สมัครเรียนออนไลน์

สมัครเรียนออนไลน์

สรุปเวกเตอร์ ม.5 | สูตรสำคัญ & ตัวอย่างโจทย์ TCAS พร้อมเฉลยละเอียด

November 22, 2024

เวกเตอร์ ม.5 ถือเป็นบทขนาดกลางและมีความยากระดับปานกลางใน คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ซึ่งที่ผ่านมาข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ จะออกบทนี้ทุกปี ปีละ 2 ข้อครับ

เนื้อหาบทเวกเตอร์นี้ จะพูดถึงทั้งเวกเตอร์ 2 มิติ และเวกเตอร์ 3 มิติ โดยหัวข้อหลัก ๆ ที่น้องต้องทำความเข้าใจ “พี่เอ๋ – เดอะเบรน” สรุปมาให้เป็น 3 หัวข้อดังนี้

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ เช่น นิยามต่าง ๆ, การบวกลบเวกเตอร์, การเท่ากันของเวกเตอร์, การสร้างเวกเตอร์, เวกเตอร์ 1 หน่วย, การขนานกันและตั้งฉากกันของเวกเตอร์ เป็นต้น
ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Scalar product or Dot product)
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross product) และการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม ตลอดจนปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พูดง่าย ๆ ว่า ถ้าบทนี้น้อง ๆ เข้าใจนิยามและความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์, Dot เวกเตอร์ได้ และ Cross เวกเตอร์เป็น น้องก็จะเก็บคะแนนบทนี้ได้ไม่ยากเลย

วันนี้พี่เอ๋มี สรุปเนื้อหาเวกเตอร์ ม.5 มาแจกให้น้อง ๆ ได้อ่านทวนก่อนสอบ โดยสรุปให้ครบถ้วนทั้งหัวข้อและสูตรสำคัญ พร้อมตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยและเฉลยละเอียด ตามมาดูกันเลยครับ 😁

ดูคลิปติวฟรี : สรุปเรื่องเวกเตอร์ ม.5 By พี่เอ๋

ความรู้พื้นฐานที่ควรรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์

เริ่มต้นบทเวกเตอร์ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 น้อง ๆ จะได้เรียนเรื่อง ความรู้พื้นฐานที่ควรทราบเกี่ยวกับเวกเตอร์ ครับ

ปริมาณเวกเตอร์ (vector quantity)

ปริมาณเวกเตอร์ คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เมื่อต้องกล่าวถึงปริมาณเวกเตอร์จะต้องระบุทั้งขนาดและทิศทางจึงจะได้ความหมายที่ชัดเจน เช่น แรง, การกระจัด, น้ำหนัก, ความเร็ว, ความเร่ง เป็นต้น

ปริมาณเวกเตอร์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เวกเตอร์ จะแทนด้วย ส่วนของเส้นตรงที่มีหัวลูกศร (directed segment) โดย ความยาว ของส่วนของเส้นตรงบอกถึง ขนาดของเวกเตอร์ และ หัวลูกศร บอกถึง ทิศทางของเวกเตอร์

จากรูปจะแสดงเวกเตอร์จาก $A$ ไป $B$ อ่านว่า เวกเตอร์ เอบี เขียนแทนด้วย $\overrightarrow{AB} \: , \; \overset{\rightharpoonup}{AB} \: , \; \overline{AB}$ หรืออาจใช้สัญลักษณ์อื่นแทน เช่น $\overline{u}$

โดยเรียก $A$ ว่า จุดเริ่มต้น (initial point) ของเวกเตอร์
และเรียก $B$ ว่า จุดสิ้นสุด (terminal point) ของเวกเตอร์

ขนาดของเวกเตอร์

ขนาดเวกเตอร์ คือ ความยาวของเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย $\left|\overline{AB}\right|$ หรือ $\left|\overline{u}\right|$

เวกเตอร์ศูนย์

เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย $\overline{0}$ หรือ $\overset{\rightharpoonup}{0}$ (จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดเดียวกัน)

** โดยทั่วไปจะไม่กล่าวถึง ทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ นะครับ**

เวกเตอร์ที่ขนานกัน

$\overline{u}$ และ $\overline{v}$ ที่เป็นเวกเตอร์ขนานกัน จะแบ่งได้ 2 กรณี คือ

1) เวกเตอร์ทั้งสองมีทิศเดียวกัน

2) เวกเตอร์ทั้งสองมีทิศตรงข้าม

$\overline{u}$ ขนานกับ $\overline{v}$ เขียนแทนด้วย $\overline{u} \: // \: \overline{v}$

