สรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 มัดรวมสูตรสำคัญ พร้อมแนวข้อสอบและเฉลยละเอียด

August 15, 2024

สวัสดีครับน้อง ๆ วันนี้ พี่ช้าง (อ.มนตรี นิรมิตศิริพงศ์) และ พี่ภูมิ (อ.สิทธิเดช เลนุกูล) แท็กทีมกันมาแจกสรุปเนื้อหาบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ขึ้นชื่อว่าหินที่สุดบทหนึ่ง นั่นคือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 ครับ

จากที่เราเคยเรียนเรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 กันไปแล้ว พอขึ้น ม.5 น้อง ๆ จะต้องเจอกับนิยามใหม่ ๆ และสูตรตรีโกณที่ต้องจำให้ได้ค่อนข้างเยอะ แต่ไม่ต้องกังวลครับ! เพราะบทความนี้พี่จะพาน้อง ๆ ไป เจาะลึกบทฟังก์ชันตรีโกณมิติ ครบทั้งเนื้อหาจุดสำคัญ สูตรที่ต้องรู้ และแนวข้อสอบหลากหลายสนาม มาลุยไปพร้อมกับพวกพี่ได้เลยครับ!

ตรีโกณมิติ คืออะไร?

ก่อนอื่นพี่ขอพาน้อง ๆ มาทบทวนความรู้กันสักหน่อยว่า ตรีโกณมิติ คืออะไร? คำว่า “ตรีโกณมิติ” มาจากคำภาษากรีกสองคำ นั่นคือ “trigonon” ที่แปลว่า มุม 3 มุม และคำว่า “metro” ที่แปลว่า การวัด ซึ่งตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างความยาวและมุมของรูปสามเหลี่ยมนั่นเองครับ

พื้นฐานเบื้องต้นเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนความยาวของ 2 ด้านใด ๆ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

หากพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$ ที่มีมุม $C$ เป็นมุมฉาก

ด้าน $AB$ เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ฉาก)
ด้าน $BC$ เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A (ข้าม)
ด้าน $AC$ เรียกว่า ด้านประชิดมุม A (ชิด)

ซึ่ง อัตราส่วนตรีโกณมิติที่น้อง ๆ ต้องรู้จักมีทั้งหมด 6 อัตราส่วน นั่นคือ

หากลองสังเกตอัตราส่วนตรีโกณมิติด้านบนนี้จะพบว่า มีอัตราส่วนหลัก 3 อัตราส่วนด้วยกัน นั่นคือ $\sin A$ , $\cos A$ และ $\tan A$ พี่แนะนำว่าตอนที่น้อง ๆ ท่องจำก็ให้ท่องแค่ 3 อัตราส่วนนี้ก็พอครับ

$\sin$ ท่องว่า ข้าม – ฉาก
$\cos$ ท่องว่า ชิด – ฉาก
$\tan$ ท่องว่า ข้าม – ชิด

และอีก 3 อัตราส่วนที่เหลือจะเป็น ส่วนกลับของ 3 อัตราส่วนแรก จึงได้ว่า

ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 0° , 30° , 45° , 60° และ 90°

พอน้อง ๆ รู้จักทั้งอัตราส่วนหลักและส่วนกลับของอัตราส่วนตรีโกณมิติแล้ว ต่อมาก็จะได้เรียนเรื่อง ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 0°, 30°, 45°, 60° และ 90° ตามตารางด้านล่างนี้เลยครับ

สำหรับน้อง ๆ ที่เรียนตรีโกณมิติ ม.ต้น หรือ ม.ปลาย แล้วมักเจอปัญหาเดิม ๆ ซ้ำ ๆ คือ “จำค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติไม่ได้!” ก็ต้องลองทำตามคลิปสอน เทคนิคการหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ ที่ใช้แค่สองมือของเราแบบไม่ต้องง้ออุปกรณ์ ก็ช่วยให้หาค่าตรีโกณมิติได้ภายใน 3 วินาทีเท่านั้น!!

