สรุปเนื้อหา จำนวนจริง ม.2 แจกฟรี! แนวข้อสอบคณิตศาสตร์ พร้อมเฉลย

Q: “จำนวนจริง ม.ต้น” กับ “จำนวนจริง ม.ปลาย” ต่างกันยังไง?

สำหรับ คณิตศาสตร์ ม.ต้น บทจำนวนจริง น้อง ๆ จะได้เรียนเนื้อหาตามหัวข้อที่พี่สรุปมาให้ด้านบนเลยครับ ส่วน จำนวนจริง ม.ปลาย จะมีเนื้อหาบางส่วนที่เหมือนกับ ม.ต้น เช่น โครงสร้างของระบบจำนวนจริง, จำนวนตรรกยะ, จำนวนอตรรกยะ, จำนวนนับ, จำนวนเต็ม, ทฤษฎีบทเศษเหลือ, การหารพหุนาม, สมการกำลังสอง, การแยกตัวประกอบ เป็นต้น แต่ก็จะมีเนื้อหาของ ม.ปลาย ที่เพิ่มเติมขึ้นมาจากจำนวนจริง ม.ต้น อีกมาก เช่น การแก้อสมการตัวแปรเดียวที่มีดีกรีมากกว่า 1, สมการค่าสัมบูรณ์, อสมการค่าสัมบูรณ์ เป็นต้น

หน้าหลัก » article » สรุปเนื้อหา จำนวนจริง ม.2 แจกฟรี! แนวข้อสอบคณิตศาสตร์ พร้อมเฉลย

July 17, 2024

สวัสดีครับน้อง ๆ วันนี้ พี่เอ๋ – อ.วิเศษ กี่สุขพันธ์ มีสรุปเนื้อหา ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง ม.2 มาแจกกัน 🤩

ต้องบอกก่อนเลยว่า จำนวนจริง เป็นหนึ่งในบทคณิตศาสตร์ ม.ต้น ที่สำคัญ เพราะเป็นพื้นฐานสำคัญของการเรียนคณิตศาสตร์ต่อในระดับชั้น ม.ปลาย และจำนวนจริงยังเป็นบทที่มักจะออกข้อสอบแข่งขันวิชาคณิตศาสตร์อยู่บ่อย ๆ ด้วย โดยเฉพาะหัวข้อ รากที่ 2, 3 และ รากที่ n ครับ

ถ้าอยากรู้ว่า บทจำนวนจริงที่น้อง ๆ จะได้เรียนกันในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.2 มีหัวข้ออะไรบ้าง? จุดสำคัญอยู่ตรงไหน? และแนวข้อสอบเป็นยังไง? พี่รวมทุกเรื่องไว้ให้ครบจบในที่เดียวแล้ว ตามไปดูเลย!!

สรุปภาพรวมจำนวนจริง ม.2

ก่อนที่จะเข้าสู่เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.2 บทความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง พี่ขอพาน้อง ๆ มาดู แผนผังแสดงความเกี่ยวข้องระหว่างจำนวนชนิดต่าง ๆ เพื่อให้มองเห็นภาพรวมของเนื้อหาง่ายขึ้นครับ

จำนวนตรรกยะ กับ จำนวนอตรรกยะ ต่างกันยังไง?

หัวข้อแรกที่จะได้เรียนกันในบทจำนวนจริง ม.2 ก็คือ จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ครับ น้อง ๆ ที่ยังคงสับสนว่า จำนวนตรรกยะ คืออะไร? จำนวนอตรรกยะ คืออะไร? ตามพี่มาดูความหมายและตัวอย่างของจำนวนทั้ง 2 ชนิดนี้ จะได้เห็นความแตกต่างกันแบบชัด ๆ ไปเลย

จำนวนตรรกยะ (Rational Number)

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน $\frac{a}{b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ $b \neq 0$

ตัวอย่างจำนวนตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number)

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน $\frac{a}{b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ $b \neq 0$

ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ

เพิ่มเติม

จำนวนนับ (N) ได้แก่ 1, 2, 3, 4, …
จำนวนเต็ม (Z) แบ่งเป็น 3 กลุ่ม
1) จำนวนเต็มบวก ได้เแก่ 1, 2, 3, 4, …
2) จำนวนเต็มศูนย์ มี 0 ตัวเดียว
3) จำนวนเต็มลบ ได้แก่ -1, -2, -3, -4, …

การเขียนทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วน

สำหรับบทจำนวนจริง ม.2 ไม่เพียงแค่น้อง ๆ จะต้องรู้ความหมายและสามารถจำแนกจำนวนจริงได้ว่า จำนวนใดเป็นจำนวนตรรกยะ / จำนวนใดเป็นจำนวนอตรรกยะ แต่ยังต้องเขียนทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วนได้ด้วย โดยการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วน สามารถทำได้ 2 วิธี คือ

