แกะวิธีแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 สรุปครบในบทความเดียว

April 9, 2024

น้อง ๆ คนไหนที่กำลังเรียนคณิตศาสตร์ ม.ต้น เกี่ยวกับ “การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว” อยู่ตอนนี้แล้วยังไม่ค่อยเข้าใจ หรือพยายามทำความเข้าใจแล้วแต่ก็ยังสับสน จับต้นชนปลายไม่ถูก ก็อย่าเพิ่งถอดใจกันไปนะครับ เพราะในบทความนี้ พี่ภูมิ – เดอะเบรน จะมาแชร์ วิธีการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแบบเข้าใจง่าย พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลยละเอียด จะน่าสนใจแค่ไหน ตามไปดูเลย!

อสมการ คืออะไร

อสมการ (Inequality) คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงถึงการไม่เท่ากันของจำนวน ซึ่งสามารถเป็นไปได้ทั้ง ไม่เท่ากับ (≠) , มากกว่า (>) , น้อยกว่า (<) , มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) และน้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) ครับ

โดยความหมายของแต่ละสัญลักษณ์ก็คือ

a ≠ b มีความหมายว่า a มีค่าไม่เท่ากับ b
a < b มีความหมายว่า a มีค่าน้อยกว่า b (ไม่ถึง b)
a > b มีความหมายว่า a มีค่ามากกว่า b (เกิน b)
a ≤ b มีความหมายว่า a มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ b (ไม่เกิน b)
a ≥ b มีความหมายว่า a มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ b (ไม่น้อยกว่า b)

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คืออะไร

คราวนี้เรามารู้จักกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวต่อเลยดีกว่าครับ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของการไม่เท่ากัน และมีตัวแปรเพียงตัวเดียว โดยที่ตัวแปรนั้นมีเลขชี้กำลังเป็น 1 ซึ่งอสมการอาจมีคำตอบหรือไม่มีคำตอบก็ได้

คําตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ส่วนคําตอบของอสมการ คือ จํานวนที่นําไปแทนค่าตัวแปรในอสมการ แล้วทําให้ได้อสมการที่เป็นจริงหรือสอดคล้องกับอสมการ และสำหรับจำนวนใดที่แทนค่าตัวแปรแล้วทำให้เกิดอสมการที่ไม่เป็นจริง แสดงว่าจำนวนนั้นไม่เป็นคำตอบของอสมการ

น้อง ๆ จะเห็นว่าคำตอบของอสมการไม่จำเป็นต้องมีเพียงแค่ค่าเดียวเท่านั้นนะครับ โดยอสมการจะมีคำตอบได้ 3 ลักษณะ คือ

มีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ
มีจำนวนจริงบางจำนวนเป็นคำตอบ
ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

ตัวอย่างของการหาคำตอบอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ตัวอย่าง 1

จงหาคำตอบของอสมการ 2x – 2 > x + 5

วิธีทำ

จากโจทย์ + 2 ทั้งสองฝั่ง จะได้ 2x – 2 + 2 > x + 5 + 2

ต่อมา – x ทั้งสองฝั่ง จะได้ 2x – x > x + 7 – x

พบว่า x > 7

ดังนั้น คำตอบของอสมการคือ จำนวนจริง x ทุกจำนวนที่มีค่ามากกว่า 7 นั่นเอง

ตัวอย่าง 2

จงหาคำตอบของอสมการ x + 1 ≤ x + 2

วิธีทำ

เนื่องจาก เมื่อแทน x ด้วยจำนวนจริงใด ๆ ใน x + 1 ≤ x + 2 แล้วจะได้อสมการที่เป็นจริงเสมอ

ดังนั้น คำตอบของอสมการ x + 1 ≤ x + 2 คือ จำนวนจริงทุกจำนวน

ตัวอย่าง 3

กำหนดให้ x เป็นจำนวนนับ

จงหาค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการ 0 < x ≤ 1

วิธีทำ

จากโจทย์เมื่อแทน x = 1 จะได้ว่า 0 < 1 ≤ 1 อสมการเป็นจริง

แต่เมื่อแทน x = 2 จะได้ว่า 0 < 2 ≤ 1 อสมการไม่เป็นจริง

และสำหรับจำนวนนับ x ใด ๆ ที่มากกว่า 2 เมื่อแทนลงในอสมการแล้วจะไม่เป็นจริงเสมอ

ดังนั้น อสมการจะมีเพียงคำตอบเดียวคือ x = 1 เป็นคำตอบของอสมการ

ตัวอย่าง 4

จงหาคำตอบของอสมการ x < x – 2

วิธีทำ

จากโจทย์ – x ทั้งสองฝั่ง จะได้ x – x < x – 2 – x

พบว่า 0 < –2

ซึ่งอสมการไม่เป็นจริง (อาจารย์บางท่านอาจใช้คำว่า “อสมการเป็นเท็จ”)

หมายความว่าไม่มีจำนวนจริงใดที่แทนค่าใน x แล้วทำให้อสมการเป็นจริงได้

ดังนั้น อสมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

กราฟแสดงคำตอบของอสมการ

เราสามารถนําคําตอบที่ได้ เขียนเป็นกราฟเส้น (line graph) แสดงคําตอบบนเส้นจำนวน เพื่อให้เห็นภาพคําตอบได้ชัดเจน ซึ่งจะประกอบด้วย 3 ส่วนสำคัญดังนี้ครับ

จุดโปร่ง (วงกลมโปร่ง) หมายถึง จำนวนนั้นไม่เป็นคำตอบ
จุดทึบ (วงกลมทึบ) หมายถึง จำนวนนั้นเป็นคำตอบด้วย
เส้นทึบที่ลากเชื่อม หมายถึง จำนวนที่เป็นคำตอบของอสมการ โดยใช้การลากเส้นผ่านจำนวนนั้น ๆ

