สรุปเนื้อหา เซต ม.4 ฉบับเข้าใจง่าย พร้อมตัวอย่างโจทย์ & คลิปติวฟรี

April 2, 2024

น้อง ๆ รู้หรือไม่ว่า บทเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย นั้นสำคัญอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับบทเรียนที่เป็นรากฐานสำคัญที่ต้องนำไปประยุกต์ใช้ในบทเรียนและวิชาอื่น ๆ วันนี้ พี่ภูมิ – เดอะเบรน จะพามารู้จักกับ บทเซต เนื้อหา ม.4 เทอม 1 บทเรียนแรกที่น้องใหม่ ม.ปลาย ทุกคนจะต้องเจอ และยังเป็นบทพื้นฐานสำคัญของการนำความรู้ไปใช้ในบทอื่น ๆ เช่น “ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน” หรือ “หลักการนับเบื้องต้น” ด้วย

หากน้อง ๆ เข้าใจคอนเซปต์ของการเรียนบทนี้แล้ว การเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ก็จะไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป หากพร้อมแล้วตามพี่ภูมิไปดูเนื้อหาบทเซต พร้อมโจทย์ตัวอย่างและเฉลยอย่างละเอียดกันได้เลยครับ!

ดูคลิปติวฟรี : สรุปเรื่องเซต ม.4 By พี่ภูมิ

เซต คืออะไร?

เซต (Sets) เป็นคำอนิยาม ไม่สามารถให้นิยามกับเซตได้ แต่เราจะใช้เซตในการกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ โดยที่จะต้องทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม โดยเราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิกของเซต (Element or Member) เช่น

เซตของชื่อวันในสัปดาห์ มีสมาชิก ได้แก่ จันทร์ อังคาร พุธ พฤหัสบดี ศุกร์ เสาร์ และอาทิตย์
เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 มีสมาชิก ได้แก่ 1, 2, 3 และ 4 เป็นต้น

รูปแบบการเขียนเซต

รูปแบบของการเขียนเซตนั้นไม่ได้ยากอย่างที่คิด โดยมีทั้งหมด 2 รูปแบบหลัก ๆ ที่จะได้เรียนกันในคณิตศาสตร์ระดับ ม.ปลาย นั่นคือ

1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก (Roaster Form)

วิธีการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเป็นที่นิยมมาก ในกรณีที่ต้องการแจกแจงสิ่งที่อยู่ในเซตออกมา โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในวงเล็บปีกกาและใช้เครื่องหมายจุลภาค (,) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 เขียนได้ว่า $\{1,\; 2,\; 3,\; 4\}$ เป็นต้น

โดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น $A$ เป็นเซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 จะได้ว่า $A = \{1,\; 2,\; 3,\; 4\}$ เป็นต้น

นอกจากนี้น้อง ๆ สามารถใช้ สัญลักษณ์จุดสามจุด หรือ “…” (and so on) เพื่อแสดงถึงสมาชิกอื่น ๆ ในเซตได้อีกด้วย และสามารถใช้แทนเซตอนันต์ซึ่งจะมีความหมายว่ามีสมาชิกอื่น ๆ อีกจำนวนไม่สิ้นสุด เช่น

$A$ เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย เขียนเซต $A$ แบบแจกแจงสมาชิก ได้ดังนี้ $A =$ {ก, ข, ฃ, … , อ, ฮ}
$B$ เป็นเซตของจำนวนคู่ เขียนเซต $B$ แบบแจกแจงสมาชิก ได้ดังนี้ $B = \{\ldots, -6, -4, -2,\:0,\:2,\:4,\:6,\:\ldots\}$

**การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก ต้องเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น (ตัวซ้ำเขียนครั้งเดียวพอนะครับ)**

2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข (Set Builder Form)

วิธีการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขนี้ สามารถใช้อธิบายคุณสมบัติของสมาชิกที่อยู่ในรูปตัวแปรได้อย่างดี เป็นวิธีการเขียนเซตโดยบอกเงื่อนไข หรือกำหนดคุณสมบัติของสมาชิกในเซตนั้น โดยเริ่มจากการกำหนดขอบเขตเฉพาะของสมาชิก (เอกภพสัมพัทธ์) จากนั้นใช้สัญลักษณ์ “ | ” แทนคำว่า “โดยที่” เพื่อคั่นระหว่างตัวแปรกับเงื่อนไข

ชื่อเซต = {ตัวแปรแทนสมาชิกภายในเซต | เงื่อนไขของตัวแปร}

ยกตัวอย่างเช่น

$A = \{3,\:6,\:9\}$ จะสามารถเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขได้เป็น
$A = \{x \mid x$ เป็นจำนวนนับระหว่าง 0 – 10 ที่หารด้วย 3 ลงตัว}

น้อง ๆ สามารถอ่านได้อย่างง่ายว่า “เซต $A$ เป็นเซตที่มี $x$ เป็นสมาชิก โดยที่ $x$ เป็นจำนวนนับระหว่าง 0 – 10 ที่หารด้วย 3 ลงตัว”

$B = \left\{ x \in Z \,\middle|\, \tfrac{1}{2} \le x \le 2 \right\}$

อ่านว่า “เซต $B$ เป็นเซตที่มี $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มเป็นสมาชิก โดยที่ $x$ นั้นเป็นจำนวนที่มีค่ามากกว่า $\frac{1}{2}$ แต่น้อยกว่าเท่ากับ 2”

การเป็นสมาชิกของเซต

กำหนดให้ $A = \{1,\:2,\:3,\:4\}$ จะเห็นว่า 1, 2, 3 และ 4 ต่างก็ “อยู่ใน” หรือ “เป็นสมาชิกของ” เซต $A$

คำว่า “เป็นสมาชิกของ” หรือ “อยู่ใน” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “ $\in$ ” เช่น

กำหนดให้ $A = \{1,\:2,\:3,\:4\}$
จะได้ว่า $1 \in A,\; 2 \in A,\; 3 \in A$ และ $4 \in A$
แต่ 5 ไม่เป็นสมาชิกของเซต $A$ ซึ่งคำว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “ $\notin$ ”
ดังนั้นเขียนได้เป็น $5 \notin A$ นั่นเอง

ชนิดของเซต

1. เซตจำกัด

เซตจำกัด หมายถึง เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ทั้งหมด หรือสามารถบอกได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเท่าใด ซึ่งสามารถนับเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์สมาชิกได้ โดยจำนวนสมาชิกของเซตจะเขียน $n$ (เซตที่สนใจ) เช่น

$A = \{1,\:2,\:3\}$ จะเห็นว่า เซต $A$ มีสมาชิก 3 ตัว คือ 1, 2 และ 3 ดังนั้น $n(A) = 3$
$B = \{1,\:2\}$ จะเห็นว่า เซต $B$ มีสมาชิก 2 ตัว คือ 1 และ 2 ดังนั้น $n(B) = 2$
$C = \{1,\:2,\:3,\:\ldots,\:100\}$ จะเห็นว่า เซต $C$ มีสมาชิก 100 ตัว คือ 1 – 100 ดังนั้น $n(C) = 100$

2. เซตว่าง

เซตว่าง หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือสามารถกล่าวได้ว่าเซตว่างมีสมาชิก 0 ตัว โดยเซตว่างจะใช้สัญลักษณ์ $\{ \}$ หรือ $\varnothing$ (อ่านว่า phi) แสดงว่า $n(\{\}) = n(\varnothing) = 0$ และเนื่องจากเราสามารถบอกได้ว่าเซตว่างมีสมาชิก 0 สมาชิก ดังนั้น “เซตว่าง” จึงจัดว่าเป็น “เซตจำกัด” นั่นเอง

3. เซตอนันต์

เซตอนันต์ หมายถึง เซตที่มีจำนวนสมาชิกที่นับไม่ถ้วน หรือไม่สามารถที่จะระบุจำนวนสมาชิกในเซตนั้นได้ เช่น

