“ จงหาผลบวกรากและผลคูณรากของสมการ \( 2x^{2}-3x-1=0\) ”
คำถามง่ายๆที่เชื่อว่าน้องๆน่าจะหาคำตอบได้ไม่ยาก โดยทั่วไปสำหรับการหาราก (roots of equations) ของสมการพหุนามกำลังสองหรือสมการกำลังสองที่อยู่ในรูป \(Ax^{2}+Bx+C=0\) จะสามารถทำได้หลากหลายวิธี ดังเช่น การแยกตัวประกอบพหุนาม การจัดให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
หรือการใช้สูตรหาค่า x (Quadratic Formula) ที่ว่า \( x=\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}\)
ซึ่งหากใช้สูตรดังกล่าวหาค่ารากของ \( 2x^{2}-3x-1=0\)
จะได้ว่า \( x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4(2)(-1)}}{2(2)}\)
ดังนั้น รากของสมการ คือ \( \frac{3+ \sqrt{17}}{4}\) และ \( \frac{3- \sqrt{17}}{4}\) เมื่อให้ \( x_{1}=\frac{3+ \sqrt{17}}{4}\) และ \( x_{2}=\frac{3- \sqrt{17}}{4}\)
จะได้ว่า ผลบวกรากของสมการ \( =x_{1}+x_{2}=\frac{3+ \sqrt{17}}{4}+\frac{3- \sqrt{17}}{4}=\frac{3}{2}\)
และ ผลคูณรากของสมการ \( =x_{1}x_{2}=(\frac{3+ \sqrt{17}}{4})(\frac{3- \sqrt{17}}{4})=\frac{1}{2}\)
หากสังเกตจากผลลัพธ์ที่ได้จะเห็นความสัมพันธ์ระหว่างรากของสมการพหุนามและสัมประสิทธิ์ของพหุนาม
ได้ชัดเจนว่า ผลบวกรากของสมการ \(=-\frac{(-3)}{2}\) และ ผลคูณรากของสมการ \( =\frac{(-1)}{2}\)
ซึ่งความสัมพันธ์ดังกล่าวรู้จักกันทั่วไปในชื่อ สูตรของวีต
สูตรของวีต (Vieta’s Formulas) เป็นสูตรที่ใช้ในการหาผลบวกและผลคูณของรากของ สมการพหุนามโดยไม่ต้องคำนวณหาค่ารากแต่ละตัวออกมาให้เสียเวลา ค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสนามว่า ฟรังซัว เวียต (François Viète (อ่านว่า เวียต หรือ วีต), ค.ศ. 1540 – 1603) สำหรับการพิจารณาหาผลบวกและผลคูณของรากของสมการกำลังสอง ในรูป \(Ax^{2}+Bx+C=0\) ที่มี \( x_{1}\)และ \( x_{2}\) เป็นรากของสมการ จะได้ว่า ผลบวกรากของสมการ \( x_{1}+x_{2}=-\frac{B}{A}\)
และ ผลคูณรากของสมการ \( x_{1}x_{2}=\frac{C}{A}\)
ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยง่าย เมื่อ \( x_{1}\)และ \( x_{2}\) เป็นรากของสมการพหุนาม \(Ax^{2}+Bx+C=0\)
แล้ว \( Ax^{2}+Bx+C=A(x-x_{1})(x-x_{2})\)
\( x^{2}+\frac{B}{A}x+\frac{C}{A}=(x-x_{1})(x-x_{2})\)
แสดงว่า \( x^{2}+\frac{B}{A}x+\frac{C}{A}=x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}\)
ซึ่งเมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของตัวแปรแล้วพบว่า ผลบวกรากของสมการ \( x_{1}+x_{2}=-\frac{B}{A}\)
และ ผลคูณรากของสมการ \( x_{1}x_{2}=\frac{C}{A}\) ในทำนองเดียวกันสำหรับกรณีที่สมการพหุนาม
มีค่าสัมประสิทธิ์\( A=1\) (เรียกอีกชื่อว่า สมการพหุนามโมนิก(monic polynomial equation))
แล้ว \(x^{2}+Bx+C=0\) มี \( x_{1}\)และ \( x_{2}\) เป็นรากของสมการ จะได้ว่า
ผลบวกรากของสมการ \( x_{1}+x_{2}=- B\) และ ผลคูณรากของสมการ \( x_{1}x_{2}=C\) นั่นเอง
นอกจากนี้สูตรของวีตไม่เพียงแต่สามารถใช้หาผลบวกและผลคูณรากของสมการพหุนามกำลังสอง
เพียงเท่านั้นแต่ยังสามารถใช้หาผลบวกและผลคูณรากของสมการพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า 2 ได้อีกเช่นกัน
ดังเช่น หากเราพิจารณาสมการพหุนามดีกรี 3 ในรูป \(Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0\) และมี \( x_{1},\ x_{2}\)และ \( x_{3}\) เป็นรากของสมการพหุนาม
จะได้ว่า ผลบวกรากของสมการ \( x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{B}{A}\)
