สรุปเนื้อหา จำนวนจริง ม.4 แจกฟรี! แนวข้อสอบ TCAS พร้อมเฉลยละเอียด

หน้าหลัก » article » สรุปเนื้อหา จำนวนจริง ม.4 แจกฟรี! แนวข้อสอบ TCAS พร้อมเฉลยละเอียด

November 9, 2024

วันนี้ “พี่เอ๋” จะมาแจกสรุปเนื้อหาบท จำนวนจริง ม.4 ครับ ซึ่งบทนี้น้อง ๆ จะได้เรียนกันมาบ้างแล้วในวิชา คณิตศาสตร์ ม.ต้น ไม่ว่าจะเป็นจำนวนนับ, จำนวนเต็ม, จำนวนตรรกยะ, จำนวนอตรรกยะ, การแก้สมการพหุนามต่าง ๆ, เรื่องค่าสัมบูรณ์ เป็นต้น

ซึ่งในบทจำนวนจริง ม.4 จะเรียนเนื้อหาที่ละเอียดขึ้นและลึกลงไปมากกว่าตอน ม.ต้น โดยบทนี้จัดว่าเป็นพื้นฐานสำคัญในการเรียนต่อไปในบทอื่น ๆ ของ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย เช่น บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และอื่น ๆ อีกมากมาย เพราะบทระบบจำนวนจริง ม.ปลาย จะสอนให้น้อง ๆ รู้จักจำนวนต่าง ๆ การแก้สมการและอสมการในรูปแบบต่าง ๆ มากมายนั่นเอง

พี่เอ๋ได้สรุปและลิสต์จุดออกข้อสอบของบทนี้มาให้แล้ว นั่นคือ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ตัวประกอบของพหุนาม
การหารพหุนามด้วยขั้นตอนวิธีการหาร
การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
คำตอบของสมการพหุนาม
อสมการ
สมการค่าสมบูรณ์
อสมการค่าสมบูรณ์
โจทย์ปัญหาสมการเศษส่วนของพหุนาม

แล้วถ้าเราพูดถึงสถิติการออกข้อสอบของบทจำนวนจริง ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย น้อง ๆ สามารถดูได้จากตารางนี้เลย

จากตารางด้านบน ในปี 64 และปี 65 จะเป็นสถิติข้อสอบของวิชาคณิตศาสตร์ 1 วิชาสามัญ และข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ PAT1 และสำหรับปี 66 และปี 67 จะเป็นสถิติข้อสอบของวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level ครับ

เอาล่ะ! ถ้าอยากรู้ว่าในบทระบบจำนวนจริงจะได้เรียนเกี่ยวกับอะไร มีหัวข้อไหนน่าสนใจ และแนวข้อสอบมีความยาก – ง่ายประมาณไหน ก็ตามมาดู สรุปเนื้อหาจำนวนจริง ม.4 ที่พี่เอ๋นำมาฝากกันเลยครับ

จำนวนจริง ม.4 : โครงสร้างของระบบจำนวนจริง

หัวข้อแรกของบทจำนวนจริง ม.4 ที่น้อง ๆ จะได้เรียนกัน ก็คือ โครงสร้างของระบบจำนวนจริง ตามแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนชนิดต่าง ๆ ด้านล่างนี้ครับ

จำนวนจริง ม.4 : สมบัติของระบบจำนวนจริง

หัวข้อต่อมาน้อง ๆ จะได้เรียนรู้เกี่ยวกับ สมบัติของระบบจำนวนจริง โดยสมบัติสำคัญที่ควรจำให้ได้มีดังนี้

สมบัติปิด

สมบัติปิดการบวก
ถ้า a, b ∈ R แล้ว a + b ∈ R
สมบัติปิดการคูณ
ถ้า a, b ∈ R แล้ว a · b ∈ R

สมบัติการสลับที่

สมบัติการสลับที่การบวก
a + b = b + a
สมบัติการสลับที่การคูณ
a · b = b · a

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก
(a + b) + c = a + (b +c)
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ
(ab)c = a(bc)

สมบัติการมีเอกลักษณ์

สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก
0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
0 + a = a = a + 0
สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ
1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
1 · a = a = a · 1

