รู้หรือไม่ว่า บทเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลายนั้นสำคัญอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับบทเรียนที่เป็นรากฐานสำคัญของการนำไปประยุกต์ใช้ในบทเรียนและวิชาอื่น ๆ วันนี้ พี่ภูมิ WE BY THE BRAIN จะพามารู้จักกับบทเรียนเซต เนื้อหา ม.4 เทอม 1 บทเรียนแรกที่น้องใหม่ ม.ปลาย ทุกคนจะต้องเจอ และยังเป็นบทพื้นฐานสำคัญของการนำความรู้ไปใช้ในบทอื่น อย่างเช่น “ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน” หรือ “หลักการนับเบื้องต้น”
หากเข้าใจคอนเซปต์ของการเรียนบทนี้แล้ว การเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ก็จะไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป หรือน้อง ๆ สนใจ ติวคณิตศาสตร์ ม.4 กับ WE BY THE BRAIN สามารถดูเนื้อหาการเรียนได้ที่บทความนี้เลย หากพร้อมแล้วตาม พี่ภูมิ ไปดูเนื้อหาการเรียน เซต ที่มาพร้อมโจทย์ตัวอย่างและเฉลยอย่างละเอียดกันได้เลย!
เซต คืออะไร?
เซต (Sets) เป็นคำอนิยาม ไม่สามารถให้นิยามกับเซตได้ แต่เราจะใช้เซตในการกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ โดยที่จะต้องทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม โดยเราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิกของเซต (Element or member)
เช่น เซตของชื่อวันในสัปดาห์ มีสมาชิก ได้แก่ จันทร์ อังคาร พุธ พฤหัสบดี ศุกร์ เสาร์ และอาทิตย์
เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 มีสมาชิก ได้แก่ 1,2,3 และ 4 เป็นต้น
รูปแบบการเขียนเซต
รูปแบบของการเขียนเซตนั้นไม่ยากอย่างที่คิด โดยมีทั้งหมด 2 รูปแบบหลัก ๆ ที่จะได้เรียนกันในระดับ ม.ปลาย
1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก (Roaster form)
วิธีนี้เป็นที่นิยมมาก ในกรณีที่ต้องการแจกแจงสิ่งที่อยู่ในเซตออกมา โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในวงเล็บปีกกาและใช้เครื่องหมายจุลภาค (,) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว
เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 เขียนได้ว่า { 1, 2, 3, 4 } เป็นต้น
โดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่
เช่น A เป็นเซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 จะได้ว่า A = { 1, 2, 3, 4 } เป็นต้น
นอกจากนี้น้อง ๆ สามารถใช้สัญลักษณ์จุดสามจุดหรือ “…” (and so on) เพื่อแสดงถึงสมาชิกอื่น ๆ ในเซตได้อีกด้วย และสามารถใช้แทนเซตอนันต์ซึ่งจะมีความหมายว่ามีสมาชิกอื่น ๆ อีกจำนวนไม่สิ้นสุด
เช่น A เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย เขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ได้ดังนี้ A = {ก, ข, ฃ, … , อ, ฮ}
B เป็นเซตของจำนวนคู่ เขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชิก ได้ดังนี้ B = { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
**การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก ต้องเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น (ตัวซ้ำเขียนครั้งเดียวพอ)**
2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข (Set builder form)
วิธีนี้สามารถใช้อธิบายคุณสมบัติของสมาชิกที่อยู่ในรูปตัวแปรได้อย่างดี เป็นวิธีการเขียนเซตโดยบอกเงื่อนไขหรือกำหนดคุณสมบัติของสมาชิกในเซตนั้น โดยเริ่มจากการกำหนดขอบเขตเฉพาะของสมาชิก ( เอกภพสัมพัทธ์) จากนั้นใช้สัญลักษณ์ “ | “ ใช้แทนคำว่า “โดยที่” เพื่อคั่นระหว่างตัวแปรกับเงื่อนไข