1. เขียนในรูปเศษส่วนคละ

ขั้นที่ 1 แยกจำนวนเต็มออกมา

ขั้นที่ 2 ส่วนที่เป็นทศนิยมซ้ำจะมีค่า

จำนวนหลักจุดทั้งหมด – จำนวนที่ไม่ซ้ำ

เลข 9 ตามจำนวนตัวที่ซ้ำ ตามด้วย 0 ตามจำนวนตัวที่ไม่ซ้ำ

ขั้นที่ 3 ทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

การเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนคละ - ตัวอย่างที่ 1

การเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนคละ - ตัวอย่างที่ 2

2. เขียนในรูปเศษส่วนเกิน

ทศนิยมซ้ำ =

จำนวนทั้งหมด (หน้าจุดก็เอา) – จำนวนที่ไม่ซ้ำ (หน้าจุดก็เอา)

เลข 9 ตามจำนวนตัวที่ซ้ำ ตามด้วย 0 ตามจำนวนตัวที่ไม่ซ้ำ

โดยจำนวนเลข 9, 0 ตามจำนวนตัวที่ซ้ำ และจำนวนตัวที่ไม่ซ้ำนั้นคิดเฉพาะหลังจุด

การเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนเกิน - ตัวอย่างที่ 1

การเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปเศษส่วนเกิน - ตัวอย่างที่ 2

รากที่ 2 (Square Root)

หัวข้อต่อมาของจำนวนจริง ม.ต้น คือ รากที่ 2 ครับ ในหัวข้อนี้น้อง ๆ จะได้เรียนรู้นิยามของรากที่ 2 และวิธีการหารากที่ 2 ของจำนวนจริงครับ

นิยาม

เมื่อ $X, a$ เป็นจำนวนจริง

$X$ จะเป็นรากที่ 2 ของ $a$ ก็ต่อเมื่อ $X^2 = a$

ตัวอย่างของรากที่ 2

$7$ เป็นรากที่ 2 ของ $49$ เพราะ $(7)^2 = 49$

$-5$ เป็นรากที่ 2 ของ $25$ เพราะ $(-5)^2 = 25$

📌 ข้อควรรู้!

1) รากที่ 2 ของ $a$ เมื่อ $a > 0$ จะมี 2 ค่า คือ $\sqrt{a}$ และ $-\sqrt{a}$

เราเรียก $\sqrt{a}$ ว่าเป็นรากที่ 2 ที่เป็นบวกของ $a$ (ค่าหลัก)

และ $-\sqrt{a}$ ว่าเป็นรากที่ 2 ที่เป็นลบของ $a$

เช่น รากที่ 2 ของ $16$ จะมี 2 ค่า คือ

$\sqrt{16} = 4$ (ค่าหลัก) และ $-\sqrt{16} = -4$

2) รากที่ 2 ของ 0 มีค่าเดียว คือ 0

3) ไม่มีรากที่ 2 ของ $a$ เมื่อ $a < 0$

เช่น ไม่มีรากที่ 2 ของ $-16$

เพราะไม่มีจำนวนจริง $X$ ใดที่ $X^2 = -16$

4) $\sqrt{a^2} = |a|$

การหารากที่ 2

1. เทคนิคสำหรับการหารากที่ 2 ที่มีค่าเป็น จำนวนเต็ม

2. การหารากที่ 2 ด้วย วิธีตั้งหาร

น้อง ๆ คนไหนอยากเรียนรู้ เทคนิคการหารากที่ 2 ด้วยวิธีตั้งหารแบบละเอียด กดดูคลิปด้านล่างนี้แล้วฝึกไปพร้อมกับพี่เอ๋ได้เลย!!

รากที่ 3 (Cube Root)

หลังจากที่ได้เรียนเรื่องรากที่ 2 กันไปแล้ว หัวข้อต่อมาที่น้องจะต้องเจอในบทจำนวนจริง ม.2 คือ รากที่ 3 นั่นเองครับ ซึ่งพี่สรุปนิยามและวิธีการหารากที่ 3 ไว้ให้แล้ว ตามมาดูเลย!

นิยาม

เมื่อ $X, a$ เป็นจำนวนจริง

$X$ จะเป็นรากที่ 3 ของ $a$ ก็ต่อเมื่อ $X^3 = a$

ตัวอย่างของรากที่ 3

$2$ เป็นรากที่ 3 ของ $8$ เพราะ $(2)^3 = 8$

$-3$ เป็นรากที่ 3 ของ $-27$ เพราะ $(-3)^3 = -27$

📌 ข้อควรรู้!