ตัวอย่าง

กำหนดให้ $0^\circ < A < 90^\circ$

ถ้า $\sin A \: = \: 0.5$ แล้ว $2\sec A \tan A$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ

เนื่องจาก $0^\circ < A < 90^\circ$ และจาก $\sin A \: = \: 0.5 \: = \: \frac{1}{2}$ จะได้ $A = 30^\circ$

$\therefore 2\sec A \tan A \: = \: 2\sec 30^\circ \tan 30^\circ \: = \: 2\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \: = \: \frac{4}{3}$

โคฟังก์ชัน (Co-function)

หัวข้อต่อไปที่น้อง ๆ จะได้เรียนกันในบทตรีโกณมิติ ม.5 ก็คือ โคฟังก์ชัน (Co-function) ครับ เดี๋ยวพี่จะอธิบายให้ฟังแบบเข้าใจง่าย ๆ ว่า “โคฟังก์ชัน” คืออะไร?

ถ้า $A + B \: = \: 90^\circ$ จะได้ว่า

$\sin A \: = \: \cos B \: = \: \cos(90^\circ - A)$

$\tan A \: = \: \cot B \: = \: \cot(90^\circ - A)$

$\sec A \: = \: \csc B \: = \: \csc(90^\circ - A)$

โคฟังก์ชัน คือ การเท่ากันของค่าฟังก์ชันตรีโกณ โดยมีเงื่อนไขว่า มุมรวมกันได้ 90 องศา

แล้ว $\sin$ เท่ากับ $cosine (\cos)$

$\tan$ เท่ากับ $cotan (\cot)$

$\sec$ เท่ากับ $cosec (\csc)$

ตัวอย่างเช่น

$\sin 60^\circ \: = \: \cos 30^\circ$

$\cot 10^\circ \: = \: \tan 80^\circ$

$\csc 25^\circ \: = \: \sec 65^\circ$

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

นอกจากจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับโคฟังก์ชันแล้ว น้อง ๆ ยังต้องรู้จัก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ ด้วยครับ ซึ่ง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ การเท่ากันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต่างกัน และเป็นจริงสำหรับทุก ๆ ค่าของขนาดของมุม

สูตรเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

มุมและหน่วยในการวัดมุม

ในบทฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 น้อง ๆ จะได้เรียนเรื่อง มุมและหน่วยในการวัดมุม ที่ขยายความรู้เพิ่มมากขึ้นกว่าที่ได้เรียนมาตอน ม.ต้น ซึ่งหน่วยในการวัดมุมที่สำคัญ ๆ ได้แก่

หน่วยองศา (°)

กำหนดให้มุมที่เกิดจากการหมุนส่วนของเส้นตรงไปครบรอบหนหนึ่งมีขนาด 360 องศา และแบ่งหน่วยองศาออกเป็นหน่วยย่อย คือ ลิปดา (′ ) และ ฟิลิปดา (′′)

โดยที่ $1^\circ = 60^\prime$ และ $1^\prime = 60^{\prime\prime}$

หน่วยเรเดียน (R)

สำหรับมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมียาว $r$ หน่วย

ซึ่งรองรับส่วนโค้งที่ยาว $a$ หน่วย จะมีขนาดเท่ากับ $\frac{a}{r}$ เรเดียน

และถ้าให้ขนาดของมุมดังกล่าวเป็น $\theta$ เรเดียน จะได้ว่า

เนื่องจากวงกลมที่มีรัศมียาว $r$ หน่วย จะมีเส้นรอบวงยาว $2{\pi}{r}$ หน่วย

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่รองรับส่วนโค้งที่ยาว $2{\pi}{r}$ หน่วย จึงมีขนาดเท่ากับ $\frac{2{\pi}{r}}{r} = 2{\pi}$ เรเดียน

และจะเห็นว่า มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งรองรับส่วนโค้งที่ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมนั้นเป็นมุมที่มีขนาด 1 เรเดียน นั่นเอง

ความสัมพันธ์ของมุมในหน่วยองศาและหน่วยเรเดียน

เนื่องจากมุมที่จุดศูนย์กลางวงกลม ซึ่งรองรับส่วนโค้งที่ยาว $2{\pi}{r}$ หน่วย เกิดจากการหมุนรัศมีของวงกลมไปครบหนึ่งรอบ ดังนั้น

