ความน่าจะเป็น ม.5 สรุปเนื้อหา สูตร พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลยละเอียด

October 10, 2026

ความน่าจะเป็น ม.5 เป็นหัวข้อที่น้อง ๆ หลายคนจะได้เรียนมาตั้งแต่ตอนประถมกับตอน ม.3 ซึ่งตอนนั้นเนื้อหาจะเป็นแบบพื้นฐาน แนวโจทย์อาจจะยังไม่ซับซ้อนมาก แต่จะมาจัดเต็มกันตอน ม.5 ครับ

ในบทนี้นอกจากจะต้องเข้าใจความหมายของการทดลองสุ่ม ปริภูมิตัวอย่าง และเหตุการณ์แล้ว ยังมีการนำความรู้เรื่องหลักการนับ การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่ มาใช้ร่วมกันในการแก้โจทย์ให้ง่ายและรวดเร็วขึ้นด้วย

บทความนี้ พี่กอล์ฟ – เดอะเบรน จะพาน้อง ๆ มาดู สรุปความน่าจะเป็น ม.5 ตั้งแต่หลักการนับเบื้องต้น ไปจนถึงสูตรความน่าจะเป็น สมบัติและกฎสำคัญ พร้อมตัวอย่างโจทย์และวิธีทำ เพื่อให้น้อง ๆ เข้าใจเนื้อหาบทนี้มากขึ้นและนำไปประยุกต์ทำโจทย์ได้จริงครับ

หลักการนับเบื้องต้น ม.5

หัวใจสำคัญอย่างหนึ่งของการเรียนบทความน่าจะเป็นให้ทำคะแนนได้ดี คือ ต้องเข้าใจในบท หลักการนับเบื้องต้น ให้แม่นยำครับ เพราะจะถูกนำไปใช้ต่อในความน่าจะเป็นเยอะมาก

หลักการนับเบื้องต้น ม.5 จะเป็นการหาจำนวนวิธีในการทำงานต่าง ๆ ตามที่โจทย์ต้องการ เช่น การแต่งตัว, การสุ่มเลือกสิ่งของ, การสร้างเลขหลายหลัก, การเรียงสิ่งของต่าง ๆ เป็นต้น

ซึ่งความยากและความซับซ้อนก็จะแตกต่างกันไป โดยเราจะเริ่มจากหลักการพื้นฐานกันก่อนครับ

หลักการบวกและหลักการคูณ

หลักการบวก

ถ้างานอย่างหนึ่งมีวิธีทำได้ $k$ กรณี

กรณีที่ 1 ทำได้ $n_1$ วิธี

กรณีที่ 2 ทำได้ $n_2$ วิธี

⋮

กรณีที่ $k$ ทำได้ $n_k$ วิธี

จำนวนวิธีการทำงาน $\: = \: n_1 \: + \: n_2 \: + \: n_3 \: + \: … \: + \: n_k$ วิธี

💡คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : Keyword สำคัญของการใช้ หลักการบวก คือ คำว่า “กรณี” ครับ

ตัวอย่างที่ 1

หลักการคูณ

ถ้างานอย่างหนึ่งประกอบด้วยงาน $k$ ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 ทำได้ $n_1$ วิธี

ขั้นตอนที่ 2 ทำได้ $n_2$ วิธี

⋮

ขั้นตอนที่ $k$ ทำได้ $n_k$ วิธี

จำนวนวิธีการทำงาน $\: = \: n_1 \times n_2 \times n_3 \times … \times n_k$ วิธี

💡คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : Keyword สำคัญของการใช้ หลักการคูณ คือ คำว่า “ขั้นตอน” ครับ

ตัวอย่างที่ 2

💡คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : เทคนิคในการพิจารณาว่า เมื่อไหร่ควรจะคูณ หรือเมื่อไหร่ควรจะบวก?

หลัก ให้น้อง ๆ ถามตัวเองว่า “งานเสร็จหรือยัง?” ครับ

ถ้างาน ยังไม่เสร็จ เราต้องจับ คูณ
ถ้างาน เสร็จแล้ว เราต้องจับ บวก

แฟกทอเรียล (Factorial)

นิยาม

ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก แฟกทอเรียลของ $n$ คือ การคูณกันของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ $1$ ถึง $n$ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $n!$

${n!} \: = \: n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times 3 \times 2 \times 1$

ข้อตกลงเพิ่มเติม : ${0!} \: = \: 1$

💡คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : ในข้อสอบ ม.ปลาย ตัวเลขที่อยู่หน้า ! ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์เท่านั้น