$A = \{1,\:2,\:3,\:\ldots\}$ จะเห็นว่า เซต $A$ มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน ไม่สามารถระบุได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเป็นเท่าใด เซต $A$ จึงเป็นเซตอนันต์
$B = \{1,\: \tfrac{1}{2},\: \tfrac{1}{4},\: \ldots\}$ จะเห็นว่า เซต $B$ มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน ไม่สามารถระบุได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเป็นเท่าใด เซต $B$ จึงเป็นเซตอนันต์

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative University) คือ เซตที่บ่งบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่พิจารณา โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ $U$ แทนเอกภพสัมพัทธ์ และมีข้อตกลงว่า เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นที่นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ เช่น

กำหนดให้ $U$ คือ เซตของจำนวนเต็มบวก และ $A = \{x \mid x^2 = 4\}$
ซึ่งจาก $x^2 = 4$ จะได้ว่า $x = 2$ หรือ $x = -2$
ซึ่ง $2 \in U$ แต่ $-2 \notin U$ แสดงว่า $-2 \notin A$
ดังนั้น $A = \{2\}$

หมายเหตุ ถ้ากล่าวถึงเซตของจำนวน และไม่ได้กำหนดว่าเซตใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ในระดับ ม.ปลาย ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจำนวนจริง $(\mathbb{R})$

เซตที่เท่ากัน

เซต $A$ และ เซต $B$ เป็นเซตที่เท่ากัน (Equality of Sets) ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต $A$ เป็นสมาชิกของเซต $B$ และสมาชิกทุกตัวของเซต $B$ เป็นสมาชิกของเซต $A$ เราสามารถใช้สัญลักษณ์แทนการเท่ากันของเซต คือ $A = B$ เช่น

$A = \{0,\:1,\:2,\:3\}$ และ $B = \{3,\:2,\:1,\:0\}$ จะเห็นว่าทั้งสองเซตมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว แม้ลำดับของสมาชิกจะต่างกัน แต่ก็ถือว่าทั้งสองเซตเป็นเซตเดียวกัน ดังนั้น $A = B$

และสำหรับกรณีที่มี สมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต $A$ ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต $B$ หรือมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต $B$ ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต $A$ จะกล่าวได้ว่า เซต $A$ ไม่เท่ากับ เซต $B$ เขียนแทนด้วย $A \neq B$ เช่น

$A = \{1,\:2,\:3\}$ และ $B = \{2,\:1\}$ จะเห็นว่า $3 \in A$ แต่ $3 \notin B$ ดังนั้น $A \neq B$

เซตที่เทียบเท่ากัน

เซต $A$ และ เซต $B$ จะเป็นเซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) ก็ต่อเมื่อ ทั้งสองเซตมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน โดยสมาชิกภายในเซตทั้งสองไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน เช่น

$A = \{1,\:2,\:3,\:4,\:5\}$ และ $B = \{A,\:E,\:I,\:O,\:U\}$
จะเห็นว่า $A \neq B$ แต่ $n(A) = 5$ และ $n(B) = 5$ เหมือนกัน
ดังนั้น เซต $A$ เทียบเท่ากับ เซต $B$

$A = \{1,\:2,\:3\}$ และ $B =$ { รถไฟ, เครื่องบิน, เรือ }
จะเห็นว่า $A \neq B$ แต่ $n(A) = 3$ และ $n(B) = 3$ เหมือนกัน
ดังนั้น เซต $A$ เทียบเท่ากับ เซต $B$

สับเซต (Subset)

เซต $A$ เป็นสับเซตของเซต $B$ ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต $A$ อยู่ในหรือเป็นสมาชิกของเซต $B$

สามารถใช้สัญลักษณ์แทนการเป็นสับเซตได้ว่า $A \subset B$

แต่หากมีสมาชิกบางตัวหรือย่างน้อยหนึ่งตัวของ $A$ ไม่เป็นสมาชิกของ $B$ จะทำให้ $A$ ไม่เป็นสับเซตของ $B$ สามารถใช้สัญลักษณ์แทนการไม่เป็นสับเซตได้ว่าได้ว่า $A \not\subset B$ เช่น