สมบัติการมีอินเวอร์ส

สมบัติการมีอินเวอร์สการบวก
-a เป็นอินเวอร์สการบวกของ a
(-a) + a = 0 = a + (-a)
สมบัติการมีอินเวอร์สการคูณ
$\frac{1}{a}$ เป็นอินเวอร์สการคูณของ a
$\frac{1}{a}$ · a = 1 = a · $\frac{1}{a}$ เมื่อ a ≠ 0

สมบัติการแจกแจง

สมบัติการแจกแจงการบวกและการคูณ
a(b + c) = ab + ac

สมบัติปิด

เมื่อนำสมาชิกใด ๆ ในเซตมากระทำกันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้ยังคงเป็นสมาชิกในเซตนั้นเสมอ ถือว่ามีสมบัติปิด

เช่น เซตของจำนวนจริงมีสมบัติปิดการบวก และสมบัติปิดการคูณ
เพราะจำนวนจริง 2 จำนวนใด ๆ มาบวกหรือคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนจริงเสมอ

แต่เซตของจำนวนอตรรกยะไม่มีสมบัติปิดการบวก และไม่มีสมบัติปิดการคูณ
เพราะมีจำนวนอตรรกยะบางคู่ที่บวก , คูณกันแล้วผลลัพธ์ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ เช่น

$\sqrt{3}$ + $(-\sqrt{3})$ = 0 โดย 0 ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ
$\sqrt{2}$ ・ $\sqrt{2}$ = 2 โดย 2 ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ

เอกลักษณ์ “e * a = a = a * e”

เอกลักษณ์ คือ จำนวนที่ไปกระทำกับจำนวนใด ๆ ก็ตามในเซต แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ a เดิม

0 + a = a = a + 0 เมื่อ a ∈ R แสดงว่า เอกลักษณ์การบวกของจำนวนจริงใด ๆ คือ 0
1 · a = a = a · 1 เมื่อ a ∈ R แสดงว่า เอกลักษณ์การคูณของจำนวนจริงใด ๆ คือ 1

อินเวอร์ส “เมื่ออินเวอร์สสำหรับ * ของ a คือ x แล้ว x * a = e = a * x”

อินเวอร์สของ a กระทำกับ a จะได้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์

เช่น (-2) + 2 = 0 = 2 + (-2)
จะพบว่า -2 เป็นอินเวอร์สการบวกของ 2

$\frac{1}{3}$ · 3 = 1 = 3 · $\frac{1}{3}$
จะพบว่า $\frac{1}{3}$ เป็นอินเวอร์สการบวกของ 3

เซตใดจะมีสมบัติอินเวอร์ส เซตนั้นต้องมีเอกลักษณ์ และสมาชิกทุกตัวในเซตต้องหาอินเวอร์สได้ อีกทั้งอินเวอร์สที่หาได้ต้องอยู่ในเซตเดิมเสมอ

จำนวนจริง ม.4 : ทฤษฎีบทเศษเหลือ

“ ตัวหารเป็นพหุนามดีกรี 1 และเศษเป็นตัวเลขเสมอ ”

หารพหุนาม P(x) ด้วย x – c เศษตอบ P(c)

จำนวนจริง ม.4 : การหารพหุนามแบบขั้นตอนวิธีการหาร

“ นิยมใช้เมื่อเจอโจทย์ที่ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ”

เศษ R(x) จะมีดีกรีน้อยกว่า ตัวหาร Q(x) เสมอ

จำนวนจริง ม.4 : การหารสังเคราะห์

“ ตัวหารต้องเป็นพหุนามดีกรี 1 ที่มี ส.ป.ส หน้า x เป็น 1 ”

Note ถ้าใช้หารสังเคราะห์ในกรณี ส.ป.ส หน้า x ของตัวหาร ไม่ใช่ 1 เศษตอบได้เลย แต่ผลหารให้นำไปหารด้วย ส.ป.ส. หน้า x ของตัวหารก่อน แล้วค่อยตอบ

