สรุปเนื้อหา เซต ม.4 เรียนอะไรบ้าง อ่านจบพร้อมลุยโจทย์

หน้าหลัก » article » สรุปเนื้อหา เซต ม.4 เรียนอะไรบ้าง อ่านจบพร้อมลุยโจทย์

April 2, 2024

น้อง ๆ รู้หรือไม่ว่า บทเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย นั้นสำคัญอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับบทเรียนที่เป็นรากฐานสำคัญที่ต้องนำไปประยุกต์ใช้ในบทเรียนและวิชาอื่น ๆ วันนี้ พี่ภูมิ – อ.สิทธิเดช เลนุกูล จะพามารู้จักกับบท “เซต” เนื้อหา ม.4 เทอม 1 บทเรียนแรกที่น้องใหม่ ม.ปลาย ทุกคนจะต้องเจอ และยังเป็นบทพื้นฐานสำคัญของการนำความรู้ไปใช้ในบทอื่น ๆ เช่น “ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน” หรือ “หลักการนับเบื้องต้น” ด้วย

หากน้อง ๆ เข้าใจคอนเซปต์ของการเรียนบทนี้แล้ว การเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ก็จะไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป หากพร้อมแล้วตามพี่ภูมิไปดูเนื้อหาบทเซต พร้อมโจทย์ตัวอย่างและเฉลยอย่างละเอียดกันได้เลยครับ!

เซต คืออะไร?

เซต (Sets) เป็นคำอนิยาม ไม่สามารถให้นิยามกับเซตได้ แต่เราจะใช้เซตในการกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ โดยที่จะต้องทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม โดยเราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิกของเซต (Element or Member) เช่น

เซตของชื่อวันในสัปดาห์ มีสมาชิก ได้แก่ จันทร์ อังคาร พุธ พฤหัสบดี ศุกร์ เสาร์ และอาทิตย์
เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 มีสมาชิก ได้แก่ 1, 2, 3 และ 4 เป็นต้น

รูปแบบการเขียนเซต

รูปแบบของการเขียนเซตนั้นไม่ได้ยากอย่างที่คิด โดยมีทั้งหมด 2 รูปแบบหลัก ๆ ที่จะได้เรียนกันในคณิตศาสตร์ระดับ ม.ปลาย นั่นคือ

1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก (Roaster Form)

วิธีการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเป็นที่นิยมมาก ในกรณีที่ต้องการแจกแจงสิ่งที่อยู่ในเซตออกมา โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในวงเล็บปีกกาและใช้เครื่องหมายจุลภาค (,) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 เขียนได้ว่า {1, 2, 3, 4} เป็นต้น

โดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A เป็นเซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 จะได้ว่า A = {1, 2, 3, 4} เป็นต้น

นอกจากนี้น้อง ๆ สามารถใช้ สัญลักษณ์จุดสามจุด หรือ “…” (and so on) เพื่อแสดงถึงสมาชิกอื่น ๆ ในเซตได้อีกด้วย และสามารถใช้แทนเซตอนันต์ซึ่งจะมีความหมายว่ามีสมาชิกอื่น ๆ อีกจำนวนไม่สิ้นสุด เช่น

A เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย เขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ได้ดังนี้ A = {ก, ข, ฃ, … , อ, ฮ}
B เป็นเซตของจำนวนคู่ เขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชิก ได้ดังนี้ B = {…, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …}

**การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก ต้องเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น (ตัวซ้ำเขียนครั้งเดียวพอนะครับ)**

2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข (Set Builder Form)

วิธีการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขนี้ สามารถใช้อธิบายคุณสมบัติของสมาชิกที่อยู่ในรูปตัวแปรได้อย่างดี เป็นวิธีการเขียนเซตโดยบอกเงื่อนไข หรือกำหนดคุณสมบัติของสมาชิกในเซตนั้น โดยเริ่มจากการกำหนดขอบเขตเฉพาะของสมาชิก (เอกภพสัมพัทธ์) จากนั้นใช้สัญลักษณ์ “ | ” แทนคำว่า “โดยที่” เพื่อคั่นระหว่างตัวแปรกับเงื่อนไข

