = A^-1B จะได้ X = A^-1B

2. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์แต่งเติม

ขั้นตอนการทำ

เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ AX = B
แล้วแปลงต่อในรูปเมทริกซ์แต่งเติม [A | B]
ใช้การดำเนินการตามแถว ซึ่งมี 3 แบบ ดังนี้
แบบที่ 1 สลับแถวที่  i และแถวที่  j ของเมทริกซ์ ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์  R_i ↔ R_j
แบบที่ 2 คูณสมาชิกในแถวที่  i ด้วยค่าคงตัว  c เมื่อ  c ≠ 0 ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์  cR_i
แบบที่ 3 คูณสมาชิกในแถวที่  i ด้วยค่าคงตัว  c เมื่อ  c ≠ 0 แล้วนำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่  j
เมื่อ  i ≠ j ซึ่งจะแทนด้วยสัญลักษณ์  cR_i + R_j (แทนผลลัพธ์นี้ในแถวที่ j )

ทำจนเมทริกซ์ด้านซ้ายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้วจะได้เมทริกซ์ด้านขวาคือคำตอบของระบบสมการ

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย วิชาคณิตศาสตร์ - เมทริกซ์

เอาล่ะ!! พออ่านสรุปเนื้อหาเมทริกซ์ ม.5 จบครบทุกหัวข้อ ก็ได้เวลามาฝึกทำโจทย์เมทริกซ์กันบ้างแล้ว โดยพี่กอล์ฟนำ ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ มาให้ได้วิเคราะห์ระดับความยาก-ง่ายของข้อสอบ พร้อมเฉลยละเอียดให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์ด้วยครับ

ข้อสอบเมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

ข้อสอบเมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

ข้อสอบเมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

ข้อสอบเมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

ข้อสอบเมทริกซ์ พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

และนี่คือ เนื้อหาสำคัญในบทเมทริกซ์ ม.5 ที่น้อง ๆ ควรรู้นะครับ จะเห็นเลยว่าบทนี้เป็น บทคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่มีสัญลักษณ์และนิยามใหม่ ๆ ค่อนข้างเยอะ แล้วยังเป็นบทที่ตัวเลขตอนคำนวณเยอะด้วยเช่นกัน ดังนั้นตอนอยู่ในห้องสอบ พี่กอล์ฟขอเตือนว่าต้องระมัดระวังเรื่องการคิดเลขด้วยนะ แต่ถ้าใครที่หมั่นฝึกฝนทำโจทย์เยอะ ๆ พี่มั่นใจเลยว่าบทเมทริกซ์นี้จะเป็นบทเก็บคะแนนของน้อง ๆ แน่นอน ✌️

ใครเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย แล้วรู้สึกว่าเมทริกซ์เป็นบทยาก หรืออยากติวคณิตบทนี้ให้แม่นขึ้นกว่าเดิม สามารถสมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทย่อย – เมทริกซ์ ที่ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ ในคอร์สนี้พี่สรุปเนื้อหาไว้อย่างครบถ้วน กระชับเข้าใจง่าย พร้อมพาฝึกทำโจทย์หลากหลาย และได้เรียนรู้เทคนิคทริกลัดแก้โจทย์ไว นำไปใช้ได้จริงในห้องสอบ ช่วยเพิ่มความฟิตให้น้อง ๆ พิชิตเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ และเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยอีกด้วย