$2\pi$ เรเดียน $\: = \: 360^\circ$

$\pi$ เรเดียน $\: = \: 180^\circ$

ตัวอย่าง

มุมที่มีขนาด 75 องศา มีขนาดกี่เรเดียน

วิธีทำ

เนื่องจาก 180 องศา เท่ากับ $\pi$ เรเดียน

ดังนั้น 75 องศา เท่ากับ $\frac{75}{180}\pi$ เรเดียน $\: = \: \frac{5\pi}{12}$ เรเดียน

ตัวอย่าง

มุมที่มีขนาด 2 เรเดียน มีขนาดกี่องศา

วิธีทำ

เนื่องจาก $\pi$ เรเดียน เท่ากับ 180 องศา

ดังนั้น 2 เรเดียน เท่ากับ $2(\frac{180}{\pi})$ องศา $\: = \: \frac{360}{\pi}$ องศา

วงกลมหนึ่งหน่วย

การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทำได้โดยใช้วงกลมรัศมียาว 1 หน่วย ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมนี้เป็นกราฟของความสัมพันธ์

$\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid x^2 + y^2 = 1\}$

การวัดความยาวส่วนโค้งและการวัดมุมในวงกลมหนึ่งหน่วย

เมื่อเราทำการวัดความยาวส่วนโค้ง โดยเริ่มวัดจากจุด (1, 0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยให้ยาว $\theta$ หน่วย จะถึงจุด $(x, y)$ (มี $(x, y)$ เป็นจุดปลาย) ซึ่งอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมีข้อตกลงสำหรับทิศทางการวัดและเครื่องหมายดังนี้

ถ้าวัดความยาวส่วนโค้งไปใน “ทิศทวนเข็มนาฬิกา” เครื่องหมายของส่วนโค้งจะเป็น “บวก”

ถ้าวัดความยาวส่วนโค้งไปใน “ทิศตามเข็มนาฬิกา” เครื่องหมายของส่วนโค้งจะเป็น “ลบ”

สำหรับการวัดมุมในวงกลมหนึ่งหน่วยก็เช่นเดียวกันครับ

ถ้าวัดมุมไปใน “ทิศทวนเข็มนาฬิกา” เครื่องหมายของมุมจะเป็น “บวก”

ถ้าวัดมุมไปใน “ทิศตามเข็มนาฬิกา” เครื่องหมายของมุมจะเป็น “ลบ”

นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติบนวงกลมหนึ่งหน่วย

เมื่อ $(x, y)$ เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว $\theta$ ที่วัดจากจุด $(1, 0)$

ฟังก์ชันไซน์ (sine function) $= \: \{(\theta, y) \mid y \: = \: \sin\theta\}$
ฟังก์ชันโคไซน์ (cosine function) $= \: \{(\theta, x) \mid x \: = \: \cos\theta\}$

จะเห็นว่า $-1 \le y \le 1$ และ $-1 \le x \le 1$ ดังนั้น ค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์เป็นจำนวนจริงตั้งแต่ -1 ถึง 1 นั่นก็คือ เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริงตั้งแต่ -1 ถึง 1 และโดเมนของฟังก์ชันทั้งสอง คือ เซตของจำนวนจริง

จากวงกลมหนึ่งหน่วยจะเห็นว่า สำหรับ $\theta$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม

จะได้ $\sin \theta \: = \: \sin(\theta - 2n\pi)$

$\cos \theta \: = \: \cos(\theta - 2n\pi)$

การหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจำนวนจริงตั้งแต่ $0$ ถึง $2\pi$ มีข้อสรุปดังนี้

ให้ $\theta$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$

$\sin(\pi - \theta) \: = \: \sin \theta$

$\cos(\pi - \theta) \: = \: -\cos \theta$

$\sin(\pi + \theta) \: = \: -\sin \theta$

$\cos(\pi + \theta) \: = \: -\cos \theta$

$\sin(2\pi - \theta) \: = \: -\sin \theta$

$\cos(2\pi - \theta) \: = \: \cos \theta$

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function) นั่นคือเมื่อเรานำมาสร้างกราฟแล้วจะสามารถแบ่งแกน X ออกเป็น ช่วงย่อย ๆ (subinterval) โดยลักษณะกราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน และความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดที่มีสมบัติดังกล่าว เราจะเรียกว่า คาบ (period) ยกตัวอย่างเช่น