ชื่อเซต = { ตัวแปรแทนสมาชิกภายในเซต | เงื่อนไขของตัวแปร }
ยกตัวอย่างเช่น
A = { 3, 6, 9 } จะสามารถเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขได้เป็น
A = { x | x เป็นจำนวนนับระหว่าง 0 – 10 ที่หารด้วย 3 ลงตัว }
น้อง ๆ สามารถอ่านได้อย่างง่ายว่า “ เซต A เป็นเซตที่มี x เป็นสมาชิก โดยที่ x เป็นจำนวนนับระหว่าง 0 – 10 ที่หารด้วย 3 ลงตัว ”
อ่านว่า “ เซต B เป็นเซตที่มี x ที่เป็นจำนวนเต็มเป็นสมาชิก โดยที่ x นั้นเป็นจำนวนที่มีค่ามากกว่า ½ แต่น้อยกว่าเท่ากับ 2 ”
การเป็นสมาชิกของเซต
กำหนดให้ A = { 1, 2, 3, 4 } จะเห็นว่า 1, 2, 3 และ 4 ต่างก็ ”อยู่ใน” หรือ “เป็นสมาชิกของ” เซต A
คำว่า “เป็นสมาชิกของ” หรือ “อยู่ใน” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ” ∈ ”
เช่น กำหนดให้ A = { 1, 2, 3, 4 }
จะได้ว่า 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A และ 4 ∈ A
แต่ 5 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A ซึ่งคำว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ” ∉ “
ดังนั้นเขียนได้เป็น 5 ∉ A นั่นเอง
ชนิดของเซต
- เซตจำกัด หมายถึง เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ทั้งหมด หรือสามารถบอกได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเท่าใด ซึ่งสามารถนับเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์สมาชิกได้ โดยจำนวนสมาชิกของเซตจะเขียน n (เซตที่สนใจ) เช่น
- A = { 1, 2, 3 } จะเห็นว่า เซต A มีสมาชิก 3 ตัว คือ 1 2 และ 3 ดังนั้น n(A) = 3
- B = { 1, 2 } จะเห็นว่า เซต B มีสมาชิก 2 ตัว คือ 1 และ 2 ดังนั้น n(B) = 2
- C = { 1, 2, 3, …, 100 } จะเห็นว่า เซต C มีสมาชิก 100 ตัว คือ 1 – 100 ดังนั้น n(C) = 100
- เซตว่าง หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิกหรือสามารถกล่าวได้ว่า เซตว่างมีสมาชิก 0 ตัว โดยเซตว่างจะใช้สัญลักษณ์ { } หรือ Ø (อ่านว่า phi) แสดงว่า n( { } )=n(Ø)=0 และเนื่องจากเราสามารถบอกได้ว่าเซตว่างมีสมาชิก 0 สมาชิก ดังนั้น เซตว่างจึงจัดว่าเป็น เซตจำกัด นั่นเอง
- เซตอนันต์ หมายถึง เซตที่มีจำนวนสมาชิกที่นับไม่ถ้วน หรือไม่สามารถที่จะระบุจำนวนสมาชิกในเซตนั้นได้
- A = { 1, 2, 3, … } จะเห็นว่า เซต A มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน ไม่สามารถระบุได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเป็นเท่าใด เซต A จึงเป็นเซตอนันต์
- B = { 1, ½, ¼, … } จะเห็นว่า เซต B มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน ไม่สามารถระบุได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเป็นเท่าใด เซต B จึงเป็นเซตอนันต์
เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ (Relative University) คือ เซตที่บ่งบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่พิจารณา โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ และมีข้อตกลงว่า เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นที่นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์
เช่น กำหนดให้ U คือ เซตของจำนวนเต็มบวก และ A={ x | x2=4 }
ซึ่งจาก x2=4 จะได้ว่า x = 2 หรือ x = -2
ซึ่ง 2 ∈ U แต่ -2 ∉ Uแสดงว่า -2 ∉ A
ดังนั้น A = { 2 }
