สรุป ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS แจกฟรี!

หน้าหลัก » article » สรุป ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS แจกฟรี!

November 1, 2024

น้อง ๆ หลายคนพอเห็นชื่อบท ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม อาจจะคิดว่าบทนี้ต้องยากแน่ ๆ เลย เพราะแค่ชื่อก็ดูน่ากลัวแล้ว แต่จริง ๆ แล้วบทนี้ไม่ยากมากอย่างที่หลาย ๆ คนกลัวกันเลยนะครับ ถ้าน้อง ๆ เรียนอย่างเข้าใจ จับหลักการสำคัญ จำสูตรและเทคนิคได้ บวกกับการฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอ “พี่กอล์ฟ” บอกได้เลยว่าบทนี้จะเป็นบทเก็บคะแนนของน้อง ๆ ไม่ว่าจะเป็นการสอบที่โรงเรียน หรือข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยอย่าง A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1

โดยบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมนี้ จะอยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 แต่ก็อาจจะมีบางโรงเรียนที่จัดไว้ในเนื้อหา ม.5 เทอม 1 ด้วย

สำหรับพื้นฐานความรู้ที่น้อง ๆ จะต้องมีเพื่อให้เรียนบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมได้ดีและมีประสิทธิภาพ คือ ความรู้เรื่องเลขยกกำลัง, ราก, กรณฑ์ ของคณิตศาสตร์ ม.ต้น และในเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ของคณิตศาสตร์ ม.4

เดี๋ยวเราไปดู เนื้อหา จุดเน้น รวมถึงแนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ของบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมกันเลยดีกว่าครับ 😊

เลขยกกำลัง

เริ่มต้นหัวข้อแรกของบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมนี้ จะเป็นการทบทวนเรื่อง เลขยกกำลัง ซึ่งน้อง ๆ ได้เรียนกันมาแล้วตอน ม.ต้น แต่ในช่วงต้นบทจะทบทวนอีกครั้ง เพราะเรื่องเลขยกกำลังเป็นพื้นฐานที่สำคัญมาก ๆ ในบทนี้ครับ

บทนิยาม

ให้ a เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

เรียก aⁿ ว่า เลขยกกำลัง
เรียก a ว่า ฐานของเลขยกกำลัง
เรียก n ว่า เลขชี้กำลัง

สมบัติของเลขยกกำลัง

ให้ a, b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็น 0, m และ n เป็นจำนวนตรรกยะ

1. a^m ⋅ aⁿ= a^m+n
2. $\frac{a^m}{a^n}$ = a^m-n
3. (a^m)ⁿ= a^mn
4. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
5. $(\frac{a}{b})$ ⁿ = $\frac{a^n}{b^n}$
6. a⁰= 1
7. a^-n = $\frac{1}{a^n}$

รากที่สองในระบบจำนวนจริง และรากที่ n ในระบบจำนวนจริง

บทนิยาม

ให้ x และ y เป็นจำนวนจริง
y เป็นรากที่สองของ x ก็ต่อเมื่อ y²= x

บทนิยาม

ให้ x และ y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1
y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ yⁿ = x

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ (ค่าหลักของรากที่ n)

บทนิยาม

ให้ x และ y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1
y เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ

1. y เป็นรากที่ n ของ x และ
2. xy ≥ 0

แทนค่าหลักของรากที่ n ของ x ด้วย $\sqrt[n]{x}$ อ่านว่า กรณฑ์ที่ n ของ x

สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

บทนิยาม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป {(x, y) ∈ R x R⁺ ∣ y = a^x} โดยที่ a เป็นจำนวนจริง ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1

จากนิยาม พบว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะมีความสัมพันธ์แบบเลขยกกำลัง โดยมีเลขชี้กำลังเป็นตัวแปร และฐานเป็นจำนวนจริง

เช่น y = 2^x , y = 5^x , y = $(\frac{2}{3})$ ^x แต่ถ้าเป็น y = x² , y = x⁵ แบบนี้จะไม่ใช่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

สมัครเรียนพิเศษ คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่ WE BY THE BRAIN คลิกเลย!

คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level รวมทุกบท

ตะลุยโจทย์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 กลุ่ม A รวมทุกบท

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม A-Level

กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล สามารถแบ่งได้เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม กับ ฟังก์ชันลด โดยดูจากฐาน (a) ของ y = a^x

1. ถ้า a > 1 จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม เช่น y = 5^x , y = 3^x
2. ถ้า 0 < a < 1 จะเป็นฟังก์ชันลด เช่น y = $(\frac{์1}{2})$ ^x , y = $(\frac{์4}{7})$ ^x

สมการเอกซ์โพเนนเชียล

สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังติดตัวแปร มีหลักการแก้ดังนี้

1. ทำฐานทั้ง 2 ข้างของสมการให้เท่ากัน

ถ้า a^m = aⁿ แล้ว m = n

2. ถ้าฐานไม่เท่ากัน แต่เลขชี้กำลังเท่ากัน ให้อ้างว่าเลขชี้กำลังเท่ากับศูนย์

ถ้า a^m = b^m แล้ว m = 0

อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล จะใช้หลักการของฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