$A = \{1,\:2\}$ และ $B = \{1,\:2,\:3,\:4,\:5\}$
จะเห็นว่า $A$ มีสมาชิก คือ 1 และ 2 ซึ่งทั้งสองจำนวนอยู่ใน $B$ ด้วย ดังนั้น $A \subset B$
แต่จะเห็นว่า $3 \in B$ แต่ $3 \notin A$ ดังนั้น $B \not\subset A$ นั่นเอง

อยากให้น้องๆ ได้เห็นภาพตรงกันว่าหาก $A$ เป็นสับเซตของ $B$ แล้ว ไม่ได้หมายความว่า $B$ จะเป็น สับเซตของ $A$

สับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต $A$ คือ เซตทั้งหมดที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกของเซต $A$ เช่น

กำหนดให้ $A = \{1,\:2,\:3\}$
สับเซตของ $A$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ $\varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{3\},\ \{1,\,2\},\ \{1,\,3\},\ \{2,\,3\},\ \{1,\,2,\,3\}$

เพาเวอร์เซต (Power set)

$P(A)$ เป็นเซตที่มีสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต $A$ เป็นสมาชิก หรือพูดง่าย ๆ ว่า $P(A)$ คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต $A$ เช่น

กำหนดให้ $A = \{1,\:2,\:3\}$ มี $n(A) = 3$
สับเซตของ $A$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ $\varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{3\},\ \{1,\,2\},\ \{1,\,3\},\ \{2,\,3\},\ \{1,\,2,\,3\}$
ดังนั้น $P(A) = \{\( \varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{3\},\ \{1,\,2\},\ \{1,\,3\},\ \{2,\,3\},\ \{1,\,2,\,3\}\}$ มีสมาชิกทั้งหมด 8 ตัว
ซึ่งเท่ากับ 23 โดย $3 = n(A)$

แสดงว่าเราสามารถหาจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตได้ด้วยสูตร $n(P(A)) = 2n(A)$ เมื่อ $n(A)$ แทน จำนวนสมาชิกของเซต $A$

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler diagram) คือ แผนภาพแสดงเซต เอาไว้ช่วยในการศึกษาเกี่ยวกับเซตให้ชัดเจนมากยิ่งขึ้น ในปัจจุบันแบบเรียน สสวท. จะเรียกว่า แผนภาพเวนน์ (Venn diagram)

โดยสามารถเขียนในรูปต่าง ๆ ได้ ไม่ว่าจะเป็นวงกลม หรือวงรี แต่โดยปกติแล้วจะนิยมใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในการวาดแผนภาพ แทนเอกภพสัมพัทธ์ $(U)$ และวาดวงรี หรือวงกลมภายในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แทนเซตที่เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์

วิธีการเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

น้อง ๆ สามารถเริ่มจากการวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเอกภพสัมพันธ์
จากนั้นนำเซตต่าง ๆ ที่สนใจวาดไว้ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังภาพตัวอย่างด้านล่าง

การดำเนินการระหว่างเซต

การดำเนินการของเซต จะมี 4 แบบ ได้แก่

ยูเนียน (Union)
อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
ผลต่าง (Difference) หรือ ผลต่างระหว่างเซต (Difference of Sets)
คอมพลีเมนท์ (Complement)

1. ยูเนียน (Union)

เซต $A$ ยูเนียนกับเซต $B$ คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต $A$ หรือ เซต $B$ หรือทั้งสองเซต สามารถเขียนแทนได้ด้วย $A \cup B$

กล่าวคือ $A \cup B = \{x \mid x \in A$ หรือ $x \in B\}$

**ในทางคณิตศาสตร์ “หรือ” หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง**

เขียนแผนภาพของ $A \cup B$ ได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

เซต $A$ อินเตอร์เซกชันเซต $B$ คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต $A$ และเซต $B$ สามารถเขียนแทนได้ด้วย $A \cap B$