• กราฟของ y = sin x

• กราฟของ y = cos x

รูปกราฟจะวนกลับมาซ้ำเดิมทุก ๆ ความยาวบนแกน X เท่ากับ $2\pi$

ดังนั้นกราฟทั้งสองจึงมีคาบเท่ากับ $2\pi$

สำหรับฟังก์ชันคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด จะเรียกค่าที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอมพลิจูด (amplitude)

ดังนั้น ฟังก์ชัน $y \: = \: \sin x$ และ $y \: = \: \cos x$ มีแอมพลิจูดเท่ากับ 1

• กราฟของ y = tan x

ฟังก์ชันแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ และมีคาบเท่ากับ $\pi$

• กราฟของ y = cot x

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ และมีคาบเท่ากับ $\pi$

• กราฟของ y = cosec x

ฟังก์ชันโคเซแคนต์เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ และมีคาบเท่ากับ $2\pi$

• กราฟของ y = sec x

ฟังก์ชันเซแคนต์เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ และมีคาบเท่ากับ $2\pi$

สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องรู้!

ตามที่พี่ได้บอกไปแล้วว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 เป็นบทปราบเซียนของน้อง ม.ปลาย หลายคน เพราะมีสูตรให้จำเยอะมาก!! พี่เลย สรุปสูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต้องรู้ พร้อมตัวอย่างโจทย์ มาเป็นตัวช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจมากขึ้นครับ

สูตรมุมประกอบ

$\sin(A + B) \: = \: \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin(A - B) \: = \: \sin A \cos B - \cos A \sin B$

$\cos(A + B) \: = \: \cos A \cos B - \sin A \sin B$

$\cos(A - B) \: = \: \cos A \cos B + \sin A \sin B$

$\tan(A + B) \: = \: \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

$\tan(A - B) \: = \: \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

$\cot(A + B) \: = \: \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot B + \cot A}$

$\cot(A - B) \: = \: \frac{\cot A \cot B + 1}{\cot B - \cot A}$

ตัวอย่าง

จงหาค่าของ $sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$

วิธีทำ

$\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$

$= \: \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} \sin \frac{5\pi}{12}$

$= \: \sin\left( \frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} \right) \: = \: \sin\left( \frac{-4\pi}{12} \right) \: = \: \sin\left( -\frac{\pi}{3} \right)$

$= \: -\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \: = \: -\frac{\sqrt{3}}{2}$

สูตรมุมสองเท่า

$\sin 2A \: = \: 2\sin A \cos A$

$= \: \frac{2\tan A}{1+\tan^2 A}$

$\cos 2A \: = \: \cos^2 A - \sin^2 A$

$= \: 2\cos^2 A - 1$

$= \: 1 - 2\sin^2 A$

$= \: \frac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A}$

$\tan 2A \: = \: \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}$

$\cot 2A \: = \: \frac{\cot^2 A - 1}{2\cot A}$

ตัวอย่าง

จงหาค่าของ $\cos 75^\circ \sin 525^\circ$

วิธีทำ

$\cos 75^\circ \sin 525^\circ \: = \: \cos 75^\circ \sin (360^\circ + 165^\circ)$

$= \: \cos 75^\circ \sin 165^\circ \: = \: \cos 75^\circ \sin (180^\circ - 15^\circ)$

$= \: \sin 15^\circ \sin 15^\circ$

$= \: \sin^2 15^\circ \: = \: \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} \: = \: \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

สูตรมุมสามเท่า

$\sin 3A \: = \: 3 \sin A - 4 \sin^3 A$

$\cos 3A \: = \: 4 \cos^3 A - 3 \cos A$

$\tan 3A \: = \: \frac{3 \tan A - \tan^3 A}{1 - 3 \tan^2 A}$

$\cot 3A \: = \: \frac{3 \cot A - \cot^3 A}{1 - 3 \cot^2 A}$

สูตรผลบวก ผลต่าง และผลคูณ

$\sin A + \sin B \: = \: 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A - B}{2} \right)$