เวกเตอร์ที่เท่ากัน

$\overline{u}$ เท่ากับ $\overline{v}$ ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน ดังรูป

จากรูป $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ มีทิศเดียวกันและ $\left| \overline{u}\right| \: = \: \left|\overline{v}\right|$ เขียนแทนด้วย $\overline{u} \: = \: \overline{v}$

❤︎ ขนาดเท่ากัน ทิศเดียวกัน

นิเสธของเวกเตอร์

นิเสธของ $\overline{u}$ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับขนาดของ $\overline{u}$ แต่มีทิศทางตรงข้ามกับทิศทางของ $\overline{u}$ เขียนแทนด้วย $-\overline{u}$ ดังรูป

จากรูป นิเสธของ $\overline{u}$ คือ $-\overline{u} \; ,$ นิเสธของ $\overline{AB} \: = \: -\overline{AB} \: = \: \overline{BA}$

❤︎ ขนาดเท่า ทิศตรงข้าม

การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ $a$ เป็นสเกลาร์ และ $\overline{u}$ เป็นเวกเตอร์ ผลคูณของเวกเตอร์ $\overline{u}$ กับสเกลาร์ $a$ เขียนแทนด้วย $a\overline{u}$ โดยที่

ถ้า $a \: = \: 0$ แล้ว $a\overline{u} \: = \: \overline{0}$
ถ้า $a > 0$ แล้ว $a\overline{u}$ จะมีขนาดเท่ากับ $\left|a\right| \left|\overline{u}\right|$ และมีทิศเดียวกับ $\overline{u}$
ถ้า $a < 0$ แล้ว $a\overline{u}$ จะมีขนาดเท่ากับ $\left|a\right| \left|\overline{u}\right|$ แต่มีทิศตรงข้ามกับ $\overline{u}$

สมบัติการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ให้ $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง (สเกลาร์)

$a\overline{u}$ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ (สมบัติปิด)
$a(b\overline{u}) \: = \: (ab)\overline{u}$ (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม)
$(a+b)\overline{u} \: = \: a\overline{u} + b\overline{u}$ (สมบัติการแจกแจง)
$a(\overline{u} + \overline{v}) \: = \: a\overline{u} + a\overline{v}$
$1\overline{u} \: = \: \overline{u}$ และ $0\overline{u} \: = \: \overline{u}0 \: = \: \overline{0}$

การบวกเวกเตอร์

หัวข้อต่อมาในคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทเวกเตอร์ น้อง ๆ จะได้เรียนเรื่อง การบวกเวกเตอร์ ครับ ไม่ว่าจะเป็นการบวกเวกเตอร์แบบต่าง ๆ รวมถึงสมบัติการบวกเวกเตอร์ที่น้อง ๆ ต้องรู้

การบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหัว

ให้ยึดหลัก “หางต่อหัว ลากเส้นปิด ทิศลัพธ์อยู่ที่หัว”

❤︎ ข้อสังเกต

จะเห็นว่า $\overline{u} + \overline{v} \: = \: \overline{v} + \overline{u}$

แสดงว่า การบวกกันของเวกเตอร์สามารถสลับที่ได้

การบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหาง

ให้ยึดหลัก “หางต่อหาง สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน เวกเตอร์ลัพธ์ทแยงมุมผ่ากลาง”

สมบัติการบวกเวกเตอร์

ให้ $\overline{u} \: , \; \overline{v}$ และ $\overline{w}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระนาบ

$\overline{u} + \overline{v}$ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ (สมบัติปิด)
$\overline{u} + \overline{v} \: = \: \overline{v} + \overline{u}$ (สมบัติการสลับที่)
$\overline{u} + \left( \overline{v} + \overline{w} \right) \: = \: \left( \overline{u} + \overline{v} \right) + \overline{w}$ (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้)
$\overline{0} + \overline{u} \: = \: \overline{u} + \overline{0} \: = \: \overline{u}$ (สมบัติการมีเอกลักษณ์)
$\overline{u} + \left( -\overline{u} \right) \: = \: \left( -\overline{u} \right) + \overline{u} \: = \: \overline{0}$ (สมบัติการมีอินเวอร์ส)
ถ้า $\overline{u} \: = \: \overline{v}$ แล้ว $\overline{w} + \overline{u} \: = \: \overline{w} + \overline{v}$ (สมบัติการบวกด้วยเวกเตอร์ที่เท่ากัน)

