เมื่อพูดถึงบท “แคลคูลัส” ที่เป็นเนื้อหาของวิชาคณิตศาสตร์ ม.6 น้อง ๆ ม.ปลาย หลายคนอาจรู้สึกว่าเป็นบทที่น่าจะยากและซับซ้อน แต่จริง ๆ แล้วบทแคลคูลัส ถ้าน้อง ๆ เรียนด้วยความเข้าใจถึงนิยามและกระบวนการในการคิดได้ บทนี้จะเป็นบทที่ไม่ได้ยากอย่างที่หลาย ๆ คนกลัวกัน
วันนี้ พี่กอล์ฟ จะพาน้อง ๆ ไปดูเนื้อหาและจุดสำคัญ ๆ ของบท “แคลคูลัส” กัน โดยพี่จะขอแบ่งเนื้อหาของ แคลคูลัส ม.ปลาย ออกเป็น 3 ส่วนใหญ่ ๆ ดังนี้นะครับ
- ลิมิตและความต่อเนื่อง
- อนุพันธ์
- ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์
ถ้าน้อง ๆ พร้อมแล้ว ตามพี่มาดูสรุปเนื้อหาแคลคูลัสไปพร้อมกันเลย!!
เลือกอ่านหัวข้อที่สนใจเลย!
แคลคูลัส ม.6 : ลิมิตของฟังก์ชัน
เริ่มด้วยหัวข้อแรกของแคลคูลัส ม.6 อย่าง ลิมิตของฟังก์ชัน กันเลยครับ
โดยทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้จำนวนจริง L เมื่อ x เข้าใกล้ a แล้วจะเรียก L ว่า ลิมิตของ f ที่ a ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
เทคนิคการหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน
NOTE : ในเทคนิคนี้คำว่า ‘เลข’ หมายถึงจำนวนจริงที่ไม่ใช่ 0
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต
แคลคูลัส ม.6 : ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
บทนิยาม
ให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามบนช่วงเปิด (c, d) และ a ∊ (c, d) จะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ที่ x = a ก็ต่อเมื่อ
จากบทนิยาม ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = a ต้องมีสมบัติครบทั้ง 3 ข้อ ดังนี้
แคลคูลัส ม.6 : อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ให้ f เป็นฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เขียนแทนด้วย f′(x) และ
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x เช่น
สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
แคลคูลัส ม.6 : ความชันของเส้นโค้ง
กำหนดเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และจุด P(a, f(a)) เป็นจุดบนเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P(a, f(a)) คือ เส้นตรงที่ผ่านจุด P และมีความชันเท่ากับ f′(a) จะเรียกความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด P ว่า ความชันของเส้นโค้งที่จุด P
แคลคูลัส ม.6 : จุดสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ำสุดสัมพัทธ์
แคลคูลัส ม.6 : ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
บทนิยาม
ถ้า F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)
อินทริกัลไม่จำกัดเขตของ f(x) เทียบกับ x หมายถึง ปฏิยานุพันธ์ของ f(x)
เขียนแทนด้วย ∫f(x)dx โดยที่ ∫f(x)dx = F(x) + c
เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ
สูตรการอินทิเกรต
แคลคูลัส ม.6 : ปริพันธ์จำกัดเขต
ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus)
กำหนด f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)
อินทิกรัลจำกัดเขตของ f(x) จาก x = a ถึง x = b เขียนแทนด้วย
โดยที่
สูตรการอินทิกรัลจำกัดเขต
แคลคูลัส ม.6 : พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย วิชาคณิตศาสตร์ - แคลคูลัส