กล่าวคือ $A \cap B = \{x \mid x \in A$ และ $x \in B\}$

เขียนแผนภาพของ $A \cap B$ ได้ดังนี้

3. ผลต่างระหว่างเซต (Difference of Sets)

ผลต่างระหว่างเซตของเซต $A$ และ เซต $B$ หมายถึง เซตที่มีสมาชิกอยู่ในเซต $A$ แต่ไม่อยู่ในเซต $B$

สามารถเขียนแทนได้ด้วย $A - B$

กล่าวคือ $A - B = \{x \mid x \in A$ และ $x \notin B\}$

เขียนแผนภาพของ $A - B$ ได้ดังนี้

4. คอมพลีเมนต์ (Complement)

กำหนดให้เซต $A$ ใด ๆ อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ $U$ แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต $A$ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ $U$ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ $A$ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ $A'$ หรือ $Ac$

กล่าวคือ ${A'} = \{x \mid x \in U$ และ $x \notin A\}$

เขียนแผนภาพของ $A'$ ได้ดังนี้

ตัวอย่างโจทย์การดำเนินการระหว่างเซต

สมบัติของการดำเนินการของเซต

ให้ $A$ , $B$ และ $C$ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ $U$ จะได้

$A \cup B &= B \cup A$
$A \cap B &= B \cap A$
$(A \cup B) \cup C &= A \cup (B \cup C)$
$(A \cap B) \cap C &= A \cap (B \cap C)$
$A \cup (B \cap C) &= (A \cup B) \cap (A \cup C)$
$A \cap (B \cup C) &= (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$(A \cup B)' &= A' \cap B'$
$(A \cap B)' &= A' \cup B'$
$A - B &= A \cap B'$
$A' &= \mathcal{U} - A$

จากสมบัติข้อ 2. $(A \cup B) \cup C &= A \cup (B \cup C)$ ทำให้สามารถเขียนแทน $(A \cup B) \cup C$ และ $A \cup (B \cup C)$ ด้วย $A \cup B \cup C$ ได้โดยไม่มีความกำกวม

และเนื่องจาก $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ ทำให้สามารถเขียนแทน $(A \cap B) \cap C$ และ $A \cap (B \cap C)$ ด้วย $A \cap B \cap C$

หมายเหตุ จะไม่เขียน $A \cup B \cap C$ เพราะโดยทั่วไป $(A \cup B) \cap C \ne A \cup (B \cap C)$ ถ้าเป็นตัวดำเนินการต่างชนิดกัน จะต้องใส่วงเล็บเสมอ เพื่อบอกว่าต้องดำเนินการระหว่างเซตสองเซตใดก่อน

สูตรสำคัญสำหรับการแก้โจทย์ปัญหาเซต

สูตรสำหรับ 2 เซต

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

สูตรสำหรับ 3 เซต

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

สูตรสำคัญอื่น ๆ

$n(A) = n(\cup) - n(A')$
$n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)$
$n(A - B) = n(A \cup B) - n(B)$

ฝึกทำโจทย์ "เซต" พร้อมเฉลย

โจทย์เซต ข้อที่ 1

โจทย์เซต ข้อที่ 2

โจทย์เซต ข้อที่ 3

ติวคณิตศาสตร์ ม.4 กับ "เดอะเบรน" พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 รวมทุกบท

เซต

อย่างที่พี่ได้บอกไปว่า “เซต” เป็นบทเรียนสำคัญก่อนเข้าสู่เนื้อหาที่มีความเข้มข้นมากขึ้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย หากน้อง ๆ เรียนบทนี้โดยเน้นทำความเข้าใจ ก็สามารถนำบทเรียนเซตไปประยุกต์ใช้ได้อย่างแน่นอน

น้อง ๆ คนไหนได้อ่านบทความนี้แล้ว และต้องการเพิ่มความมั่นใจในการทำโจทย์มากขึ้น ทั้งสนามสอบในและนอกโรงเรียน สามารถ ติวคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 กับ WE BY THE BRAIN ได้เลย