การลบเวกเตอร์

พอเรียนเรื่องการบวกเวกเตอร์แล้ว หัวข้อต่อมาที่น้อง ๆ จะได้เจอในบทนี้ก็คือ การลบเวกเตอร์ แบบต่าง ๆ ครับ

การลบเวกเตอร์แบบกลับทิศตัวติดลบ

ให้ยึดหลัก “การลบเวกเตอร์ คือ การบวกเวกเตอร์ แต่กลับทิศตัวติดลบ”

การลบเวกเตอร์แบบหางต่อหาง

ให้ยึดหลัก “หางต่อหาง ลากเส้นปิด ทิศลัพธ์อยู่ที่ตัวตั้ง”

Concept สำคัญที่ต้องรู้ในเรื่องเวกเตอร์

สำหรับ $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ ที่ต่างไม่เท่ากับ $\overline{0} \: , \; \overline{u} \: // \: \overline{v}$ ก็ต่อเมื่อ

มีจำนวนจริง $a$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ที่ทำให้ $\overline{u} \: = \: a\overline{v}$

โดย $a > 0$ เมื่อ $\overline{u}$ มีทิศเดียวกับ $\overline{v}$

$a < 0$ เมื่อ $\overline{u}$ มีทิศตรงข้าม $\overline{v}$

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยใน 2 มิติ และ 3 มิติ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย เมื่อต้องการหาเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย และมีทิศเดียวกันกับ $\overline{u}$

จะสามารถหาได้จาก เวกเตอร์หนึ่งหน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u} \: = \: \hat{u} \: = \: \frac{\overline{u}}{\lvert \overline{u} \rvert}$

และเมื่อต้องการหาเวกเตอร์ที่ขนานกับเวกเตอร์ $\overline{u}$ และมีขนาดตามที่ต้องการ

เช่น เวกเตอร์ที่มีขนาด 3 หน่วย มีทิศเดียวกันกับ $\overline{u}$

จะได้ว่า เวกเตอร์ดังกล่าว คือ $3\frac{\overline{u}}{\lvert \overline{u} \rvert}$

หากต้องการเวกเตอร์ที่มีขนาด 5 หน่วย มีทิศตรงกันข้ามกับ $\overline{u}$

จะได้ว่า เวกเตอร์ดังกล่าว คือ $-5\frac{\overline{u}}{\lvert \overline{u} \rvert}$

แสดงว่า

เวกเตอร์ 2 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $2\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

เวกเตอร์ 3 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $3\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

$\vdots\\{}$

เวกเตอร์ $a$ หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $a\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

เวกเตอร์ 1 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $-\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

เวกเตอร์ 2 หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $-2\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

$\vdots\\{}$

เวกเตอร์ $a$ หน่วยทิศเดียวกับ $\overline{u}$ คือ $-a\frac{\overline{u}}{|\overline{u}|}$

เวกเตอร์ 1 หน่วยตามแนวแกน x, y และ z

$\overline{i}$ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วย ชี้ไปตามแกน $+ \: x$

$\overline{j}$ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วย ชี้ไปตามแกน $+ \: y$

$\overline{k}$ คือ เวกเตอร์ 1 หน่วย ชี้ไปตามแกน $+ \: z$

การสร้างเวกเตอร์เมื่อทราบพิกัดจุดปลายและจุดตั้งต้นของเวกเตอร์

ในการสร้างเวกเตอร์ เมื่อทราบพิกัดจุดปลายและจุดตั้งต้น ไม่ว่า 2 มิติ หรือ 3 มิติ จะใช้หลัก ปลาย – ตั้งต้น

❤︎ สำหรับเวกเตอร์ใน 2 มิติ

$\overline{u} \: // \: \overline{v}$ เมื่อ $m_{\overline{u}} \: = \: m_{\overline{v}}$ (ขนานกัน ความชันเท่า)

$\overline{u} \: \perp \: \overline{v}$ เมื่อ $m_{\overline{u}} \: \cdot \: m_{\overline{v}} \: = \: -1$ (ตั้งฉากกัน ผลคูณความชันเป็น $-1$ )

สมบัติการเท่ากันของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ และเวกเตอร์ศูนย์

เวกเตอร์ใน 2 มิติ

เวกเตอร์ใน 3 มิติ

สมบัติเพิ่มเติมเกี่ยวกับการบวก, ลบเวกเตอร์ใน 2 มิติ และ 3 มิติ

ให้ $\overline{u} \: , \; \overline{v}$ และ $\overline{w}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ใน 2 มิติ หรือ 3 มิติ โดย $\alpha \: , \; \beta$ เป็นจำนวนจริง

$\alpha \left( \overline{u} \pm \overline{v}) \: = \: \alpha \overline{u} \pm \alpha \overline{v}$
$\left( \alpha \pm \beta \right) \overline{u} \: = \: \alpha \overline{u} \pm \beta \overline{u}$
${\lvert \overline{u} + \overline{v} \rvert} \leq {\lvert \overline{u} \rvert} + {\lvert \overline{v} \rvert}$

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product หรือ dot product)

เมื่อ $\overline{u} \cdot \overline{v}$ คือ ผลคูณเชิงสเกลาร์ $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ (ผลลัพธ์ที่ได้เป็นสเกลาร์) จะสามารถหาได้ 2 วิธี คือ

วิธีที่ 1

วิธีที่ 2

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

สมบัติเกี่ยวกับการ dot vector ใน 2 มิติ และ 3 มิติ

$\overline{i} \cdot \overline{i} \: = \: \overline{j} \cdot \overline{j} \: = \: \overline{k} \cdot \overline{k} \: = \: 1$
$\overline{i} \cdot \overline{j} \: = \: \overline{j} \cdot \overline{k} \: = \: \overline{i} \cdot \overline{k} \: = \: 0$ ( $\overline{i} \: , \; \overline{j}$ และ $\overline{k}$ ตั้งฉากซึ่งกันและกัน)
$\overline{u} \cdot \overline{v} \: = \: \overline{v} \cdot \overline{u}$ (สมบัติการสลับที่)
$m\left( \overline{u} \cdot \overline{v} \right) \: = \: \left( m\overline{u} \right) \cdot \overline{v} \: = \: \overline{u} \cdot \left( m\overline{v} \right)$
$\overline{u} \cdot \left( \overline{v} \pm \overline{w} \right) \: = \: \overline{u} \cdot \overline{v} \pm \overline{u} \cdot \overline{w}$ (สมบัติการแจกแจง)
$\overline{u} \cdot \overline{u} \: = \: {\lvert \overline{u} \rvert}^2$
ถ้า $\overline{u} \: , \; \overline{v} \: \neq \: \overline{0}$ จะได้ว่า $\overline{u}$ ตั้งฉากกับ $\overline{v}$ ก็ต่อเมื่อ $\overline{u} \cdot \overline{v} \: = \: 0$

SPECIAL DOT FORMULA

❤︎ Note

ถ้า $\lvert \overline{u} + \overline{v} \rvert \: = \: \lvert \overline{u} - \overline{v} \rvert$ แล้วจะได้ว่า $\overline{u} \perp \overline{v}$ และ $\overline{u} \cdot \overline{v} \: = \: 0$

Projection vector ใน 2 มิติ และ 3 มิติ

$Proj_{\overline{v}}\overline{u}$ คือ Projection ของ $\overline{u}$ บน $\overline{v}$ ( $\overline{v}$ เป็นฉาก)

$Proj_{\overline{u}}\overline{v}$ คือ Projection ของ $\overline{v}$ บน $\overline{u}$ ( $\overline{u}$ เป็นฉาก)

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 5

ภาพฉายของจุดบนระนาบต่าง ๆ

ถ้าเราลากเส้นผ่านจุด $P(x \: , \; y \: , \; z)$ ให้ขนานแกน $z$ ไปตัดกับระนาบ $xy$ จะได้จุดตัดมีพิกัดเป็น $Q(x \: , \; y \: , \; 0)$ เรียกจุดนี้ว่าเป็นภาพฉายของจุด $P$ บนระนาบ $xy$

ในทำนองเดียวกันจะเรียกจุด $R(0 \: , \; y \: , \; z)$ ว่าเป็นภาพฉายของ $P$ บนระนาบ $yz$ และเรียกจุด $S(x \: , \; 0 \: , \; z)$ ว่าเป็นภาพฉายของจุด $P$ บนระนาบ $xz$

การหาจุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุดในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ถ้า $\overline{P}$ เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด $A(x_1 \: , \; y_1 \: , \; z_1)$ และจุด $B(x_2 \: , \; y_2 \: , \; z_3)$

จะได้ $\overline{P} \: = \: \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \: , \; \frac{y_1 + y_2}{2} \: , \; \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$

การหาจุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ถ้า $\overline{C}$ เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐาน $A(x_1 \: , \; y_1 \: , \; z_1)$ และ $B(x_2 \: , \; y_2 \: , \; z_2)$

และ $C(x_3 \: , \; y_3 \: , \; z_3)$ จะได้ $\overline{C} \: = \: \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \: , \; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \: , \; \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)$

การหาระยะห่างระหว่าง 2 จุด

โคไซน์แสดงทิศทาง (direction cosine)

จากรูป $\overline{OP} \: = \: a\overline{i} + b\overline{j} + c\overline{k}$

โคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ $\overset{\rightharpoonup}{OP}$ หาได้ดังนี้

$\cos\alpha \: = \: \frac{a}{\lvert \overline{OP} \rvert}$

$\cos\beta \: = \: \frac{b}{\lvert \overline{OP} \rvert}$

$\cos\gamma \: = \: \frac{c}{\lvert \overline{OP} \rvert}$

เมื่อ $\alpha$ คือ มุมระหว่าง $\overline{OP}$ กับ $\overline{i}$

$\beta$ คือ มุมระหว่าง $\overline{OP}$ กับ $\overline{j}$

$\gamma$ คือ มุมระหว่าง $\overline{OP}$ กับ $\overline{k}$

❤︎ เกร็ดความจริง! เกี่ยวกับโคไซน์แสดงทิศทาง

ถ้า $\alpha \: , \; \beta \: , \; \gamma$ เป็นมุมระบุทิศทางของเวกเตอร์
จะได้ว่า ${cos^2}\alpha + {cos^2}\beta + {cos^2}\gamma \: = \: 1$
ถ้าเวกเตอร์คู่ใดมีโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกัน แสดงว่า เวกเตอร์คู่นั้นมีทิศเดียวกัน ถ้าเวกเตอร์คู่ใดมีโคไซน์แสดงทิศทางในแต่ละแกนเป็นจำนวนที่ตรงข้ามกัน แสดงว่าเวกเตอร์คู่นั้นมีทิศทางตรงข้ามกัน

ตัวอย่างที่ 6

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (cross product หรือ vector product)

การหาผลคูณเชิงเวกเตอร์

ให้ $\overline{u} \: = \: \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \: = \: u_1 \overline{i} + u_2 \overline{j} + u_3 \overline{k}$ และ $\overline{v} \: = \: \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} \: = \: v_1 \overline{i} + v_2 \overline{j} + v_3 \overline{k}$

$\overline{u} \times \overline{v}$ คือ การหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ $\overline{u}$ กับ $\overline{v}$ (ผลลัพท์ที่ได้เป็นเวกเตอร์)

$\overline{u} \times \overline{v} \: = \: \begin{bmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\[4pt] u_1 & u_2 & u_3 \\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix} \: = \: \begin{bmatrix} u_2 & u_3 \\[2pt] v_2 & v_3 \end{bmatrix} \overline{i} - \begin{bmatrix} u_1 & u_3 \\[2pt] v_1 & v_3 \end{bmatrix} \overline{j} + \begin{bmatrix} u_1 & u_2 \\[2pt] v_1 & v_2 \end{bmatrix} \overline{k}$

ตัวอย่างที่ 7

ทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์จากการ cross product

ขั้นตอนการหาทิศของ cross product

น้อง ๆ สามารถหาทิศทางของ $\overline{u} \times \overline{v}$ และ $\overline{v} \times \overline{u}$ ได้โดยใช้กฎมือขวา

ขั้นที่ 1

แบมือขวาออกโดยให้นิ้วทั้งสี่ (นอกจากนิ้วหัวแม่มือ) ชี้ไปทางเดียวกัน และให้นิ้วหัวแม่มือตั้งฉากกับนิ้วอื่น ๆ

ขั้นที่ 2

ถ้าตอนแรกพุ่งนิ้วทั้งสี่ตามทิศของ $\overline{u}$ แล้วพับนิ้วทั้งสี่เข้าหาทิศของ $\overline{v}$ นิ้วหัวแม่มือจะชี้ทิศของ $\overline{u} \times \overline{v}$
ถ้าตอนแรกพุ่งนิ้วทั้งสี่ตามทิศของ $\overline{v}$ แล้วพับนิ้วทั้งสี่เข้าหาทิศของ $\overline{u}$ นิ้วหัวแม่มือจะชี้ทิศของ $\overline{v} \times \overline{u}$

❤︎ จากการสังเกต

จะเห็นว่า $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน

จะได้ว่า $\overline{u} \times \overline{v}$ และ $\overline{v} \times \overline{u}$ เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่าน $\overline{u}$ และ $\overline{v}$

(พูดง่าย ๆ $\overline{u} \times \overline{v}$ ตั้งฉากกับ $\overline{u} \: , \; \overline{v}$ และ $\overline{v} \times \overline{u}$ ตั้งฉากกับ $\overline{u} \: , \; \overline{v}$ )

และจะเห็นว่า $\overline{u} \times \overline{v}$ และ $\overline{v} \times \overline{u}$ มีทิศทางตรงข้ามกัน

ดังนั้น $\overline{u} \times \overline{v} \: = \: -\left( \overline{v} \times \overline{u} \right)$

❤︎ เกร็ดความจริง

ถ้า $\overline{u} \: , \; \overline{v}$ และ $\overline{w}$ เป็นเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบเดียวกัน แล้ว $\overline{u} \cdot \left( \overline{v} \times \overline{w} \right) \: = \: 0$

การหาขนาดของ u × v

ให้ $\overline{u}$ และ $\overline{v}$ เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ โดย $\overline{u} \neq \overline{0}$ และ $\overline{v} \neq \overline{0}$

จะได้ว่า $\lvert \overline{u} \times \overline{v} \rvert \: = \: \lvert \overline{u} \rvert \lvert \overline{v} \rvert \sin\theta$ เมื่อ $\theta$ เป็นขนาดของมุมระหว่าง $\overline{u}$ และ $\overline{v}$

โดยที่ 0° ≤ θ ≤ 180°

สมบัติเกี่ยวกับการ cross vector

ให้ $\overline{u} \: , \; \overline{v}$ และ $\overline{w}$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในสามมิติ และ $m$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ

$\overline{i} \times \overline{j} \: = \: \overline{k} \: , \; \quad \overline{j} \times \overline{i} \: = \: -\overline{k}$
$\overline{j} \times \overline{k} \: = \: \overline{i} \: , \; \quad \overline{k} \times \overline{j} \: = \: -\overline{i}$
$\overline{k} \times \overline{i} \: = \: \overline{j} \: , \; \quad \overline{i} \times \overline{k} \: = \: -\overline{j}$
$\overline{i} \times \overline{i} \: = \: \overline{0}$
$\overline{j} \times \overline{j} \: = \: \overline{0}$
$\overline{k} \times \overline{k} \: = \: \overline{0}$
$\overline{u} \times \overline{v} \: = \: - \left( \overline{v} \times \overline{u} \right)$
$\overline{u} \times \overline{u} \: = \: \overline{0}$
$\left( r \overline{u} \right) \times \left( s \overline{v} \right) \: = \: rs \left( \overline{u} \times \overline{v} \right)$
$m \left( \overline{u} \times \overline{v} \right) \: = \: \left( m \overline{u} \right) \times \overline{v} \: = \: \overline{u} \times \left( m \overline{v} \right)$
$\overline{u} \times \left( \overline{v} \pm \overline{w} \right) \: = \: \overline{u} \times \overline{v} \pm \overline{u} \times \overline{w}$
$\left( \overline{u} \pm \overline{v} \right) \times \overline{w} \: = \: \overline{u} \times \overline{w} \pm \overline{v} \times \overline{w}$
$\overline{u} \cdot \left( \overline{v} \times \overline{w} \right) \: = \: \left( \overline{u} \times \overline{v} \right) \cdot \overline{w}$
$\left( \overline{u} \times \overline{v} \right) \cdot \overline{w} \: = \: \left( \overline{v} \times \overline{w} \right) \cdot \overline{u} \: = \: \left( \overline{w} \times \overline{u} \right) \cdot \overline{v}$

การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่ ◻ ด้านขนาน = ฐาน × สูง

= $\lvert \overline{u} \rvert \lvert \overline{v} \rvert \sin\theta$

พื้นที่ ◻ ด้านขนาน = $\lvert \overline{u} \times \overline{v} \rvert$

❤︎ ข้อสังเกต

พื้นที่ ∆ ที่แรเงา = $\frac{1}{2}$ พื้นที่ ◻ ด้านขนาน

พื้นที่ ∆ ที่แรเงา = $\frac{1}{2} \lvert \overline{u} \times \overline{v} \rvert$

ตัวอย่างที่ 8

ตัวอย่างที่ 9

การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ปริมาตร = พื้นที่ฐาน $\times$ สูง

= $\lvert \overline{v} \times \overline{w} \rvert \lvert \overline{u} \rvert \lvert \cos\theta \rvert$

= $\lvert \overline{u} \rvert \lvert \overline{v} \times \overline{w} \rvert \lvert \cos\theta \rvert$

= $\lvert \lvert \overline{u} \rvert \rvert \overline{v} \times \overline{w} \lvert \cos\theta \rvert$

ปริมาตร = $\lvert \overline{u} \cdot \left( \overline{v} \times \overline{w} \right) \rvert$

กำหนดทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานมี $\overline{u} \: , \; \overline{v}$ และ $\overline{w}$ เป็นด้าน

ถ้ากำหนด $\overline{u} \: = \: \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}, \quad \overline{v} \: = \: \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ และ $\overline{w} \: = \: \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix}$ จะได้ว่า

ปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน $= \: \begin{vmatrix} \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix} \end{vmatrix}$

ถ้า $\overline{u} \: , \; \overline{v}$ และ $\overline{w}$ อยู่บนระนาบเดียวกัน

สามารถอ้างได้ว่า ปริมาตร $= \: 0\left( \lvert \overset{\rightharpoonup}{u} \cdot \left( \overset{\rightharpoonup}{v} \times \overset{\rightharpoonup}{w} \right) \rvert = 0 \right)$

ตัวอย่างที่ 10

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย วิชาคณิตศาสตร์ - เวกเตอร์

เอาล่ะ! หลังจากทบทวนเนื้อหาและเช็กจุดสำคัญของบทเวกเตอร์ ม.5 กันแล้ว พี่มี ตัวอย่างข้อสอบสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทเวกเตอร์ มาให้น้อง ๆ ได้เรียนรู้แนวโจทย์และวิธีแก้โจทย์กันครับ

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 1

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 2

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 2(1)

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 2(2)

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 3

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 3(1)

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 3(2)

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 4

โจทย์เวกเตอร์ พร้อมเฉลย - ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม A รวมทุกบท

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม B รวมทุกบท

คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 กลุ่ม B รวมทุกบท

เวกเตอร์

เวกเตอร์

จบกันไปแล้วนะครับ กับ สรุปเนื้อหาเวกเตอร์ ม.5 อย่างที่พี่ได้บอกไว้ในตอนต้นบทความว่า ถ้าน้อง ๆ อยากจะเรียนบทเวกเตอร์ให้เข้าใจและทำข้อสอบได้ ก็ต้องเริ่มจากการทำความเข้าใจนิยามและความรู้พื้นฐาน รวมทั้งฝึกทำโจทย์เยอะ ๆ เพื่อเพิ่มความชำนาญในการทำข้อสอบด้วย

สำหรับน้อง ๆ ที่เรียนบทเวกเตอร์ไม่เข้าใจ หรืออยากจะติวเสริมเพิ่มความมั่นใจไปอีกขั้น พี่ขอแนะนำ คอร์สคณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 รวมทุกบท ที่ สรุปเนื้อหาแบบกระชับ เข้าใจง่าย พาตะลุยโจทย์ให้ได้ฝึกฝนทำข้อสอบหลากหลายแนว พร้อมเรียนรู้เทคนิคทริกลัดช่วยให้แก้โจทย์ได้ไวขึ้น ใครอยากคว้าเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ หรือต้องการปูความรู้พื้นฐานสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในสนามสอบ TCAS ห้ามพลาดเด็ดขาดเลย!

สมัครคอร์สนี้ดียังไง?

✔ ในคอร์สนี้สรุปเนื้อหาแบบกระชับเข้าใจง่าย พี่ ๆ ติวเตอร์จะช่วยปูพื้นฐานให้อย่างละเอียด

✔ พร้อมพาฝึกทำโจทย์อย่างเข้มข้นเป็นขั้นตอนไล่ระดับ ตั้งแต่ง่าย – ปานกลาง – ยาก ที่เป็นข้อสอบแข่งขันจากสนามสอบต่าง ๆ ทั้งในและต่างประเทศ

✔ เสริมด้วยเทคนิคลัดที่จะช่วยให้น้อง ๆ สามารถทำข้อสอบปรนัยได้ไวขึ้น และใช้ได้จริงในห้องสอบ

รีวิวน้อง ๆ DEK WE คว้าเกรด 4 คณิตศาสตร์ ม.ต้น - ม.ปลาย

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องนุกนิก - น้องอัส คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องพราว - น้องออม คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเชอร์รี่ - น้องแจน คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องสมาร์ท - น้องเจแปน คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องไปเปอร์ - น้องอิ๊น คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องปลื้ม - น้องแอมเบอร์ คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องเดียว - น้องนกยูง คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องซีน - น้องบิว คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องชมพู่ - น้องก้อย คณิตศาสตร์ เกรด 4

รีวิวลูกศิษย์ "เดอะเบรน" น้องกีต้าร์ - น้องคอตต้อน คณิตศาสตร์ เกรด 4

❝ เรียนออนไลน์ง่าย สะดวก ทุกที่ทุกเวลา ❞

เรียนคณิตออนไลน์ผ่านแอป WE PLUS ONLINE
จัดสรรเวลาเรียนตามต้องการ
ถามโจทย์หรือปัญหาต่าง ๆ กับติวเตอร์เดอะเบรนได้โดยตรง
พี่ ๆ ติวเตอร์จะตอบคำถามด้วยตนเองและตอบกลับน้อง ๆ ภายใน 24 ชั่วโมง

น้อง ๆ ที่สนใจสมัครติวคณิตศาสตร์ ม.5 กับ “เดอะเบรน” สามารถ กดปุ่ม Add Line ด้านล่างเพื่อรับคำปรึกษาและวางแผนการเรียนกับ “พี่วีวี่” ได้เลย ❤︎

คณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์ ม.ปลาย, คณิตศาสตร์ ม.5, เวกเตอร์

Picture of อ.วิเศษ กี่สุขพันธ์ (พี่เอ๋)

อ.วิเศษ กี่สุขพันธ์ (พี่เอ๋)

ปริญญาตรี-โท วิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ประสบการณ์การสอน 24 ปี

คอร์สแนะนำ

วางแผนการเรียน

DEK WE SUCCESS

โปรโมชัน

บทความแนะนำ

เจาะแนวข้อสอบ สอวน. คณิตศาสตร์ ออกอะไร? ยากไหม? พร้อมวิธีเตรียมตัวให้ติดค่าย 1

คณิตศาสตร์

เจาะสนาม สอวน. คณิตศาสตร์ | แนวข้อสอบ + วิธีเตรียมตัวให้ติดค่าย 1

05/05/2026

เจาะสนาม A-Level คณิต 1 วิเคราะห์ข้อสอบ & เคล็ดลับอัปคะแนน

คณิตศาสตร์

เจาะสนาม A-Level คณิต 1 วิเคราะห์ข้อสอบ & เคล็ดลับคว้าคะแนนทะลุเป้า

04/03/2026

สรุปทฤษฎีบทวงกลม ม.3 เข้าใจง่าย พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลย

คณิตศาสตร์

สรุปทฤษฎีบทวงกลม ม.3 เข้าใจง่าย พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลย

26/11/2025

ติว A-Level คณิต 1 กับ “เดอะเบรน” ดียังไง | WE BY THE BRAIN

we by the brain

ติว A-Level คณิต 1 กับ “เดอะเบรน” ดีอย่างไร? | WE BY THE BRAIN

27/09/2025

โรงเรียนกวดวิชา WE BY THE BRAIN (เดอะเบรน) มุ่งสร้างความสำเร็จอย่างต่อเนื่อง เพื่อทุกความฝันของเด็กไทยมากว่า 39 ปี การันตีความเป็นมืออาชีพด้านคุณภาพการเรียนการสอน ได้รับความไว้วางใจจากน้อง ๆ นักเรียนมากกว่า 2 ล้านคน

เกี่ยวกับ WE

คอร์สเรียน

ติดต่อเรา

โรงเรียนกวดวิชา WE BY THE BRAIN (สำนักงานใหญ่) 215 ถ.งามวงศ์วาน ต.บางเขน อ.เมือง จ.นนทบุรี 11000

WE CARE

เปิดบริการทุกวัน 10.00-19.00 น.
โทร : 02-952-6767
Line : @weplus_care

© WE BY THE BRAIN. 2026 ALL RIGHT RESERVED.

Top