นอกจากจะสรุปเนื้อหาจุดสำคัญ ๆ ของบทแคลคูลัส ที่น้อง ๆ จะได้เรียนกันในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.6 แล้ว พี่กอล์ฟก็ไม่พลาดที่จะนำตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่อง “แคลคูลัส” มาให้น้อง ๆ ลองฝึกทำ พร้อมมีเฉลยละเอียดให้ได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์กันด้วยครับ
ข้อสอบ “แคลคูลัส” พร้อมเฉลย ข้อที่ 1
ข้อสอบ “แคลคูลัส” พร้อมเฉลย ข้อที่ 2
ข้อสอบ “แคลคูลัส” พร้อมเฉลย ข้อที่ 3
ข้อสอบ “แคลคูลัส” พร้อมเฉลย ข้อที่ 4
ข้อสอบ “แคลคูลัส” พร้อมเฉลย ข้อที่ 5
และนี่คือตัวอย่างเนื้อหาของบท แคลคูลัสเบื้องต้น ในระดับ ม.ปลาย พร้อมตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเรื่องแคลคูลัส ที่พี่กอล์ฟนำมาฝากกันครับ พี่เชื่อว่าถ้าน้อง ๆ เรียนแคลคูลัสด้วยความเข้าใจ และหมั่นฝึกฝนทำโจทย์บ่อย ๆ บทนี้จะเป็นบทที่น้อง ๆ เก็บคะแนนได้ไม่ยากเลย และยังเป็นพื้นฐานที่ใช้ต่อยอดในการเรียนแคลคูลัสต่อในระดับมหาวิทยาลัยได้อีกด้วย
สำหรับน้อง ๆ ม.ปลาย ที่อยากหาตัวช่วยเพิ่มความฟิตก่อนลุยสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย พี่กอล์ฟขอแนะนำ คอร์สคณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level ที่ WE BY THE BRAIN ครับ คอร์สนี้พี่ ๆ ติวเตอร์ทีมคณิตศาสตร์ สรุปเนื้อหาไว้แบบกระชับ เข้มข้น ครบทุกประเด็นสำคัญ ช่วยประหยัดเวลาในการทบทวนเนื้อหาไปได้เยอะ
นอกจากนี้ภายในคอร์สยัง จัดเต็มข้อสอบหลากหลายแนวให้ได้ลองฝึกทำกันแบบจุใจ ทั้งข้อสอบเก่า ข้อสอบเก็ง และอัปเดตข้อสอบ A-Level คณิต (ถึงปีล่าสุด) พร้อมเฉลยแบบละเอียดทุกข้อ
และที่สำคัญน้อง ๆ จะได้เรียนรู้ Fantastic Trick สุดยอดเทคนิคการทำโจทย์ขั้นเทพ ทั้งวิธีตรงและวิธีลัด ช่วยให้แก้โจทยไวขึ้น พร้อมลุยข้อสอบแนว Speed Test และคว้าคะแนน A-Level คณิต เกิน 70+ Up ได้ไม่ยาก!!
คำถามที่พบบ่อย (FAQ) เกี่ยวกับ "บทแคลคูลัส"
เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่ถูกนำมาใช้ต่อในบทแคลคูลัส ที่น้อง ๆ ควรจะทบทวนให้แม่นยำ เพราะจะถูกนำมาใช้บ่อย ๆ มีดังนี้
- บทจำนวนจริง โดยเฉพาะเรื่องการแก้สมการและอสมการพหุนาม รวมถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามต้องฝึกให้คล่องเลย เพราะในบทแคลคูลัสใช้ค่อนข้างเยอะ
- บทเรขาคณิตวิเคราะห์ ส่วนหลัก ๆ ที่ถูกนำมาใช้คือเรื่องเส้นตรง ตั้งแต่การถามหาความชัน, สมการเส้นตรง, เส้นขนาน, เส้นตั้งฉาก และการเขียนกราฟ โดยเฉพาะเส้นตรงและพาราโบลาจะถูกใช้ในบทนี้บ่อย
- บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ควรทบทวนในส่วนนิยามของฟังก์ชันเพิ่ม, ฟังก์ชันลด, คู่อันดับ และการเขียนกราฟ
- การหาพื้นที่ของรูปวงกลม, สี่เหลี่ยม, สามเหลี่ยม และการหาปริมาณและพื้นที่ผิวของรูปทรงต่าง ๆ ส่วนนี้อาจจะถูกนำมาใช้ตอนทำโจทย์ปัญหาที่เป็นโจทย์ประยุกต์
แคลคูลัส ม.6 จะเป็นแคลคูลัสพื้นฐานเบื้องต้นของบทนี้ครับ จะสอนให้น้อง ๆ รู้จักกระบวนการในการหาลิมิต, อนุพันธ์ และปริพันธ์แบบไม่ซับซ้อนมากนัก
แต่สำหรับ แคลคูลัสในระดับมหาวิทยาลัย เนื้อหาจะลึกและยากกว่า โดยจะเน้นไปตามการใช้งานประยุกต์ของแต่ละคณะและสาขา เช่น แคลคูลัสที่เรียนในคณะวิศวกรรมศาสตร์, วิทยาศาสตร์, เศรษฐศาสตร์ ก็จะมีจุดเน้นต่างกันตามการใช้งานของแต่ละคณะ