หมายเหตุ ถ้ากล่าวถึงเซตของจำนวน และไม่ได้กำหนดว่าเซตใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ในระดับ ม.ปลาย
ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจำนวนจริง (ℝ)
เซตที่เท่ากัน
เช่น A = { 0, 1, 2, 3 } และ B = { 3, 2, 1, 0} จะเห็นว่าทั้งสองเซตมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว แม้ลำดับของสมาชิกจะต่างกัน แต่ก็ถือว่าทั้งสองเซตเป็นเซตเดียวกัน ดังนั้น A = B
และสำหรับกรณีที่มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต B
หรือมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A จะกล่าวได้ว่า เซต A ไม่เท่ากับ เซต B เขียนแทนด้วย A ≠ B
เช่น A = { 1, 2, 3 } และ B = { 2, 1 } จะเห็นว่า 3 ∈ A แต่ 3 ∉ B ดังนั้น A ≠ B
เซตที่เทียบเท่ากัน
เซต A และ เซต B จะเป็นเซตที่เทียบเท่ากัน (equivalent sets) ก็ต่อเมื่อทั้งสองเซตมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน โดยสมาชิกภายในเซตทั้งสองไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน เช่น
- A = { 1, 2, 3, 4, 5 } และ B = { A, E, I, O, U }
จะเห็นว่า A ≠ B แต่ n(A) = 5 และ n(B) = 5 เหมือนกัน
ดังนั้น เซต A เทียบเท่ากับ เซต B
- A = { 1, 2, 3 } และ B = { รถไฟ, เครื่องบิน, เรือ }
จะเห็นว่า A ≠ B แต่ n(A) = 3 และ n(B) = 3 เหมือนกัน
ดังนั้น เซต A เทียบเท่ากับ เซต B
สับเซต (Subset)
เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของเซต A อยู่ในหรือเป็นสมาชิกของเซต B
สามารถใช้สัญลักษณ์แทนการเป็นสับเซตได้ว่า A ⊂ B
แต่หากมีสมาชิกบางตัวหรือย่างน้อยหนึ่งตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะทำให้ A ไม่เป็นสับเซตของ B สามารถใช้สัญลักษณ์แทนการไม่เป็นสับเซตได้ว่าได้ว่า A ⊄ B
เช่น
A = { 1, 2 } และ B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
จะเห็นว่า A มีสมาชิก คือ 1 และ 2 ซึ่งทั้งสองจำนวนอยู่ใน B ด้วย ดังนั้น A ⊂ B
แต่จะเห็นว่า 3 ∈ B แต่ 3 ∉ A ดังนั้น B ⊄ A นั่นเอง
อยากให้น้องๆ ได้เห็นภาพตรงกันว่าหาก A เป็นสับเซตของ B แล้ว ไม่ได้หมายความว่า B จะเป็น สับเซตของ A
สับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมด
สับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต A คือ เซตทั้งหมดที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกของเซต A
เช่น
กำหนดให้ A = { 1, 2, 3 }
สับเซตของ A ที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ ø, {1}, {2}, {3} ,{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
เพาเวอร์เซต (Power set)
- กำหนดให้ A = { 1, 2, 3 } มี n(A) = 3
สับเซตของ A ที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ ø, {1}, {2}, {3} ,{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
ดังนั้น P(A) = { ø, {1}, {2}, {3} ,{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } มีสมาชิกทั้งหมด 8 ตัว
ซึ่งเท่ากับ 23 โดย 3 = n(A)
แสดงว่า เราสามารถหาจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต ได้ด้วยสูตร n(P(A)) = 2n(A) เมื่อ n(A) แทน จำนวนสมาชิกของเซต A