$\sin A - \sin B \: = \: 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A - B}{2} \right)$

$\cos A + \cos B \: = \: 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A - B}{2} \right)$

$\cos A - \cos B \: = \: -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A - B}{2} \right)$

ตัวอย่าง

จงหาค่าของ $\cos 75^\circ \sin 525^\circ$

วิธีทำ

$\sin 75^\circ + \cos 75^\circ$

$= \: \sin 75^\circ + \sin 15^\circ$

$= \: 2 \sin\left( \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \right) \cos\left( \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} \right)$

$= \: 2 \sin(45^\circ) \cos(30^\circ)$

$= \: 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \: = \: \frac{\sqrt{6}}{2}$

น้อง ๆ คนไหนอยากทบทวนสูตรตรีโกณมิติ และเรียนรู้เทคนิคแก้โจทย์จาก “พี่ช้าง – เดอะเบรน” คลิกดูคลิปด้านล่างนี้เลย!

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน 1−1 ดังนั้น ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติจึงไม่เป็นฟังก์ชัน แต่ถ้าน้อง ๆ กำหนดโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เหมาะสมจะพบว่า ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเป็นฟังก์ชันครับ

ฟังก์ชัน $arcsine(\sin^{-1})$ คือ เซตของคู่อันดับ $(x, y)$

โดยที่ $x \: = \: \sin y$ และ $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

ฟังก์ชัน $arccosine (cos^{-1})$ คือ เซตของคู่อันดับ $(x, y)$

โดยที่ $x \: = \: \cos y$ และ $0 \le y \le \pi$

ฟังก์ชัน $arctangent (\tan^{-1})$ คือ เซตของคู่อันดับ $(x, y)$

โดยที่ $x \: = \: \tan y$ และ $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

จงหาค่าของ $\sin\left(2\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

วิธีทำ

เนื่องจาก $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \: = \: 30^\circ$

$\sin\left(2\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) \: = \: \sin(2(30^\circ)) \: = \: \sin 60^\circ \: = \: \frac{\sqrt{3}}{2}$

ตัวอย่าง

จงหาค่าของ $\arctan\left(\tan \frac{5\pi}{3}\right)$

วิธีทำ

$\arctan\left(\tan \frac{5\pi}{3}\right)$

$= \: \arctan\left(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \: = \: -\frac{\pi}{3}$

การแก้สมการตรีโกณ

การแก้สมการตรีโกณมิติสามารถทำได้ในทำนองเดียวกันกับการแก้สมการทั่วไปครับ โดยน้อง ๆ ต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อหาคำตอบของสมการ เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน 1−1 ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงหรือมุมใด ๆ อาจจะซ้ำกันได้

ดังนั้น ในการหาคำตอบของสมการ ถ้าโจทย์ไม่ได้กำหนดให้คำตอบอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งแล้ว คำตอบควรอยู่ในรูปค่าทั่วไป ครับ

ตัวอย่าง

จงหาคำตอบของ $2\cos^2 \theta - \sqrt{3}\cos \theta \: = \: 0$ เมื่อ $0 \leq \theta < 2\pi$

วิธีทำ

จาก $2\cos^2 \theta - \sqrt{3}\cos \theta \: = \: 0$

จะได้ $\cos \theta (2\cos \theta - \sqrt{3}) \: = \: 0$

นั่นคือ $\cos \theta \: = \: 0$ หรือ $\cos \theta \: = \: \frac{\sqrt{3}}{2}$

ค่าของ $\theta$ ในช่วง $[0 \: , \: 2\pi)$ ที่ทำให้ $\cos \theta \: = \: 0$ คือ $\frac{\pi}{2}$ และ $\frac{3\pi}{2}$

ค่าของ $\theta$ ในช่วง $[0 \: , \: 2\pi)$ ที่ทำให้ $\cos \theta \: = \: \frac{\sqrt{3}}{2}$ คือ $\frac{\pi}{6}$ และ $\frac{11\pi}{6}$