จำนวนจริง ม.4 : สมการกำลัง 2

รูปแบบ ax² + b + c = 0 โดย a ≠ 0

วิธีที่ 1

ถ้า ax² + b + c แยกเป็น 2 วงเล็บได้ ก็ให้แยกเป็นสองวงเล็บ

เช่น จงแก้สมการ 3x² + 5x – 2 = 0
3x² + 5x – 2 = 0
(3x – 1)(x + 2) = 0
∴ x = $\frac{1}{3}$ , –2

วิธีที่ 2

ใช้สูตร โดย x = $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$

ซึ่ง 1) จะมี 2 คำตอบที่เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน เมื่อ b² – 4ac > 0

2) จะมี 1 คำตอบ (มองว่ารากซ้ำกัน 2 ตัว) ที่เป็นจำนวนจริง เมื่อ b² – 4ac = 0
3) จะมี 2 คำตอบแต่ไม่ใช่จำนวนจริง เมื่อ b² – 4ac < 0

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

พหุนาม P(x) จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ P(c) = 0

จำนวนจริง ม.4 : การแยกตัวประกอบ

ให้ P(x) = a_nx_n + a_n–1x^n–1 + … + a₁x + a₀ เมื่อ a₀ , a₁ , … , a_n ∈ Z

แบบที่ 1 : สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุดเป็น 1 (a_n = 1)

หาตัวประกอบของ a₀ ทั้งหมด (ทั้งจำนวนบวกและลบ)
ถ้า c เป็นตัวประกอบของ a₀ ซึ่งทำให้ P(c) = 0 จะได้
x – c เป็นตัวประกอบของ P(x)
เข้าสู่กระบวนการหารสังเคราะห์

แบบที่ 2 : สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุดไม่เป็น 1 (a_n ≠ 1)

หาตัวประกอบของ a_n แล้วให้เป็น m
หาตัวประกอบของ a₀ แล้วให้เป็น k
ถ้า $\frac{k}{m}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งทำให้ P $(\frac{k}{m})$ = 0 จะได้
x – $\frac{k}{m}$ เป็นตัวประกอบของ P(x)
เข้าสู่กระบวนการหารสังเคราะห์

จำนวนจริง ม.4 : ผลบวกและผลคูณของคำตอบทั้งหมด (Viete)

เพิ่มเติม

กรณี n = 3 P(x) = x³ + a₂x² + a₁x + a₀

เราได้ว่า ถ้าคำตอบทั้งหมด คือ x₁ , x₂ , x₃

x₁ + x₂ + x₃ = -a₂ และ x₁ · x₂ · x₃ = -a₀

เรายังได้อีกว่า x₁ · x₂ + x₁ · x₃ + x₂ · x₃ = a₁

จำนวนจริง ม.4 : สมการเศษส่วนของพหุนาม

เศษส่วนของพหุนาม

ให้ p(x) และ q(x) เป็นพหุนามโดยที่ q(x) ≠ 0

จะเรียก $\frac{p(x)}{q(x)}$ ว่าเศษส่วนของพหุนาม

ที่มี p(x) เป็นตัวเศษ และ q(x) เป็นตัวส่วน

เช่น $\frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$ เมื่อ x³ – 1 ≠ 0

หรือ $\frac{2x - 1}{x^2 + x - 6}$ เมื่อ x² + x – 6 ≠ 0

การบวก, การลบ, การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

$\frac{p(x)}{q(x)}$ + $\frac{r(x)}{q(x)}$ = $\frac{p(x) + r(x)}{q(x)}$ , q(x) ≠ 0
$\frac{p(x)}{q(x)}$ – $\frac{r(x)}{q(x)}$ = $\frac{p(x) - r(x)}{q(x)}$ , q(x) ≠ 0
$\frac{p(x)}{q(x)}$ · $\frac{r(x)}{s(x)}$ = $\frac{p(x) \dot\ r(x)}{q(x) \dot\ s(x)}$ , q(x) ≠ 0 และ s(x) ≠ 0
$\frac{p(x)}{q(x)}$ ÷ $\frac{r(x)}{s(x)}$ = $\frac{p(x)}{q(x)}$ × $\frac{s(x)}{r(x)}$ , q(x) ≠ 0 , s(x) ≠ 0 และ r(x) ≠ 0

= $\frac{p(x) \dot\ s(x)}{q(x) \dot\ r(x)}$

สมการเศษส่วนของพหุนาม

สมการเศษส่วนของพหุนาม คือ สมการที่สามารถจัดอยู่ในรูป

$\frac{p(x)}{q(x)}$ = 0 , q(x) ≠ 0

โดยเซตคำตอบของ $\frac{p(x)}{q(x)}$ = 0 คือ เซตของจำนวนจริง x

ซึ่ง p(x) = 0 และ q(x) ≠ 0

สมัครเรียนพิเศษ คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ WE BY THE BRAIN คลิกเลย!

คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level รวมทุกบท

ตะลุยโจทย์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 รวมทุกบท

ระบบจำนวนจริง

ระบบจำนวนจริง A-Level

จำนวนจริง ม.4 : เทคนิคการแก้อสมการตัวแปรเดียว

ขั้นที่ 1

จัดอสมการให้อยู่ในรูป

ซ้ายมือ เป็นวงเล็บของ x ดีกรี 1 คูณกัน
โดยสัมประสิทธิ์หน้า x ต้องเป็นบวก (A, B, C, ….. > 0)
ขวามือ ต้องเป็น 0

หมายเหตุ หากสัมประสิทธิ์หน้า x ติดลบ ให้คูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย -1 และกลับเครื่องหมายอสมการเป็นตรงข้ามด้วย (ถ้ามีมากกว่า 1 วงเล็บ คู่วงเล็บเครื่องหมายสุดท้ายจะเหมือนเดิม คี่วงเล็บเครื่องหมายสุดท้ายจะเปลี่ยนเป็นตรงข้าม)

ขั้นที่ 2

จับแต่ละวงเล็บเท่ากับ 0 จะได้ค่า x ออกมา แล้วนำค่า x นั้นไปลงบนเส้นจำนวน จะพบว่า เส้นจำนวนถูกแบ่งเป็นช่วงสั้น ๆ

ขั้นที่ 3

ให้ขวามือสุดเป็นบวก จากนั้นใส่ – , + สลับไปเรื่อย ๆ

ขั้นที่ 4

ถ้าอสมการในขั้นที่ 1 เป็น ≥ 0 หรือ > 0 ให้ตอบช่วงที่เป็นบวก
แต่ถ้าเป็น ≤ 0 หรือ < 0 ให้ตอบช่วงที่เป็นลบ และสำหรับ ≥ 0 , ≤ 0 (มีเครื่องหมาย = ร่วมด้วย) ให้ระบายจุด x จากขั้นที่ 2 (จุดปลายของช่วง) เป็นคำตอบด้วย

กรณีซ้ายมือมีวงเล็บด้านล่างด้วย ” วงเล็บหารกันทำเหมือนวงเล็บคูณกัน แต่เมื่อเป็นเศษส่วน ส่วนห้ามเป็นศูนย์ “

จำนวนจริง ม.4 : ค่าสัมบูรณ์

นิยาม

สมบัติสำคัญ

การแก้สมการที่ติดค่าสัมบูรณ์

การแก้สมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ มีรูปแบบหลัก 4 รูปแบบ ได้แก่

1. |☐| = ตัวเลขบวก

หลักการ แยก 2 กรณี

“ เท่ากับตัวเดิม หรือ เท่ากับตัวติดลบ ”

2. |☐| = ∆

หลักการ แยก 2 กรณี และต้องตรวจคำตอบด้วย โดย ∆ ≥ 0

“ เท่ากับตัวเดิม หรือ เท่ากับตัวติดลบ และ ตรวจคำตอบด้วย ”

3. |☐| = ☐ อ้าง ☐ ≥ 0
|☐| = – ☐ อ้าง ☐ ≤ 0

4. |☐| = |∆|

หลักการ ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง หรือใช้สูตร
☐ = ∆ หรือ ☐ = – ∆

“ เท่ากับตัวเดิม หรือ เท่ากับตัวติดลบ ”

สำหรับสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ที่นอกเหนือจาก 4 รูปแบบนี้ จะใช้การแบ่งกรณี หรือสมบัติต่าง ๆ ช่วยแก้

การแก้อสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์

การแก้อสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ มีรูปแบบหลัก 3 รูปแบบ ได้แก่