ตัวอย่างการเขียนกราฟแสดงคำตอบของอสมการ

กราฟข้างต้นแสดงจำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ –1 แต่น้อยกว่า 3

ซึ่งเป็นคำตอบของอสมการ –1 ≤ x < 3

เนื่องจาก –1 เป็นคำตอบของอสมการ จะเขียนจุดทึบทับจุดที่แทน –1 ไว้เพื่อแสดงว่า

กราฟรวมจุดที่แทน –1 และเนื่องจาก 3 ไม่ใช่คำตอบของอสมการ ดังนั้นจะเขียนจุดโปร่งตรงจุดที่แทน 3 ไว้เพื่อแสดงว่า กราฟไม่รวมจุดที่แทน 3 และเส้นทึบที่ลากจะหมายถึงจำนวนจริงทั้งหมดที่มีค่าระหว่าง –1 ถึง 3 เป็นคำตอบของอสมการ

วิธีการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้อสมการ คือ การหาคําตอบของอสมการนั่นเอง ซึ่งทําได้โดยการลองแทนค่าตัวแปร หรือใช้สมบัติการไม่เท่ากันเข้ามาช่วย แต่การลองแทนค่าตัวแปรในอสมการอาจไม่สะดวกเมื่ออสมการมีความซับซ้อน ดังนั้นเพื่อความรวดเร็วในการแก้อสมการ เราจะใช้ สมบัติของการไม่เท่ากันในการหาคําตอบ ครับ

สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน

เมื่อ a , b และ c แทนจํานวนจริงใด ๆ

ถ้า a < b แล้ว a ± c < b ± c
ถ้า a ≤ b แล้ว a ± c ≤ b ± c
ถ้า a > b แล้ว a ± c > b ± c
ถ้า a ≥ b แล้ว a ± c ≥ b ± c

สมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน

เมื่อ a , b และ c แทนจํานวนจริงใด ๆ

ถ้า a < b และ c เป็นจํานวนจริงบวก แล้ว ac < bc
ถ้า a ≤ b และ c เป็นจํานวนจริงบวก แล้ว ac ≤ bc
ถ้า a < b และ c เป็นจํานวนจริงลบ แล้ว ac > bc
ถ้า a ≤ b และ c เป็นจํานวนจริงลบ แล้ว ac ≥ bc
ถ้า a > b และ c เป็นจํานวนจริงบวก แล้ว ac > bc
ถ้า a ≥ b และ c เป็นจํานวนจริงบวก แล้ว ac ≥ bc
ถ้า a > b และ c เป็นจํานวนจริงลบ แล้ว ac < bc
ถ้า a ≥ b และ c เป็นจํานวนจริงลบ แล้ว ac ≤ bc

น้อง ๆ จะเห็นว่าการคูณด้วย จำนวนบวก อสมการจะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย แต่ถ้าคูณด้วย จำนวนลบ อสมการจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

และสำหรับ การหาคำตอบของอสมการที่มีเครื่องหมาย ≠ จะใช้การแก้สมการมาช่วยในการหาคำตอบ ทำให้ได้คำตอบของอสมการดังกล่าวเป็นจำนวนจริงทุกจำนวน ยกเว้นจำนวนที่เป็นคำตอบของสมการนั้น

ตัวอย่าง

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สำหรับการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวจะ สร้างอสมการแทนปัญหา แล้วแก้อสมการเพื่อหาคำตอบ เมื่อน้อง ๆ ได้คำตอบแล้วก็ต้องนำคำตอบที่ได้ไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย์ปัญหาว่ามีความสมเหตุสมผลหรือไม่ เนื่องจากคำตอบที่ได้แม้จะเป็นคำตอบของอสมการที่สร้างขึ้น แต่อาจไม่ใช่คำตอบของโจทย์ปัญหาครับ

ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

Step 1 วิเคราะห์โจทย์เพื่อหาว่าโจทย์ให้หาอะไรและมีเงื่อนไขอะไรบ้าง

Step 2 กําหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ให้หาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวของกับสิ่งที่โจทย์ให้หา

Step 3 สร้างอสมการตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด

Step 4 แก้อสมการหาคําตอบ

Step 5 นำคำตอบที่ได้ไปตรวจสอบกับเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดมาให้

ตัวอย่างข้อสอบอสมการเชิงเส้นเดียวแปรเดียว ม.3 พร้อมเฉลยละเอียด

โจทย์อสมการเชิงเส้นเดียวแปรเดียว ข้อที่ 1

โจทย์อสมการเชิงเส้นเดียวแปรเดียว ข้อที่ 2

โจทย์อสมการเชิงเส้นเดียวแปรเดียว ข้อที่ 3

ติวคณิตศาสตร์ ม.3 กับ “เดอะเบรน” พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบเข้า ม.4 โรงเรียนชั้นนำ

คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 1 รวมทุกบท

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

หลังจากที่ได้อ่านสรุปเนื้อหาและเรียนรู้วิธีแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่นำมาฝากกันวันนี้แล้ว หวังว่าน้อง ๆ จะมีความเข้าใจในบทเรียนนี้มากขึ้น และสามารถนำเทคนิคต่าง ๆ ไปใช้ทำข้อสอบได้จริงนะครับ แต่ถ้ารู้สึกว่ายังมีบางหัวข้อที่ไม่เข้าใจ หรืออยากเพิ่มความมั่นใจเวลาทำโจทย์ ที่ WE BY THE BRAIN มี คอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 1 ที่จะเป็นตัวช่วยปรับพื้นฐานให้น้อง ๆ พร้อมพาตะลุยทำโจทย์ และพิชิตเกรด 4 ให้เอง!