ดังนั้น ถ้าน้อง ๆ ไปเจอโจทย์ที่ให้แก้หาค่า $n$ จากเงื่อนไขที่ติด $n!$ แล้วแก้ $n$ ได้ค่าเป็นลบ หรือไม่เป็นจำนวนเต็ม ให้สันนิษฐานไว้ก่อนเลยครับว่าเราอาจจะคิดเลขผิด

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างที่ 4

การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น (Linear Permutation)

1. สิ่งของแตกต่างกันทั้งหมด

การนำของ $n$ สิ่งที่ต่างกันทั้งหมดมาเรียงสับเปลี่ยนในแนว “เส้นตรง”

จำนวนวิธี $\: = \: n!$

ตัวอย่างที่ 5

2. สิ่งของไม่แตกต่างกันทั้งหมด

การคำนวณคล้าย ๆ กับกรณีที่สิ่งของต่างกันทั้งหมด แต่ให้นำแฟกทอเรียลของจำนวนของที่ซ้ำในแต่ละกลุ่มไปหารออก

หรือจำง่าย ๆ ว่า

จำนวนวิธี $=$

$n!$

ซ้ำ !

ตัวอย่างที่ 6

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม (Circular Permutation)

ในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม บางครั้งจะเกิดเหตุการณ์หลอกตา เช่น

ทั้ง 3 รูปด้านบนนี้ดูแล้วเหมือนจะต่างวิธีกัน แต่จริง ๆ แล้วเป็นวิธีเดียวกันครับ เพราะถ้าเรามองลำดับตามเข็มนาฬิกาจะเรียงจาก $A \to B \to C$ แล้วกลับมา $A$ เหมือนกัน แต่พอหมุนรูป เลยทำให้ภาพที่เห็นหลอกตา

แนวคิดทั่วไปในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่ต่างกัน $n$ ชิ้น อาจจะใช้การล็อกให้ชิ้นหนึ่งอยู่คงที่ตรงตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่ง แล้วจัดเรียง $n - 1$ ชิ้นที่เหลือแบบเชิงเส้น

1. แบบพลิกไม่ได้

การนำของ $n$ สิ่งที่ต่างกันทั้งหมดมาเรียงสับเปลี่ยนในแนว “วงกลม”

จำนวนวิธี $\: = \: (n - 1)!$

💡สูตรนี้ใช้เมื่อไหร่ : สูตรนี้เหมาะกับโจทย์ที่ไม่ซับซ้อน แต่ถ้าน้อง ๆ เจอโจทย์ที่มีเงื่อนไขซับซ้อน อาจจะใช้วิธีการล็อกชิ้นหนึ่งให้อยู่กับที่แล้วคิดการเรียงที่เหลือแบบเชิงเส้นครับ

ตัวอย่างที่ 7

2. แบบพลิกได้

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมแบบพลิกได้ เช่น พวงมาลัย, ลูกปัด เป็นต้น

จำนวนวิธี $\: = \: \frac{(n \: - \: 1)!}{2}$

💡คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : จำง่าย ๆ ว่า ถ้าเป็นของที่พลิกได้เมื่อไหร่ ให้หารด้วย 2 เพิ่ม

ตัวอย่างที่ 8

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นตรงแบบเลือกมาเรียงบางส่วน

$P_{n \: , \; r} \: = \: {}^nP_r \: = \: \frac{n!}{(n \: - \: r)!}$

💡สูตรนี้ใช้เมื่อไหร่ : เมื่อมีของ $n$ ชิ้นที่แตกต่างกัน นำมาเรียงในแนวเส้นตรง $r$ ชิ้น $(r \le n)$

ตัวอย่างที่ 9

การจัดหมู่ (Combination)

การเลือกออกมาพร้อม ๆ กัน

$C_{n \: , \; r} \: = \: {}^nC_r \: = \: \binom{n}{r} \: = \: \frac{n!}{(n \: - \: r)r!}$

💡สูตรนี้ใช้เมื่อไหร่ : เมื่อมีของ $n$ ชิ้นที่แตกต่างกัน เลือกมา $r$ ชิ้นพร้อม ๆ กัน $(r \le n)$

ตัวอย่างที่ 10

สมบัติของ P_{n, r} และ C_{n, r}

$P_{n \: , \; r} \: = \: C_{n \: , \; r} \times r!$
$\binom{n}{0} \: = \: 1 \; , \quad \binom{n}{n} \: = \: 1 \; , \quad \binom{n}{1} \: = \: n$
$\binom{n}{r} \: = \: \binom{n}{n \: - \: r}$
$\binom{n}{r} \: + \: \binom{n}{r \: + \: 1} \: = \: \binom{n \: + \: 1}{r \: + \: 1}$
$\binom{n}{0} \: + \: \binom{n}{1} \: + \: \binom{n}{2} \: + \: … \: + \: \binom{n}{n} \: = \: 2^n$