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler diagram) คือ แผนภาพแสดงเซตเอาไว้ช่วยในการศึกษาเกี่ยวกับเซตให้ชัดเจนมากยิ่งขึ้น ในปัจจุบันแบบเรียน สสวท. จะเรียกว่าแผนภาพเวนน์(Venn diagram) โดยสามารถเขียนในรูปต่าง ๆ ได้ไม่ว่าจะเป็น วงกลม วงรี แต่โดยปกติแล้วจะนิยมใช้ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในการวาดแผนภาพแทนเอกภพสัมพัทธ์(U) และวาดวงรีหรือวงกลมภายในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเซตที่เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์
วิธีการเขียนแผนภาพนั้นไม่ยากเลย
- น้อง ๆ สามารถเริ่มจากการวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเอกภพสัมพันธ์
- จากนั้นนำเซตต่าง ๆ ที่สนใจวาดไว้ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังภาพตัวอย่างด้านล่าง
การดำเนินการระหว่างเซต
การดำเนินการของเซต จะมี 4 แบบ
- ยูเนียน (Union)
- อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
- ผลต่าง (Difference) หรือ ผลต่างระหว่างเซต (Difference of sets)
- คอมพลีเมนท์ (Complement)
ยูเนียน(union)
เซต A ยูเนียนกับเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้งสองเซต สามารถเขียนแทนได้ด้วย A ∪ B
กล่าวคือ A ∪ B = {x | x ∈ A หรือ x ∈ B}
**ในทางคณิตศาสตร์ “หรือ” หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง**
เขียนแผนภาพของ A ∪ B ได้ดังนี้
อินเตอร์เซกชัน(intersection)
เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วย A ∩ B
กล่าวคือ A ∩ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B }
เขียนแผนภาพของ A ∩ B ได้ดังนี้
ผลต่างระหว่างเซต(difference of sets)
ผลต่างระหว่างเชตของเซต A และ เซต B หมายถึง เซตที่มีสมาชิกอยู่ในเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต B
สามารถเขียนแทนได้ด้วย A – B
กล่าวคือ A – B = {x | x ∈ A และ x ∉ B}
เขียนแผนภาพของ A – B ได้ดังนี้
คอมพลีเมนต์ (Complement)
กำหนดให้เซต A ใด ๆ อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’ หรือ Ac
กล่าวคือ A’={x| x ∈ U และ x ∉ A}
เขียนแผนภาพของ A’ ได้ดังนี้
ตัวอย่างโจทย์การดำเนินการระหว่างเซต
สมบัติของการดำเนินการของเซต
ให้ A, B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U จะได้
สูตรสำคัญสำหรับการแก้โจทย์ปัญหาเซต
สูตรสำหรับ 2 เซต
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
สูตรสำหรับ 3 เซต
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
สูตรสำคัญอื่น ๆ
n(A) = n(U) – n(A’)
n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
n(A – B) = n(A ∪ B) – n(B)
ฝึกทำโจทย์ พร้อมเฉลย
ข้อที่ 1
ข้อที่ 2
ข้อที่ 3
สรุปเรื่องเนื้อหาเซต ม.4
อย่างที่ พี่ภูมิ ได้บอกไปว่าเซตนั้นเป็นบทเรียนสำคัญ ก่อนเข้าสู่เนื้อหาที่มีความเข้มข้นมากขึ้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย หากน้อง ๆ เรียนบทนี้โดยเน้นทำความเข้าใจ ก็สามารถนำบทเรียนเซตไปประยุกต์ใช้ได้อย่างแน่นอน หากน้อง ๆ อ่านบทความนี้แล้วและต้องการเพิ่มความมั่นใจในการทำโจทย์มากขึ้น ทั้งสนามสอบในและนอกโรงเรียน สามารถ ติวคณิตศาสตร์ ม.ปลาย กับ WE BY THE BRAIN ได้เลย
อัปเดตข่าวสารและสอบถามรายละเอียด เซต จาก WE BY THE BRAIN ได้ที่
- WE CARE : 02-952-6767
- Line OA : @weplus_care
- Facebook Page : WE BY THE BRAIN
- Instagram : webythebrain
- Twitter : @WEBYTHEBRAIN
- Youtube : WE BY THE BRAIN
โรงเรียนกวดวิชา วี บาย เดอะเบรน เรียนสนุก เข้าใจง่าย ทำโจทย์ได้จริง!