1. |☐| ≥ a
จะได้ ☐ ≥ a หรือ ☐ ≤ -a

|☐| > a
จะได้ ☐ > a หรือ ☐ < -a

“ ค่าสัมบูรณ์ต่อด้วยเครื่องหมายมากกว่าจะได้มากกว่าตัวเดิม หรือ น้อยกว่าตัวติดลบ ”

2. |☐| ≤ a
จะได้ -a ≤ ☐ ≤ a

|☐| < a
จะได้ -a < ☐ < a

“ ค่าสัมบูรณ์ต่อด้วยเครื่องหมายน้อยกว่า จะได้อยู่ระหว่างตัวติดลบกับตัวเดิม ”

3. |☐| ≥ |∆| (หรือ > หรือ ≤ หรือ <)

หลักการ ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง หรือใช้สูตร
(☐ – ∆)(☐ + ∆) ≥ 0

“ หน้าลบหลัง คูณ หน้าบวกหลัง เครื่องหมายเดิม ตามด้วยศูนย์ ”

สำหรับอสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ที่นอกเหนือจาก 3 รูปแบบนี้ จะใช้การแบ่งกรณี หรือสมบัติต่าง ๆ ช่วยแก้ครับ

เทคนิคการแบ่งกรณี

จำนวนจริง ม.4 : การแก้สมการและอสมการที่ติด ROOT

สมการติด ROOT

หลักการ ยกกำลัง 2 และตรวจคำตอบเสมอ

อสมการติด ROOT

หลักการ

ขั้นที่ 1 สร้างเงื่อนไข $\sqrt{\square}$ → ☐ ≥ 0
ถ้ามีมากกว่า 1 เงื่อนไข ให้นำมา ∩ กัน

ขั้นที่ 2 ยกกำลัง 2 โดย 2 ข้างต้อง ≥ 0

ขั้นที่ 3 นำคำตอบ ∩ เงื่อนไข

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย วิชาคณิตศาสตร์ - จำนวนจริง

หลังจากที่น้อง ๆ ได้ทบทวนเนื้อหาและสูตรสำคัญของบทจำนวนจริง ม.4 จบไปแล้ว คราวนี้มาลองแก้โจทย์คณิตศาสตร์บทนี้บ้างดีกว่า โดยพี่เอ๋รวบรวม ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย บทจำนวนจริง พร้อมเฉลยละเอียด มาฝากกัน ถ้าพร้อมแล้วก็ลุยได้เลย!!

ข้อสอบจำนวนจริง พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

ข้อสอบจำนวนจริง พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

ข้อสอบจำนวนจริง พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

ข้อสอบจำนวนจริง พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

ข้อสอบจำนวนจริง พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

พี่เอ๋หวังว่าบทความนี้จะช่วยให้น้อง ๆ ได้รับความรู้และมีความเข้าใจในเนื้อหา บทจำนวนจริง ม.4 มากขึ้นนะครับ แล้วสำหรับใครที่อยากจะติวคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทนี้ให้พื้นฐานแน่นยิ่งขึ้น ก็สมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทย่อย – ระบบจำนวนจริง ได้เลย เพราะพี่สรุปเนื้อหาไว้แบบกระชับเข้าใจง่าย พร้อมพาตะลุยโจทย์หลากหลาย ไล่ระดับตั้งแต่ง่าย – ยาก และที่สำคัญน้อง ๆ จะได้เรียนรู้เทคนิคทริกลัดที่ช่วยให้แก้โจทย์ไว ใช้ได้จริงในห้องสอบ พร้อมพิชิตข้อสอบคณิตศาสตร์อย่างมั่นใจ!!

ใครอยากเก่งคณิต อยากได้โจทย์และเทคนิคดี ๆ จากพี่ ๆ ติวเตอร์ WE MATH รีบกดติดตามก่อนใครได้ที่ช่องทางด้านล่างนี้เลย!

Facebook Page : WE BY THE BRAIN
Instagram : webythebrain
Youtube : WE BY THE BRAIN
Tiktok : คณิต เดอะเบรน
Lemon8 : คณิต เดอะเบรน