ทฤษฎีบททวินาม

ทฤษฎีบท

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

$(a + b)^n \: = \: \binom{n}{0} a^n \: + \: \binom{n}{1} a^{n \: - \: 1}b \: + \: \binom{n}{2}a^{n \: - \:2}b^2 \: + \: … \: + \: \binom{n}{n}b^n$

ผลบวกสัมประสิทธิ์ทวินามทุกพจน์ $= \: \binom{n}{0} \: + \: \binom{n}{1} \: + \: \binom{n}{2} \: + \: … \: + \: \binom{n}{n} \: = \: 2^n$

ตัวอย่างที่ 11

การหาพจน์ใดพจน์หนึ่ง

ถ้าต้องการหาพจน์ใดพจน์หนึ่งจากการกระจาย $(a \: + \: b)^n$ สามารถใช้สูตร

$T_{r \: + \: 1} \: = \: \binom{n}{r}a^{n \: - \: r}b^r$

ตัวอย่างที่ 12

ความน่าจะเป็น ม.5

ความน่าจะเป็น เป็นหัวข้อที่หลายคนเคยเรียนตั้งแต่ตอนประถม แต่ในตอนประถม นิยมใช้คำว่า “โอกาส” ซึ่งทั้ง 2 คำใช้แทนกันได้ในข้อสอบ และจะได้เรียนอีกครั้งตอน ม.3 ครับ

ใน ม.ปลาย เรื่องความน่าจะเป็นจะเพิ่มความซับซ้อนมากขึ้น โดยพื้นฐานสำคัญที่จะช่วยในการเรียนหัวข้อนี้ คือ

หลักการนับเบื้องต้น ที่เรียนมาก่อนหน้านี้ ถ้าเข้าใจก็จะช่วยให้เราหาจำนวนวิธีของสิ่งที่โจทย์ต้องการได้ถูกต้อง รวดเร็ว
เซต ใน ม.ปลาย การคำนวณความน่าจะเป็น บางครั้งต้องอาศัยความรู้ในบทเซต ม.4 เข้าช่วย

คำศัพท์พื้นฐานเกี่ยวกับความน่าจะเป็น

ก่อนเข้าสู่เนื้อหาความน่าจะเป็น ม.5 น้อง ๆ ควรรู้จักความหมายของ คำศัพท์พื้นฐาน 4 คำนี้ ได้แก่ การทดลองสุ่ม ปริภูมิตัวอย่าง เหตุการณ์ และความน่าจะเป็น ก่อนครับ เพราะคำเหล่านี้จะถูกใช้ตลอดทั้งบทเลยนั่นเอง

1. การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

การทดลองสุ่ม คือ การทดลองที่รู่ว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านั้น

2. ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space)

ปริภูมิตัวอย่าง คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

3. เหตุการณ์ (Event)

เหตุการณ์ คือ สับเซตของปริภูมิตัวอย่าง

4. ความน่าจะเป็น (Probability)

ความน่าจะเป็น คือ จำนวนที่ใช้เพื่อบอกโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่ง ๆ จะเกิดขึ้น โดยค่าความน่าจะเป็นจะมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1

💡ข้อควรรู้ : ยิ่งค่าความน่าจะเป็นเข้าใกล้ 1 แสดงว่าเหตุการณ์นั้นยิ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมาก ในทางตรงกันข้าม ถ้าค่าเข้าใกล้ 0 แสดงว่าเหตุการณ์นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยครับ

สูตรความน่าจะเป็น ม.5 ที่ต้องรู้!

บทนิยาม

ให้ $S$ แทนปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจำกัด โดยสมาชิกทุกตัวของ $S$ มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน และให้ $E$ เป็นเหตุการณ์ที่เป็นสับเซตของ $S$

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $E$ เขียนแทนด้วย $P(E)$ นิยามโดย

$P(E) \: = \: \frac{n(E)}{n(S)}$

เมื่อ $n(E)$ แทนจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ $E$

และ $n(S)$ แทนจำนวนสมาชิกของปริภูมิตัวอย่าง $S$

💡คำแนะนำจากพี่กอล์ฟ : น้อง ๆ จะเห็นว่า สูตร $P(E) \: = \: \frac{n(E)}{n(S)}$ บางคนอาจจะเคยเรียนมาแล้วตั้งแต่ ม.ต้น แต่ในคณิตศาสตร์ ม.5 การหา $n(E)$ และ $n(S)$ จะซับซ้อนขึ้น โดยใช้ความรู้จากเรื่องหลักการนับเบื้องต้นเข้ามาช่วยครับ