ผลบวกของผลคูณรากทีละสองรากของสมการ \( = {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_2}{x_3} = \frac{C}{A}\)
และ ผลคูณรากของสมการ \(= {x_1}{x_2}{x_3} = – \frac{D}{A}\)
ซึ่งที่มาของความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ดังนี้
สำหรับ สมการพหุนามดีกรี 3 ในรูป\( A{x^3} + B{x^2} + Cx + D = 0\)
ที่มี \( {x_1},\,{x_2}\) และ \( {x_3}\) เป็นราก
ของสมการพหุนาม
จะได้ว่า \( A{x^3} + B{x^2} + Cx + D = A\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right) \)
\({x^3} + \frac{B}{A}{x^2} + \frac{C}{A}x + \frac{D}{A} = \left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)\)
\({x^3} + \frac{B}{A}{x^2} + \frac{C}{A}x + \frac{D}{A} = {x^3} – \left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right){x^2} + \left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_2}{x_3}} \right)x – {x_1}{x_2}{x_3}\)
ซึ่งเมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของตัวแปรแล้วก็จะได้ความสัมพันธ์ดังที่กล่าวไปข้างต้นนั่นเอง
ในทำนองเดียวกันหากพิจารณาสมการพหุนามดีกรี \( n\) ที่เขียนอยู่ในรูป
\({a_n}{x^n} + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + {a_{n – 2}}{x^{n – 2}} + … + {a_1}x + {a_0} = 0\)โดยที่ \({a_n} \ne 0\)
และ \({a_i}\)เป็นสัมประสิทธิ์ของ \({x^i}\) และมี \({x_1},{x_2},{x_3},…,{x_{n – 1}},{x_n}\) เป็นรากของสมการพหุนาม จะได้ว่า
\({a_n}{x^n} + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + {a_{n – 2}}{x^{n – 2}} + … + {a_1}x + {a_0} = {a_n}\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)…\left( {x – {x_{n – 1}}} \right)\left( {x – {x_n}} \right)\)
\({x^n} + \frac{{{a_{n – 1}}}}{{{a_n}}}{x^{n – 1}} + \frac{{{a_{n – 2}}}}{{{a_n}}}{x^{n – 2}} + … + \frac{{{a_1}}}{{{a_n}}}x + \frac{{{a_0}}}{{{a_n}}} = \left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)…\left( {x – {x_{n – 1}}} \right)\left( {x – {x_n}} \right)\)
เมื่อพิจารณาทางขวาของสมการพบว่า \(\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)…\left( {x – {x_{n – 1}}} \right)\left( {x – {x_n}} \right)\)
\( = {x^n} – \left( {{x_1} + {x_2} + … + {x_n}} \right){x^{n – 1}} + \left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + … + {x_{n – 1}}{x_n}} \right){x^{n – 2}} – … + {\left( { – 1} \right)^n}\left( {{x_1}{x_2}…{x_n}} \right)\)
ซึ่งเมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ของตัวแปรของสมการพหุนามฝั่งซ้ายและขวาแล้วพบว่า
ผลบวกรากของสมการ \( = {x_1} + {x_2} + … + {x_n} = – \frac{{{a_{n – 1}}}}{{{a_n}}}\)
ผลบวกของผลคูณรากทีละสองรากของสมการ \( = {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + … + {x_{n – 1}}{x_n} = \frac{{{a_{n – 2}}}}{{{a_n}}}\)
และ ผลคูณรากของสมการ \( = {x_1}{x_2}…{x_n} = {\left( { – 1} \right)^n}\frac{{{a_0}}}{{{a_n}}}\)
น้องๆจะเห็นว่าสูตรของวีต นอกจากจะสามารถใช้หาผลบวกรากและผลคูณรากของสมการพหุนามได้รวดเร็วมากยิ่งขึ้นแล้วนั้น ยังสามารถหาความสัมพันธ์อื่นๆระหว่างรากของพหุนามได้อีกด้วยเช่นกัน ดังนั้นอย่าลืมกลับไปทบทวนและฝึกใช้กันด้วยนะครับ เพราะตอนอยู่ในห้องสอบสูตรของวีตอาจจะเป็นตัวช่วยให้น้องได้คำตอบเร็วขึ้นก็เป็นได้