ชื่อเซต = {ตัวแปรแทนสมาชิกภายในเซต | เงื่อนไขของตัวแปร}

ยกตัวอย่างเช่น

A = {3, 6, 9} จะสามารถเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขได้เป็น
A = {x | x เป็นจำนวนนับระหว่าง 0 – 10 ที่หารด้วย 3 ลงตัว}

น้อง ๆ สามารถอ่านได้อย่างง่ายว่า “เซต A เป็นเซตที่มี x เป็นสมาชิก โดยที่ x เป็นจำนวนนับระหว่าง 0 – 10 ที่หารด้วย 3 ลงตัว”

อ่านว่า “เซต B เป็นเซตที่มี x ที่เป็นจำนวนเต็มเป็นสมาชิก โดยที่ x นั้นเป็นจำนวนที่มีค่ามากกว่า $\frac{1}{2}$ แต่น้อยกว่าเท่ากับ 2”

การเป็นสมาชิกของเซต

กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} จะเห็นว่า 1, 2, 3 และ 4 ต่างก็ “อยู่ใน” หรือ “เป็นสมาชิกของ” เซต A

คำว่า “เป็นสมาชิกของ” หรือ “อยู่ใน” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “∈” เช่น

กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4}
จะได้ว่า 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A และ 4 ∈ A
แต่ 5 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A ซึ่งคำว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “∉”
ดังนั้นเขียนได้เป็น 5 ∉ A นั่นเอง

ชนิดของเซต

1. เซตจำกัด

เซตจำกัด หมายถึง เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ทั้งหมด หรือสามารถบอกได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเท่าใด ซึ่งสามารถนับเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์สมาชิกได้ โดยจำนวนสมาชิกของเซตจะเขียน n (เซตที่สนใจ) เช่น

A = {1, 2, 3} จะเห็นว่า เซต A มีสมาชิก 3 ตัว คือ 1, 2 และ 3 ดังนั้น n(A) = 3
B = {1, 2} จะเห็นว่า เซต B มีสมาชิก 2 ตัว คือ 1 และ 2 ดังนั้น n(B) = 2
C = {1, 2, 3, …, 100} จะเห็นว่า เซต C มีสมาชิก 100 ตัว คือ 1 – 100 ดังนั้น n(C) = 100

2. เซตว่าง

เซตว่าง หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือสามารถกล่าวได้ว่าเซตว่างมีสมาชิก 0 ตัว โดยเซตว่างจะใช้สัญลักษณ์ { } หรือ Ø (อ่านว่า phi) แสดงว่า n( { } ) = n(Ø) = 0 และเนื่องจากเราสามารถบอกได้ว่าเซตว่างมีสมาชิก 0 สมาชิก ดังนั้น “เซตว่าง” จึงจัดว่าเป็น “เซตจำกัด” นั่นเอง

3. เซตอนันต์

เซตอนันต์ หมายถึง เซตที่มีจำนวนสมาชิกที่นับไม่ถ้วน หรือไม่สามารถที่จะระบุจำนวนสมาชิกในเซตนั้นได้ เช่น

A = {1, 2, 3, …} จะเห็นว่า เซต A มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน ไม่สามารถระบุได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเป็นเท่าใด เซต A จึงเป็นเซตอนันต์
B = {1, $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , …} จะเห็นว่า เซต B มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน ไม่สามารถระบุได้ว่ามีจำนวนสมาชิกเป็นเท่าใด เซต B จึงเป็นเซตอนันต์

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative University) คือ เซตที่บ่งบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่พิจารณา โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ และมีข้อตกลงว่า เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นที่นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ เช่าน

กำหนดให้ U คือ เซตของจำนวนเต็มบวก และ A = {x | x² = 4}
ซึ่งจาก x² = 4 จะได้ว่า x = 2 หรือ x = -2
ซึ่ง 2 ∈ U แต่ -2 ∉ U แสดงว่า -2 ∉ A
ดังนั้น A = {2}

หมายเหตุ ถ้ากล่าวถึงเซตของจำนวน และไม่ได้กำหนดว่าเซตใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ในระดับ ม.ปลาย ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจำนวนจริง (ℝ)