Note สำหรับเครื่องหมาย < , ≤ , ≥ ก็ใช้หลักการเดียวกัน

ฟังก์ชันลอการิทึม

บทนิยาม

ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป {(x, y) ∈ R⁺ x R ∣ y = log_ax} โดยที่ a เป็นจำนวนจริง ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1

ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล นั่นคือ

x = a^y ก็ต่อเมื่อ y = log_ax

จากนิยามด้านบน มีจุดที่น้อง ๆ ต้องระมัดระวัง คือ
1. เลขที่อยู่ด้านหลัง log ต้องมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ
2. ฐานของ log ต้องเป็นจำนวนจริงบวก และไม่เท่ากับหนึ่ง

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จะคล้ายกับกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ แบ่งได้เป็นฟังก์ชันเพิ่มกับฟังก์ชันลด โดยดูจากฐาน (a) ของ y = log_ax

1. ถ้า a > 1 จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม เช่น y = log₂x , y = log₇x
2. ถ้า 0 < a < 1 จะเป็นฟังก์ชันลด เช่น y = $log_\frac{์1}{2}$ x , y = $log_\frac{์4}{9}$ x

ลอการิทึมสามัญ

ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับสิบ และโดยทั่ว ๆ ไป ลอการิทึมฐาน 10 จะไม่นิยมเขียนฐาน เช่น log x = log₁₀x , log 15 = log₁₀15

ลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติ หรือ ลอการิทึมแบบเนเปียร์ คือ ลอการิทึมฐาน e เมื่อ e เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวนอตรรกยะจำนวนหนึ่งซึ่งมีค่าประมาณ 2.71828182846 นิยมเขียน lnx แทน log_ex

สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม

ในการเรียนบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 สมบัติต่าง ๆ ของฟังก์ชันลอการิทึม นับเป็นหัวใจสำคัญของบทนี้เลยครับ น้อง ๆ จะต้องจำสมบัติต่าง ๆ เหล่านี้ให้แม่นยำ เพราะจะถูกนำมาใช้ตลอดทั้งการคำนวณค่าตัวเลข จนถึงการแก้สมการและอสมการลอการิทึม

ให้ a, b, c, M และ N เป็นจำนวนจริงบวกที่ a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠ 1 และ k เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

สมการลอการิทึม

หลักการแก้สมการลอการิทึม

ให้ a > 0 และ a ≠ 1 ถ้า log_am = log_an แล้ว m = n

ข้อควรระวัง

ทุกครั้งที่แก้สมการลอการิทึมเสร็จ น้อง ๆ จะต้องนำคำตอบที่ได้ไปตรวจสอบเสมอนะครับ โดยต้องตรวจสอบ 2 ที่ คือ

1. เลขที่อยู่ด้านหลัง log ต้องมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ
2. ฐานของ log ต้องเป็นจำนวนจริงบวก และไม่เท่ากับหนึ่ง

อสมการลอการิทึม

การแก้อสมการลอการิทึม จะใช้หลักการของฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

Note สำหรับเครื่องหมาย <, ≤, ≥ ก็ใช้หลักการเดียวกัน

การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

สำหรับความรู้ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับศาสตร์ด้านอื่น ๆ ได้มากมาย ทั้งฟิสิกส์, เคมี, เศรษฐศาสตร์ ฯลฯ ยกตัวอย่างเช่น

1. ระดับเสียง

ระดับเสียง (sound level) เป็นการเปรียบเทียบความเข้มเสียงนั้นกับความเข้มเสียงเบาที่สุดที่มนุษย์ได้ยิน เนื่องจากความเข้มเสียงที่มนุษย์ได้ยินอยู่ในช่วง 10^-12 วัตต์ต่อตารางเมตร ถึง 1 วัตต์ต่อตารางเมตร ซึ่งเป็นช่วงที่กว้างมาก ดังนั้น เพื่อความสะดวกในการจัดลำดับความเข้มเสียง จึงนิยมใช้ระดับเสียงเป็นตัวบอกความดังของเสียงแทนความเข้มของเสียง ซึ่งสามารถคำนวณได้ดังนี้

β = $10log\frac{์I}{I_0}$

เมื่อ β แทน ระดับเสียง มีหน่วยเป็นเดซิเบล
I แทน ความเข้มเสียงที่ต้องการวัด มีหน่วยเป็นวัตต์ต่อตารางเมตร
I₀ แทน ความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่มได้ยิน ซึ่งเท่ากับ 10^-12 วัตต์ต่อตารางเมตร

2. ระดับความเป็นกรด - เบส

ระดับความเป็นกรด – เบส (pH) ของสารละลาย สามารถคำนวณได้ดังนี้

pH = -log[H₃O⁺]

เมื่อ pH แทน ระดับความเป็นกรด – เบสของสารละลาย
[H₃O⁺] แทน ความเข้มข้นของไฮโดรเจนไอออน มีหน่วยเป็นโมลต่อลิตร

3. ดอกเบี้ยทบต้น

การฝากเงินที่มีการคิด ดอกเบี้ยทบต้นต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทุกสิ้นปี สามารถคำนวณได้ดังนี้

B(n) = B₀(1+r)ⁿ

เมื่อ B(n) แทน จำนวนเงินฝากในบัญชี เมื่อสิ้นสุดปีที่ n
B₀ แทน จำนวนเงินฝากเริ่มต้น
r แทน อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อปี

4. การเพิ่มจำนวนแบคทีเรีย

การเพิ่มขึ้นของจำนวนแบคทีเรีย ซึ่งเป็นไปอย่างต่อเนื่องตลอดเวลา สามารถคำนวณได้ดังนี้

n(t) = n₀e^rt

เมื่อ n(t) แทน จำนวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผ่านไป t ชั่วโมง
n₀ แทน จำนวนแบคทีเรียเมื่อเวลาเริ่มต้น
r แทน อัตราการเพิ่มขึ้นของจำนวนแบคทีเรียต่อเวลา

และนี่คือ เนื้อหาและสูตรที่สำคัญในบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ที่น้อง ๆ ควรรู้ก่อนเข้าห้องสอบนะครับ น้อง ๆ จะเห็นว่าบทนี้ไม่ได้ยากอย่างที่หลาย ๆ คนกลัวกันเลย

ซึ่งจุดเน้นในบทนี้ที่ข้อสอบมักจะออกบ่อย ๆ ทั้งข้อสอบกลางภาค ข้อสอบปลายภาค ไปจนถึงข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย อย่างข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 ก็คือ

1. สมการ ทั้งสมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทึม
2. อสมการ ทั้งอสมการเอกซ์โพเนนเชียลและอสมการลอการิทึม
3. การใช้สมบัติของลอการิทึมในการคำนวณเลข
4. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม
5. โจทย์ปัญหาต่าง ๆ เกี่ยวกับเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

ถ้าน้อง ๆ ทบทวนตามหัวข้อเหล่านี้และฝึกฝนทำโจทย์ให้คล่อง พี่กอล์ฟมั่นใจว่าน้อง ๆ จะต้องเก็บคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์บทนี้ได้อย่างแน่นอนครับ

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย วิชาคณิตศาสตร์ - ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

นอกจากจะมีสรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม มาฝากน้อง ๆ แล้ว พี่ไม่ลืมที่จะนำ ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ พร้อมเฉลยละเอียด มาให้น้อง ๆ ได้ดูเป็นแนวทางไว้สำหรับเตรียมความพร้อมก่อนสอบด้วยครับ ตามไปดูเลย!

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

สำหรับน้อง ๆ ที่กำลังมองหาตัวช่วยติวคณิตศาสตร์ บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม เพื่อเพิ่มความเข้าใจให้ความรู้แน่นขึ้น สามารถสมัครเรียน คอร์สคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทย่อย – ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม กับ WE BY THE BRAIN ได้เลย ในคอร์สนี้สรุปเนื้อหาครบถ้วน กระชับ เข้าใจง่าย พร้อมทั้งมีโจทย์หลายแนวให้น้อง ๆ ได้ฝึกฝน และยังได้เรียนรู้เทคนิคทริกลัดที่จะช่วยให้แก้โจทย์เร็วขึ้น พาน้อง ๆ คว้าเกรด 4 อย่างมั่นใจ และเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในอนาคต ✌️

ใครอยากเก่งคณิต อยากได้โจทย์และเทคนิคดี ๆ จากพี่ ๆ ติวเตอร์ WE MATH รีบกดติดตามก่อนใครได้ที่ช่องทางด้านล่างนี้เลย!

Facebook Page : WE BY THE BRAIN
Instagram : webythebrain
Youtube : WE BY THE BRAIN
Tiktok : คณิต เดอะเบรน
Lemon8 : คณิต เดอะเบรน

สรุป ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 พร้อมแนวข้อสอบ TCAS แจกฟรี!

สนใจหัวข้อไหน คลิกอ่านเลย!

เลขยกกำลัง

สมบัติของเลขยกกำลัง

รากที่สองในระบบจำนวนจริง และรากที่ n ในระบบจำนวนจริง

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ (ค่าหลักของรากที่ n)

สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

สมการเอกซ์โพเนนเชียล

อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันลอการิทึม

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

ลอการิทึมสามัญ

ลอการิทึมธรรมชาติ

สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม

สมการลอการิทึม

อสมการลอการิทึม

การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

1. ระดับเสียง

2. ระดับความเป็นกรด - เบส

3. ดอกเบี้ยทบต้น

4. การเพิ่มจำนวนแบคทีเรีย

ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย พร้อมเฉลย วิชาคณิตศาสตร์ - ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 1

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 2

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 3

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 4

• ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย ข้อที่ 5

บทความที่เกี่ยวข้อง

เกี่ยวกับ WE

คอร์ส ประถม

คอร์ส ม.ต้น

คอร์ส สอบเข้า ม.4

คอร์ส ม.ปลาย

คอร์สเพื่อสอบเข้ามหาวิทยาลัย

เว็บไซต์นี้ใช้คุกกี้