ตัวอย่างที่ 13

สมบัติของความน่าจะเป็น

นอกจากสูตรพื้นฐานแล้ว สมบัติของความน่าจะเป็น ก็เป็นสิ่งสำคัญที่น้อง ๆ ควรรู้และจำให้แม่นเลยนะครับ เพราะสามารถใช้ตรวจสอบคำตอบของเราได้ด้วย

สมบัติพื้นฐานของความน่าจะเป็น

ให้ $S$ แทนปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจำกัด

สำหรับเหตุการณ์ $E$ ใด ๆ จะได้ว่า $0 \le P(E) \le 1$ เสมอ
$P(E) \: = \: 0$ เมื่อ $E \: = \: \varnothing$ หมายความว่า เหตุการณ์ $E$ ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย
$P(E) \: = \: 1$ เมื่อ $E \: = \: S$ หมายความว่า เหตุการณ์ $E$ จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

ทฤษฎีบทที่สำคัญของความน่าจะเป็น

โจทย์ความน่าจะเป็น ม.5 หลายข้อไม่ได้ถามเหตุการณ์เดียวตรง ๆ แต่อาจพูดถึงหลายเหตุการณ์พร้อมกัน เช่น “A หรือ B” , “อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์” , “A แต่ไม่เกิด B” เป็นต้น ซึ่งจะต้องใช้ ทฤษฎีบทความน่าจะเป็น เพิ่มเติมครับ

💡ทริกจากพี่กอล์ฟ :

$A$ หรือ $B$ เปลี่ยนเป็น $A \cup B$

$A$ และ $B$ “ $A \cap B$

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็น

ให้ $S$ เป็นปริภูมิตัวอย่างซึ่งเป็นเซตจำกัด และ $A \: , \; B$ เป็นเหตุการณ์ใด ๆ จะได้ว่า

1. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

คล้าย ๆ เรื่อง เซต ม.4

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

2. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

คล้าย ๆ เรื่อง เซต ม.4

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

3. P(A’) = 1 – P(A)

ข้อนี้เป็นอีกข้อที่สำคัญมาก! อาจจะจำง่าย ๆ ว่า

P(A) + P(A’) = 1

4. P(A – B) = P(A ∩ B’) = P(A) – P(A ∩ B)

ตัวอย่างโจทย์ความน่าจะเป็น ม.5 พร้อมเฉลย - พี่กอล์ฟ เดอะเบรน

เมื่อได้เรียนรู้เกี่ยวกับความหมาย สูตรที่ต้องรู้ สมบัติและกฎสำคัญเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบครบถ้วนแล้ว คราวนี้เรามาลองดู แนวโจทย์ความน่าจะเป็น ม.5 พร้อมเฉลยละเอียด ที่พี่นำมาให้ฝึกทำกันบ้างดีกว่าครับ น้อง ๆ จะได้รู้ว่าโจทย์แต่ละข้อควรเลือกใช้สูตรไหน หรือมีเทคนิคแก้โจทย์อย่างไรบ้าง

โจทย์ความน่าจะเป็น ม.5 - ข้อที่ 1

โจทย์ความน่าจะเป็น ม.5 - ข้อที่ 2

โจทย์ความน่าจะเป็น ม.5 - ข้อที่ 3 (ข้อสอบ A-Level คณิต 1 ปี 67)

โจทย์ความน่าจะเป็น ม.5 - ข้อที่ 4 (ข้อสอบ A-Level คณิต 1 ปี 69)

ติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ "เดอะเบรน" พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 รวมทุกบท

หลักการนับเบื้องต้นและความน่าจะเป็น

น้อง ๆ ที่กำลังเรียนเรื่องความน่าจะเป็น ม.5 แล้วรู้สึกว่าเรียนเองแล้วไม่เข้าใจ หรือยังทำโจทย์ไม่แม่น พี่ขอแนะนำ คอร์สคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 2 ที่ WE BY THE BRAIN ที่จะช่วยปูพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ให้แน่นขึ้นและจับทางโจทย์ได้มากขึ้น เพิ่มโอกาสเก็บคะแนนสอบและทำเกรดในโรงเรียน รวมถึงต่อยอดไปสู่การเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยในอนาคตได้ครับ