ดังนั้น ค่าของ $\theta$ ในช่วง $[0, 2\pi)$ ที่ทำให้สมการเป็นจริง คือ $\frac{\pi}{6} \: , \: \frac{\pi}{2} \: , \: \frac{3\pi}{2} \: , \: \frac{11\pi}{6}$

การแก้สามเหลี่ยม ระยะทางและความสูง

อีกหนึ่งหัวข้อของบทตรีโกณมิติ ม.5 ที่น้อง ๆ จะได้เรียนกันก็คือ การนำความรู้เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติมาประยุกต์ใช้ในการแก้สามเหลี่ยม รวมถึงการหาระยะทางและความสูง ด้วยครับ

กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มีด้านตรงข้ามมุม $A \: , \: B$ และ $C$ ยาว $a \: , \: b$ และ $c$ ตามลำดับจะได้

กฎของไซน์

$\frac{a}{\sin A} \: = \: \frac{b}{\sin B} \: = \: \frac{c}{\sin C}$

กฎของโคไซน์

$a^2 \: = \: b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$b^2 \: = \: c^2 + a^2 - 2ca \cos B$

$c^2 \: = \: a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

กฎของโปรเจกชัน และพื้นที่สามเหลี่ยม ABC

$a \: = \: b \cos C + c \cos B$

$b \: = \: c \cosA + a \cos C$

$c \: = \: a \cos B + b \cos A$

การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ (มุมก้ม / มุมเงย)

“มุมก้ม” และ “มุมเงย” เป็นมุมที่เกิดจากแนวเส้นระดับสายตาและแนวเส้นจากตาไปยังวัตถุ ถ้าวัตถุอยู่ ต่ำกว่า แนวเส้นระดับสายตา มุมที่ได้เรียกว่า มุมก้ม แต่ถ้าวัตถุอยู่ สูงกว่า แนวเส้นระดับสายตา มุมที่ได้เรียกว่า มุมเงย โดยขนาดของมุมก้มและมุมเงยจะเป็นจำนวนจริงบวกเสมอครับ

แนวข้อสอบฟังก์ชันตรีโกณมิติ พร้อมเฉลยละเอียด

เอาล่ะ! หลังจากที่น้อง ๆ อ่านสรุปเนื้อหาฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 จบแล้ว คราวนี้เรามาดูโจทย์ตรีโกณกันบ้างดีกว่าว่า แนวข้อสอบของแต่ละสนามสอบเป็นยังไง ระดับความยาก – ง่ายประมาณไหน โดยพี่รวบรวม ข้อสอบคณิตศาสตร์ บทฟังก์ชันตรีโกณมิติ มาให้หลายแนว ทั้งข้อสอบในโรงเรียน ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ และข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้วิธีแก้โจทย์แต่ละแบบครับ

โจทย์ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ข้อที่ 1 - ข้อสอบ Midterm / Final

โจทย์ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ข้อที่ 2 - ข้อสอบ A-Level คณิต 1

โจทย์ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ข้อที่ 3 - ข้อสอบ PAT1

โจทย์ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ข้อที่ 4 - ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์

ติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ “เดอะเบรน” พร้อมพิชิตเกรด 4 และสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม B รวมทุกบท

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ A-Level

จบไปแล้วนะครับ กับ สรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 ที่พี่อัดแน่นความรู้ให้น้อง ๆ แบบไม่มีกั๊ก ทั้งสรุปเนื้อหา สูตร จุดสำคัญ แถมยังนำแนวข้อสอบหลากหลายสนามมาฝากกันอีกด้วย

แต่สำหรับใครที่เรียนตรีโกณมิติ ม.ปลาย แล้วยังไม่ค่อยเข้าใจเนื้อหา หรืออยากฝึกทำโจทย์และเรียนรู้เทคนิคดี ๆ เพื่อเพิ่มความมั่นใจก่อนสอบ แนะนำให้สมัคร คอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.5 ที่ WE BY THE BRAIN ได้เลยครับ

สมัครคอร์สนี้ดีอย่างไร?