1) รากที่ 3 ของ $a$ เมื่อ $a > 0$ จะมีค่า คือ $\sqrt[3]{a}$

และมีค่าเป็นบวก (เหมือน $a$ )

เช่น รากที่ 3 ของ $64 = \sqrt[3]{64} = 4 (4^3 = 64)$

2) รากที่ 3 ของ $a$ เมื่อ $a < 0$ จะมีค่าเดียว คือ $\sqrt[3]{a}$

และมีค่าเป็นลบ (เหมือน $a$ )

เช่น รากที่ 3 ของ $-125 = \sqrt[3]{125} = -5((-5)^3 = -125)$

3) รากที่ 3 ของ 0 คือ 0

4) ค่าหลักของรากที่ 3 ของ $a = \sqrt[3]{a}$

5) $\sqrt[3]{a^3} = a$

การหารากที่ 3

เทคนิคสำหรับการหารากที่ 3 ที่มีค่าเป็น จำนวนเต็ม

โชคดีอย่างหนึ่งสำหรับการหารากที่ 3 ด้วยเทคนิคนี้ก็คือ ใน ขั้นที่ 2 การหาเลขโดดที่ยกกำลังสามแล้วได้เลขท้ายตรงกับช่วงหลัง จะมีเพียง 1 กรณีเสมอ (ดูได้จากตารางด้านบนเลยครับ) แต่ ควรระวัง!! ด้วยว่า การที่น้อง ๆ จะใช้เทคนิคนี้ได้นั้นต้องมั่นใจว่ารากที่ 3 ที่ออกมาเป็นจำนวนเต็ม สำหรับกรณีที่รากที่ 3 ออกมาแล้วไม่เป็นจำนวนเต็ม อาจต้องใช้วิธีการประมาณค่าครับ

รากที่ n

นอกจากจะมีรากที่ 2 และรากที่ 3 แล้ว ในบทความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง น้อง ๆ ก็จะได้เรียนเกี่ยวกับ รากที่ n ด้วย ถ้าอยากรู้ว่า รากที่ n แตกต่างจากรากที่ 2 และรากที่ 3 ยังไง? พี่สรุปนิยามและมีตัวอย่างมาให้ดูกันครับ

นิยาม

เมื่อ $X, a$ เป็นจำนวนจริง

$X$ จะเป็นรากที่ n ของ $a$ ก็ต่อเมื่อ $X^n = a$

ตัวอย่างของรากที่ n

$2$ เป็นรากที่ 4 ของ $16$ เพราะ $(2)^4 = 16$

$-3$ เป็นรากที่ 5 ของ $-243$ เพราะ $(-3)^5 = -243$

📌 ข้อควรรู้!

1) เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ รากที่ n จะคล้ายรากที่ 2 คือ

รากที่ n ของ $a$ เมื่อ $a > 0$ จะมีค่า 2 ค่า คือ $\sqrt[n]{a}$ และ $\sqrt[-n]{a}$
โดยมี $\sqrt[n]{a}$ เป็นค่าหลัก
รากที่ n ของ 0 คือ 0 เพียงค่าเดียว
ไม่มีรากที่ n ของ $a$ เมื่อ $a < 0$
$\sqrt[n]{a^n} = |a|$

เช่น รากที่ 4 ของ $81 = \sqrt[4]{81}$ , $\sqrt[-4]{81} = 3$ (ค่าหลัก), $-3$
รากที่ 6 ของ 0 = 0 (ค่าหลัก)
รากที่ 8 ของ $-64$ นั้นไม่มี ∵ ไม่มีเลขที่ยกกำลัง 8 แล้วเท่ากับ $-64$

2) เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ รากที่ n จะคล้ายรากที่ 3 คือ

รากที่ n ของ $a$ เมื่อ $a > 0$ จะมีค่าเดียวคือ $\sqrt[n]{a}$
และมีค่าเป็นบวก (เหมือน $a$ )
รากที่ n ของ $a$ เมื่อ $a < 0$ จะมีค่าเดียวคือ $\sqrt[n]{a}$
และมีค่าเป็นลบ (เหมือน $a$ )
รากที่ n ของ 0 คือ 0 เพียงค่าเดียว
$\sqrt[n]{a^n} = a$

เช่น รากที่ 3 ของ $-64 = \sqrt[3]{-64} = -4$
รากที่ 5 ของ $32 = \sqrt[5]{32} = 2$

สมบัติของรากที่ n ที่ควรรู้!