เซตที่เท่ากัน

เซต A และ เซต B เป็นเซตที่เท่ากัน (Equality of Sets) ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เราสามารถใช้สัญลักษณ์แทนการเท่ากันของเซต คือ A = B เช่น

A = {0, 1, 2, 3} และ B = {3, 2, 1, 0} จะเห็นว่าทั้งสองเซตมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว แม้ลำดับของสมาชิกจะต่างกัน แต่ก็ถือว่าทั้งสองเซตเป็นเซตเดียวกัน ดังนั้น A = B

และสำหรับกรณีที่มี สมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A จะกล่าวได้ว่า เซต A ไม่เท่ากับ เซต B เขียนแทนด้วย A ≠ B เช่น

A = {1, 2, 3} และ B = {2, 1} จะเห็นว่า 3 ∈ A แต่ 3 ∉ B ดังนั้น A ≠ B

เซตที่เทียบเท่ากัน

เซต A และ เซต B จะเป็นเซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) ก็ต่อเมื่อ ทั้งสองเซตมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน โดยสมาชิกภายในเซตทั้งสองไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน เช่น

A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {A, E, I, O, U}
จะเห็นว่า A ≠ B แต่ n(A) = 5 และ n(B) = 5 เหมือนกัน
ดังนั้น เซต A เทียบเท่ากับ เซต B
A = { 1, 2, 3 } และ B = { รถไฟ, เครื่องบิน, เรือ }
จะเห็นว่า A ≠ B แต่ n(A) = 3 และ n(B) = 3 เหมือนกัน
ดังนั้น เซต A เทียบเท่ากับ เซต B

สับเซต (Subset)

เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A อยู่ในหรือเป็นสมาชิกของเซต B

สามารถใช้สัญลักษณ์แทนการเป็นสับเซตได้ว่า A ⊂ B

แต่หากมีสมาชิกบางตัวหรือย่างน้อยหนึ่งตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะทำให้ A ไม่เป็นสับเซตของ B สามารถใช้สัญลักษณ์แทนการไม่เป็นสับเซตได้ว่าได้ว่า A ⊄ B เช่น

A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4, 5}
จะเห็นว่า A มีสมาชิก คือ 1 และ 2 ซึ่งทั้งสองจำนวนอยู่ใน B ด้วย ดังนั้น A ⊂ B
แต่จะเห็นว่า 3 ∈ B แต่ 3 ∉ A ดังนั้น B ⊄ A นั่นเอง

อยากให้น้องๆ ได้เห็นภาพตรงกันว่าหาก A เป็นสับเซตของ B แล้ว ไม่ได้หมายความว่า B จะเป็น สับเซตของ A

สับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต A คือ เซตทั้งหมดที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกของเซต A เช่น

กำหนดให้ A = {1, 2, 3}
สับเซตของ A ที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ ø, {1}, {2}, {3} ,{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

เพาเวอร์เซต (Power set)

P(A) เป็นเซตที่มีสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต A เป็นสมาชิก หรือพูดง่าย ๆ ว่า P(A) คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เช่น

กำหนดให้ A = { 1, 2, 3 } มี n(A) = 3
สับเซตของ A ที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ ø, {1}, {2}, {3} ,{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
ดังนั้น P(A) = { ø, {1}, {2}, {3} ,{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } มีสมาชิกทั้งหมด 8 ตัว
ซึ่งเท่ากับ 23 โดย 3 = n(A)

แสดงว่าเราสามารถหาจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตได้ด้วยสูตร n(P(A)) = 2n(A) เมื่อ n(A) แทน จำนวนสมาชิกของเซต A

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler diagram) คือ แผนภาพแสดงเซต เอาไว้ช่วยในการศึกษาเกี่ยวกับเซตให้ชัดเจนมากยิ่งขึ้น ในปัจจุบันแบบเรียน สสวท. จะเรียกว่า แผนภาพเวนน์ (Venn diagram)

โดยสามารถเขียนในรูปต่าง ๆ ได้ ไม่ว่าจะเป็นวงกลม หรือวงรี แต่โดยปกติแล้วจะนิยมใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในการวาดแผนภาพ แทนเอกภพสัมพัทธ์ (U) และวาดวงรี หรือวงกลมภายในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แทนเซตที่เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์

วิธีการเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

น้อง ๆ สามารถเริ่มจากการวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเอกภพสัมพันธ์
จากนั้นนำเซตต่าง ๆ ที่สนใจวาดไว้ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังภาพตัวอย่างด้านล่าง

การดำเนินการระหว่างเซต

การดำเนินการของเซต จะมี 4 แบบ ได้แก่

ยูเนียน (Union)
อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
ผลต่าง (Difference) หรือ ผลต่างระหว่างเซต (Difference of Sets)
คอมพลีเมนท์ (Complement)

1. ยูเนียน (Union)

เซต A ยูเนียนกับเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้งสองเซต สามารถเขียนแทนได้ด้วย A ∪ B

กล่าวคือ A ∪ B = {x | x ∈ A หรือ x ∈ B}

**ในทางคณิตศาสตร์ “หรือ” หมายถึง อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง**

เขียนแผนภาพของ A ∪ B ได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วย A ∩ B

กล่าวคือ A ∩ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B }

เขียนแผนภาพของ A ∩ B ได้ดังนี้

3. ผลต่างระหว่างเซต (Difference of Sets)

ผลต่างระหว่างเชตของเซต A และ เซต B หมายถึง เซตที่มีสมาชิกอยู่ในเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต B

สามารถเขียนแทนได้ด้วย A – B

กล่าวคือ A – B = {x | x ∈ A และ x ∉ B}

เขียนแผนภาพของ A – B ได้ดังนี้

4. คอมพลีเมนต์ (Complement)

กำหนดให้เซต A ใด ๆ อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A’ หรือ Ac

กล่าวคือ A’ = {x| x ∈ U และ x ∉ A}

เขียนแผนภาพของ A’ ได้ดังนี้

ตัวอย่างโจทย์การดำเนินการระหว่างเซต

สมบัติของการดำเนินการของเซต

ให้ A, B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U จะได้

$A \cup B = B \cup A$
$A \cap B = B \cap A$
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
$(A \cup B)' = A' \cap B'$
$(A \cap B)' = A' \cup B'$
$A - B = A \cap B'$
$A' = \mathcal{U} - A$

จากสมบัติข้อ 2. $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ ทำให้สามารถเขียนแทน $(A \cup B) \cup C$ และ $A \cup (B \cup C)$ ด้วย $A \cup B \cup C$ ได้โดยไม่มีความกำกวม

และเนื่องจาก $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ ทำให้สามารถเขียนแทน $(A \cap B) \cap C$ และ $A \cap (B \cap C)$ ด้วย $A \cap B \cap C$

หมายเหตุ จะไม่เขียน $A \cup B \cap C$ เพราะโดยทั่วไป $(A \cup B) \cap C \ne A \cup (B \cap C)$ ถ้าเป็นตัวดำเนินการต่างชนิดกัน จะต้องใส่วงเล็บเสมอ เพื่อบอกว่าต้องดำเนินการระหว่างเซตสองเซตใดก่อน

สูตรสำคัญสำหรับการแก้โจทย์ปัญหาเซต

สูตรสำหรับ 2 เซต

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

สูตรสำหรับ 3 เซต

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

สูตรสำคัญอื่น ๆ

$n(A) = n(\cup) - n(A')$
$n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)$
$n(A - B) = n(A \cup B) - n(B)$

ฝึกทำโจทย์ "เซต" พร้อมเฉลย

โจทย์เซต ข้อที่ 1

โจทย์เซต ข้อที่ 2

โจทย์เซต ข้อที่ 3

ติวคณิตศาสตร์ ม.4 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย

อย่างที่พี่ได้บอกไปว่า “เซต” เป็นบทเรียนสำคัญก่อนเข้าสู่เนื้อหาที่มีความเข้มข้นมากขึ้นในบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย หากน้อง ๆ เรียนบทนี้โดยเน้นทำความเข้าใจ ก็สามารถนำบทเรียนเซตไปประยุกต์ใช้ได้อย่างแน่นอน

น้อง ๆ คนไหนได้อ่านบทความนี้แล้ว และต้องการเพิ่มความมั่นใจในการทำโจทย์มากขึ้น ทั้งสนามสอบในและนอกโรงเรียน สามารถ ติวคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 กับ WE BY THE BRAIN ได้เลย