✓ พี่ ๆ ติวเตอร์จะปูพื้นฐานให้อย่างละเอียด ด้วยเนื้อหาที่กระชับเข้าใจง่าย

✓ พาฝึกทำโจทย์อย่างเข้มข้นเป็นขั้นตอน ไล่ระดับตั้งแต่ง่าย-ปานกลาง-ยาก ที่เป็นข้อสอบแข่งขันจากสนามสอบต่าง ๆ ทั้งในและต่างประเทศ

✓ สอนทำข้อสอบอัตนัยแบบแสดงวิธีทำเป็นขั้นตอน พร้อมเสริมเทคนิคลัดจากพี่ ๆ ติวเตอร์ ที่ช่วยให้ทำข้อสอบปรนัยได้รวดเร็วยิ่งขึ้น

✓ คอร์สนี้เหมาะสำหรับน้อง ๆ ที่ต้องการพิชิตเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ และเป็นพื้นฐานสำคัญในการเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยในระบบ TCAS

รีวิวน้อง ๆ DEK WE คว้าเกรด 4 คณิตศาสตร์ ม.ต้น - ม.ปลาย

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องนุกนิก - น้องอัส คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องพราว - น้องออม คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเชอร์รี่ - น้องแจน คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องสมาร์ท - น้องเจแปน คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องไปเปอร์ - น้องอิ๊น คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องปลื้ม - น้องแอมเบอร์ คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเดียว - น้องนกยูง คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องซีน - น้องบิว คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องชมพู่ - น้องก้อย คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องกีต้าร์ - น้องคอตต้อน คณิตศาสตร์ เกรด 4

น้อง ๆ ที่สนใจสมัครติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ “เดอะเบรน” สามารถ กดปุ่ม Add Line ด้านล่างเพื่อรับคำปรึกษาและวางแผนการเรียนกับ “พี่วีวี่” ได้เลย ❤︎

คำถามที่พบบ่อย (FAQ) เกี่ยวกับ
“ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5”

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์บทไหนบ้าง?

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นบทที่ ต่อยอดมาจากอัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.ต้น โดยเป็นการมองแบบฟังก์ชัน ดังนั้นน้อง ๆ จะต้องมีพื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันมาในระดับหนึ่งครับ

และบทฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 ยังต่อยอดไปยังคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทอื่น ๆ นั่นคือ เวกเตอร์ และ จำนวนเชิงซ้อน ถ้าน้องเรียนบทนี้เข้าใจอย่างถ่องแท้ อีก 2 บทที่เหลือก็จะเป็นเรื่องง่ายในทันที

เรียนตรีโกณมิติ ม.5 อย่างไรให้เข้าใจง่าย?

ความยากของบทฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 จะอยู่ที่สูตรและนิยามใหม่ ๆ ที่น้องจะได้เรียนรู้กัน ซึ่งวิธีการที่จะทำให้เรียนบทนี้อย่างเข้าใจและไม่เกลียดมัน อย่างแรกเลยคือ การทำความเข้าใจนิยามก่อน ถ้าอ่านเองแล้วไม่สามารถเข้าใจได้ก็ต้องหาตัวช่วยครับ จะเป็นคุณครู เพื่อน ๆ หรือพี่ ๆ ติวเตอร์ ให้เขาช่วยอธิบายให้เราเข้าใจ (บทนี้นิยามของเขาไม่ได้เข้าใจยากจริง ๆ นะ 🤞)

หลังจากนั้น ค่อย ๆ ทำโจทย์ เก็บจากง่าย ๆ เพื่อให้เราใช้สูตรเป็น แล้วค่อยขยับไปทำโจทย์ยาก ๆ เพื่อให้รู้จักประยุกต์สูตรและใช้สูตรแบบผสม ก็จะช่วยให้เราสนุกกับการเรียนฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเรียนบทนี้เข้าใจง่ายขึ้น

ข้อสอบฟังก์ชันตรีโกณมิติ ชอบออกแนวไหน?

โจทย์ฟังก์ชันตรีโกณมิติจะ ออกครอบคลุมทุกหัวข้อที่ได้เรียนไป แต่สิ่งที่น้อง ๆ ต้องระวัง คือ เรื่องเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และขอบเขตของการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติครับ