พหุนาม เป็นบทเรียนสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์ที่น้อง ๆ ทุกคนจะต้องเจอใน ม.ต้น อย่างเลี่ยงไม่ได้ และเนื้อหายังใช้ต่อเนื่องไปจนถึงระดับ ม.ปลาย ซึ่งนั่นหมายความว่าถ้าน้อง ๆ คนไหนที่มีพื้นฐานและความเข้าใจเกี่ยวกับพหุนามไม่ดีพอ ก็อาจจะทำให้เกิดความสับสนเมื่อต้องนำความรู้ไปใช้ต่อในบทถัด ๆ ไป จนอาจทำให้รู้สึกไม่สนุกกับการเรียนในบทเรียนนั้น ๆ ได้
ดังนั้น สำหรับบทความนี้จะพาน้อง ๆ มา ทำความรู้จักและทำความเข้าใจพื้นฐานพหุนาม ว่ามีอะไรบ้างที่น้องต้องรู้ นิพจน์ คืออะไร? เอกนาม คืออะไร ? พหุนามคืออะไร ? พหุนามต่างกับเอกนามยังไง ? การบวก ลบ คูณ หาร ต้องทำยังไงบ้าง? น้อง ๆ คนไหนที่อยากศึกษาเพิ่มเติม ในบทความนี้ พี่ภูมิ – อ.สิทธิเดช เลนุกูล ได้สรุปทุกเรื่องที่ต้องรู้เกี่ยวกับพหุนามมาไว้ให้แล้ว!
นิพจน์ คืออะไร
นิพจน์ (Expression) คือ การเขียนค่าคงที่ หรือตัวแปรในรูปการดำเนินการโดยใช้ เครื่องหมาย หรือสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เช่น 3x, x + 5, 4x – 7y เป็นต้น
ความรู้เสริมในระดับชั้น ม.ต้น เราสามารถแยกนิพจน์ออกได้เป็น 2 ประเภท
- นิพจน์เลขคณิต (Numerical Expression) เป็นนิพจน์ที่ประกอบด้วยจำนวนที่เป็นค่าคงตัวเท่านั้น เช่น 5, -10, 12 + 8 เป็นต้น
- นิพจน์พีชคณิต (Algebraic Expression) เป็นนิพจน์ที่ประกอบไปด้วยค่าคงตัวและตัวแปร ซึ่งอยู่ในรูปการดำเนินการต่าง ๆ เช่น 3x + 5, 2x – 3y, xy เป็นต้น
เอกนาม คืออะไร
เอกนาม (Monomial) คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัว (Constanat) กับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป และเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก
สัมประสิทธ์ของเอกนาม
จากที่กล่าวมาจะเห็นว่า เอกนามจะประกอบด้วยสองส่วน คือ ส่วนที่เป็นค่าคงตัว และส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร เรียกส่วนที่เป็นค่าคงตัวว่า สัมประสิทธิ์ (Coefficient) ของเอกนาม
เช่น 2x มีสัมประสิทธิ์เป็น 2
-xy3 มีสัมประสิทธิ์เป็น -1
8 มีสัมประสิทธิ์เป็น 8
3yx2z มีสัมประสิทธิ์เป็น 3
ดีกรีของเอกนาม
ดีกรี (Degree) ของเอกนาม คือ ผลบวกของเลขขี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวในเอกนามว่า
เช่น 2x มีดีกรีเป็น 1 เพราะเลขชี้กำลังของ x คือ 1
xy3 มีดีกรีเป็น 4 เพราะเลขชี้กำลังของ x คือ 1 และเลขชี้กำลังของ y คือ 3
เมื่อนำมารวมกันจึงทำให้ ดีกรีของ xy3 = 4
7 มีดีกรีเป็น 0 เพราะ สามารถเขียน 7 ให้อยู่ในรูป 7x0 (เรียกอีกอย่างว่า เอกนามค่าคงตัว)
เอกนามคล้าย
เอกนามสองเอกนามคล้ายกันก็ต่อเมื่อ
- เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน
- เลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน และ
สำหรับค่าคงตัวสองจำนวนใด ๆ ถือว่าเป็นเอกนามที่คล้ายกัน เช่น 2 กับ -365 เป็นเอกนามที่คล้ายกัน
เช่น
การบวกหรือลบกันของเอกนาม
ผลบวกหรือผลลบของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลบวกหรือลบสัมประสิทธิ์ของเอกนาม) x (ส่วนที่เป็นตัวแปร) เช่น
และสำหรับการบวกหรือลบเอกนามที่ไม่คล้ายกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่เป็นเอกนาม
การคูณหรือหารกันของเอกนาม
ในการหาผลคูณหรือผลหารระหว่างเอกนามกับเอกนามนั้น จะนำค่าคงตัวในแต่ละเอกนามมาคูณหรือหารกัน และนำตัวแปรในแต่ละเอกนามมาคูณหารกันโดยใช้สมบัติเลขยกกำลัง เช่น
เมื่อได้ผลหารเป็นเอกนาม จะกล่าวว่าการหารนั้นเป็นการหารลงตัว
พหุนามคืออะไร
พหุนาม (Polynomial) คือ นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไปได้
เช่น
1 เป็นเอกนาม (และเป็นพหุนามด้วย)
8x เป็นเอกนาม (และเป็นพหุนามด้วย)
x2 – 4 เป็นพหุนาม
x2 – 2x + 1 เป็นพหุนาม
4x3y – 10x2 – y เป็นพหุนาม
x3 + 3x2 + 3x + 1 เป็นพหุนาม
เพื่อความสะดวก เราจะเรียกเอกนามที่ปรากฎในพหุนามว่า พจน์ (Term) และในกรณีที่พหุนามนั้นมีเอกนามคล้ายกัน เราจะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน (Like terms)
เช่น -4x3 – 3x2 + 2x + 5x3 เป็นพหุนามที่มีพจน์ คือ -4x3, -3x2, 2x และ 5x3
โดยมี -4x3 และ 5x3 เป็นพจน์ที่คล้ายกัน
จะได้ว่า -4x3 + 3x2 – 2x + 5x3
= 5x3 – 4x3 + 3x2 – 2x
= x3 + 3x2 – 2x
จะเห็นว่า พหุนามที่ได้เป็นพหุนามในรูปที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลย ซึ่งเราจะเรียกพหุนามแบบนี้ว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ (Polynomial in the simplest form)
ดีกรีของพหุนาม
ดีกรีของพหุนาม คือ ดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหุนามในรูปผลสำเร็จ
เช่น
1 เป็นพหุนาม ดีกรี 0
8x เป็นพหุนาม ดีกรี 1
x2 – 4 เป็นพหุนาม ดีกรี 2 เพราะพจน์ x2 มีดีกรีเท่ากับ 2
และพจน์ – 4 มีดีกรีเท่ากับ 0 ดังนั้น ดีกรีดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหุนาม
ในรูปผลสำเร็จเท่ากับ 2 จึงได้ว่าเป็นพหุนาม ดีกรี 2
4x3y – 10x2 – y เป็นพหุนาม ดีกรี 4 เพราะพจน์ 4x3y มีดีกรีเท่ากับ 3+1 = 4
พจน์ -10x2 มีดีกรีเท่ากับ 2 และพจน์ -y มีดีกรีเท่ากับ 1
ดังนั้น ดีกรีดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหุนามในรูปผลสำเร็จเท่ากับ 4
จึงได้ว่าเป็นพหุนาม ดีกรี 4
พหุนามตรงข้าม
พหุนามตรงข้ามของพหุนามใดเท่ากับผลบวกของพจน์ตรงข้ามของแต่ละพจน์ของพหุนามนั้น
สรุปภาษาคน : พหุนามตรงข้าม คือ ลบของพหุนามเดิม
เช่น พหุนามตรงข้ามของ 4x3y – 10x2 – y คือ -(4x3y – 10x2 – y)
จะได้ว่า พหุนามตรงข้ามของ 4x3y – 10x2 – y คือ -4x3y + 10x2 + y
พหุนามตรงข้ามของ x2 – 2x + 1 คือ -x2 + 2x – 1
การบวกหรือลบพหุนามทำยังไง
การหาผลบวกของพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามมาเขียนในรูปการบวก และถ้ามีพจน์ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันจนกลายเป็น พหุนามในรูปผลสำเร็จ
เช่น (2x2 + x – 8) + (-8x2 – 3x + 6)
= 2x2 + x – 8 – 8x2 – 3x + 6
= -6x2 – 2x – 2
หรืออาจเขียนเป็นการบวกในแนวตั้งโดยให้พจน์คล้ายกันอยู่ตรงกันก็ได้
และสำหรับการหาผลลบของพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามตัวตั้งมาบวกพหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบจนกลายเป็น พหุนามในรูปผลสำเร็จ
เช่น (7x2 – 9x – 12) – (2x2 + x – 8) =(7x2 – 9x – 12) + [-(2x2 + x – 8)]
= (7x2 – 9x – 12) + (-2x2 – x + 8)
= 5x2 – 10x – 4
หรืออาจเขียนเป็นการลบในแนวตั้งโดยให้พจน์คล้ายกันอยู่ตรงกันก็ได้
การคูณพหุนามด้วยพหุนามและการหารพหุนามด้วยเอกนาม
การหาผลคูณของพหุนามกับพหุนาม ทำได้โดยใช้สมบัติการแจกแจง โดยนำแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งมาคูณกับทุก ๆ พจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน
เช่น (-3x)(2x3 – x + 6)
= (-3x)(2x3) – (-3x)(x) + (-3x)(6)
= -6x4 + 3x2 – 18x
(x + 4)(3x2 – x)
= x(3x2) – x(x) + 4(3x2) – 4x
= 3x3 – x2 + 12x2 – 4x
= 3x3 + 11x2 – 4x
(x + y)(x2 – xy + y2)
= x(x2) – x(xy) + x(y2) + y(x2) – y(xy) + y(y2)
= x3 – x2 y + xy2 + x2y – xy2 + y3
= x3 + y3
การหารพหุนามด้วยเอกนาม ทำได้โดยใช้หลักเกณฑ์ของการบวกเศษส่วนและสมบัติของเลขยกกำลัง โดยจะหารแต่ละพจน์ของพหุนามด้วยเอกนาม แล้วนำผลหารเหล่านั้นมาบวกกัน เช่น
สรุปบทความ
พหุนาม เป็นอีกหนึ่งบทเรียนที่มีความสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ในระดับชั้นมัธยมศึกษาดังนั้นการมีพื้นฐานที่ดีและเข้าใจพหุนามตั้งแต่ ม.ต้น จึงเป็นส่วนสำคัญที่ช่วยให้น้อง ๆ สามารถพัฒนาการเรียนรู้ ทำความเข้าใจและวิเคราะห์ข้อมูลในหลาย ๆ บทของวิชาคณิตศาสตร์ ที่จะมีความซับซ้อนมากขึ้นได้ในอนาคต
หากน้อง ๆ รู้สึกว่ามีบทเรียนไหนที่ยาก และยังมีความกังวลอยู่ สบายใจได้เลย เพราะการ ติวคณิตศาสตร์ ม.ต้น และ ติวคณิตศาสตร์ ม.3 จาก WE BY THE BRAIN จะช่วยปรับพื้นฐานให้น้อง ๆ พร้อมพาตะลุยทำโจทย์ และพิชิตเกรด 4 ให้เอง! สามารถมาเรียนที่ WE BY THE BRAIN ได้เลย พี่ ๆ ติวเตอร์ของเราพร้อมสอนความรู้เข้มข้น แชร์เทคนิคทำข้อสอบจัดเต็ม เรียนจบแล้ว พร้อมลุยทุกสนามสอบแน่นอน!
อัปเดตข่าวสารและสอบถามรายละเอียด ติวคณิตศาสตร์ ม.ต้น จาก WE BY THE BRAIN ก่อนใครได้ที่
- WE CARE : 02-952-6767
- Line OA : @weplus_care
- Facebook Page : WE BY THE BRAIN
- Instagram : webythebrain
- Twitter : @WEBYTHEBRAIN
- Youtube : WE BY THE BRAIN
โรงเรียนกวดวิชา วี บาย เดอะเบรน เรียนสนุก เข้าใจง่าย ทำโจทย์ได้จริง!
อ.สิทธิเดช เลนุกูล (พี่ภูมิ)
มีความเชี่ยวชาญในการสอนโจทย์คณิตศาสตร์ระดับยาก
ที่คัดสรรจากสนามสอบชั้นนำทั้งในและต่างประเทศ