เมื่อ $a$ และ $b$ มีรากที่ n

การแก้สมการติดรูท (√)

มาถึงหัวข้อสุดท้ายของบทจำนวนจริง ม.2 อย่าง การแก้สมการติดรูท (√) แล้วนะครับ โดยการแก้สมการที่ติดรูทจะใช้การยกกำลัง 2 เพื่อแก้สมการ ซึ่งจะทำให้ √ หายไป แต่เมื่อได้คำตอบแล้วน้อง ๆ ต้องไม่ลืม ตรวจคำตอบเสมอ ด้วยนะ

ตัวอย่างการแก้สมการติดรูท (√)

ตัวอย่างโจทย์จำนวนจริง พร้อมเฉลย - พี่เอ๋ เดอะเบรน

ตามที่พี่บอกไปตอนต้นบทความว่า ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง ม.2 เป็นบทสำคัญของคณิตศาสตร์ ม.ต้น เพราะเป็นพื้นฐานสำหรับการต่อยอดความรู้ไปสู่ระดับ ม.ปลาย ที่สำคัญจำนวนจริงยังเป็นบทที่ออกข้อสอบสนามสำคัญอยู่บ่อย ๆ ด้วย

พี่เลยรวม แนวข้อสอบคณิตศาสตร์ เรื่องจำนวนจริง พร้อมเฉลยละเอียด มาให้น้อง ๆ ได้เห็นแนวโจทย์และระดับความง่าย – ยากของข้อสอบแต่ละสนามครับ

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 1 : ข้อสอบ O-NET

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 2 : ข้อสอบ O-NET

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 3 : ข้อสอบ MWIT (สอบเข้า ม.4 มหิดลวิทยานุสรณ์)

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 4 : ข้อสอบ MWIT (สอบเข้า ม.4 มหิดลวิทยานุสรณ์)

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 5 : ข้อสอบ TU (สอบเข้า ม.4 เตรียมอุดมศึกษา)

ติวคณิตศาสตร์ ม.2 กับ WE BY THE BRAIN ปูพื้นฐานแน่น เข้าใจง่าย ทำโจทย์ได้จริง

คณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 1 รวมทุกบท

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง

และนี่ก็คือ สรุปจำนวนจริง ม.2 ที่พี่จัดเต็มความรู้ให้ครบ ทั้งสรุปเนื้อหา เน้นจุดสำคัญ พร้อมตัวอย่างข้อสอบและเฉลย รับรองว่าอ่านจบแล้วจะช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจบทจำนวนจริงมากขึ้นแน่นอนครับ

แล้วถ้าน้อง ๆ อยากติวคณิตศาสตร์ ม.ต้น ให้พื้นฐานแน่น เรียนเข้าใจ ทำข้อสอบได้จริง เพื่อพิชิตเกรด 4 ในโรงเรียน หรือเตรียมความพร้อมสำหรับสนามสอบสำคัญ ๆ และการสอบเข้า ม.4 ก็สมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.2 เทอม 1 รวมทุกบท กับ WE BY THE BRAIN เพื่อ Up Skill คณิตไปพร้อมกันได้เลย!!

สมัครคอร์สนี้ดียังไง?

✔ เนื้อหาละเอียด ครบถ้วน ตรงตามหลักสูตรใหม่

✔ สอนตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงการแก้โจทย์ระดับยาก ด้วยเทคนิคการสอนที่เข้าใจง่าย

✔ พาน้อง ๆ ม.ต้น ฝึกทำโจทย์หลากหลายแนว พร้อมเสริมวิธีลัดที่แม่นยำ ช่วยลดเวลาการทำโจทย์ที่นำไปใช้ได้จริงในห้องสอบ

✔ สอนโดยติวเตอร์ทีมคณิตศาสตร์ ที่มีความเชี่ยวชาญเฉพาะด้าน และมีประสบการณ์สอนกว่า 20 ปี

คำถามที่พบบ่อย (FAQ) เกี่ยวกับ "จำนวนจริง ม.2"

“จำนวนจริง ม.ต้น” กับ “จำนวนจริง ม.ปลาย” ต่างกันยังไง?

สำหรับคณิตศาสตร์ ม.ต้น บทจำนวนจริง น้อง ๆ จะได้เรียนเนื้อหาตามหัวข้อที่พี่สรุปมาให้ด้านบนเลยครับ

ส่วนจำนวนจริง ม.ปลาย จะมีเนื้อหาบางส่วนที่เหมือนกับ ม.ต้น เช่น โครงสร้างของระบบจำนวนจริง, จำนวนตรรกยะ, จำนวนอตรรกยะ, จำนวนนับ, จำนวนเต็ม, ทฤษฎีบทเศษเหลือ, การหารพหุนาม, สมการกำลังสอง, การแยกตัวประกอบ เป็นต้น

แต่ก็จะมีเนื้อหาของ ม.ปลาย ที่เพิ่มเติมขึ้นมาจากจำนวนจริง ม.ต้น อีกมาก เช่น การแก้อสมการตัวแปรเดียวที่มีดีกรีมากกว่า 1, สมการค่าสัมบูรณ์, อสมการค่าสัมบูรณ์ เป็นต้น