สรุป ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 | สูตรสำคัญ + แนวข้อสอบจริง TCAS

November 1, 2024

น้อง ๆ หลายคนพอเห็นชื่อบท ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม อาจจะคิดว่าบทนี้ต้องยากแน่ ๆ เลย เพราะแค่ชื่อก็ดูน่ากลัวแล้ว แต่จริง ๆ แล้วบทนี้ไม่ยากมากอย่างที่หลาย ๆ คนกลัวกันเลยนะครับ ถ้าน้อง ๆ เรียนอย่างเข้าใจ จับหลักการสำคัญ จำสูตรและเทคนิคได้ บวกกับการฝึกทำโจทย์อย่างสม่ำเสมอ “พี่กอล์ฟ – เดอะเบรน” บอกได้เลยว่าบทนี้จะเป็นบทเก็บคะแนนของน้อง ๆ ไม่ว่าจะเป็นการสอบที่โรงเรียน หรือข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยอย่าง A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1

โดยบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมนี้ จะอยู่ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 แต่ก็อาจจะมีบางโรงเรียนที่จัดไว้ในเนื้อหา ม.5 เทอม 1 ด้วย

สำหรับพื้นฐานความรู้ที่น้อง ๆ จะต้องมีเพื่อให้เรียนบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมได้ดีและมีประสิทธิภาพ คือ ความรู้เรื่องเลขยกกำลัง, ราก, กรณฑ์ ของคณิตศาสตร์ ม.ต้น และในเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ของคณิตศาสตร์ ม.4

เดี๋ยวเราไปดู เนื้อหา จุดเน้น รวมถึงแนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ของบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมกันเลยดีกว่าครับ 😊

เลขยกกำลัง

เริ่มต้นหัวข้อแรกของบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมนี้ จะเป็นการทบทวนเรื่องเลขยกกำลัง ซึ่งน้อง ๆ ได้เรียนกันมาแล้วตอน ม.ต้น แต่ในช่วงต้นบทจะทบทวนอีกครั้ง เพราะเรื่องเลขยกกำลังเป็นพื้นฐานที่สำคัญมาก ๆ ในบทนี้ครับ

บทนิยาม

ให้ $a$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

เรียก $a^{n}$ ว่า เลขยกกำลัง

เรียก $a$ ว่า ฐานของเลขยกกำลัง

เรียก $n$ ว่า เลขชี้กำลัง

สมบัติของเลขยกกำลัง

ให้ $a, b$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็น $0, m$ และ $n$ เป็นจำนวนตรรกยะ

1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2. $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$

3. ${(a^{m})}^{n} = a^{mn}$

4. ${(ab)}^{n} = {a^n}{b^n}$

5. $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

6. ${a^0} = 1$

7. ${a^{-n}} = \frac{1}{a^n}$

รากที่สองในระบบจำนวนจริง และรากที่ n ในระบบจำนวนจริง

บทนิยาม

ให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง

$y$ เป็นรากที่สองของ $x$ ก็ต่อเมื่อ $y^{2} = x$

บทนิยาม

ให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1

$y$ เป็นรากที่ $n$ ของ $x$ ก็ต่อเมื่อ $y^{n} = x$

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ (ค่าหลักของรากที่ n)

บทนิยาม

ให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง และ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1

$y$ เป็นค่าหลักของรากที่ $n$ ของ $x$ ก็ต่อเมื่อ

1. $y$ เป็นรากที่ $n$ ของ $x$ และ

2. $xy \ge 0$

แทนค่าหลักของรากที่ $n$ ของ $x$ ด้วย $\sqrt[n]{x}$ อ่านว่า กรณฑ์ที่ $n$ ของ $x$

สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

บทนิยาม

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป $\{(x, y) \in {R} \times {R^+} \mid y = a^x\}$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $a > 0$ และ $a \neq 1$

จากนิยาม พบว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะมีความสัมพันธ์แบบเลขยกกำลัง โดยมีเลขชี้กำลังเป็นตัวแปร และฐานเป็นจำนวนจริง

เช่น $y = 2^x, \quad y = 5^x, \quad y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ แต่ถ้าเป็น $y = x^2, \quad y = x^5$ แบบนี้จะไม่ใช่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล สามารถแบ่งได้เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม กับ ฟังก์ชันลด โดยดูจากฐาน $(a)$ ของ $y = a^x$

1. ถ้า $a > 1$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม เช่น $y = 5^x, \quad y = 3^x$

2. ถ้า $0 < a < 1$ จะเป็นฟังก์ชันลด เช่น $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x, \quad y = \left(\frac{4}{7}\right)^x$

สมการเอกซ์โพเนนเชียล

สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังติดตัวแปร มีหลักการแก้ดังนี้

1. ทำฐานทั้ง 2 ข้างของสมการให้เท่ากัน

ถ้า $a^m = a^n$ แล้ว $m = n$

2. ถ้าฐานไม่เท่ากัน แต่เลขชี้กำลังเท่ากัน ให้อ้างว่าเลขชี้กำลังเท่ากับศูนย์

ถ้า $a^m = b^m$ แล้ว $m = 0$

อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล จะใช้หลักการของฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

Note สำหรับเครื่องหมาย $<, \quad \le, \quad \ge$ ก็ใช้หลักการเดียวกัน

ฟังก์ชันลอการิทึม

บทนิยาม

ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป $\{(x, y) \in {R^+} \times {R} \vert$ $y = log_ax\}$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $a > 0$ และ $a \neq 1$

ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล นั่นคือ

$x = a^y$ ก็ต่อเมื่อ $y = log_ax$

จากนิยามด้านบน มีจุดที่น้อง ๆ ต้องระมัดระวัง คือ

1. เลขที่อยู่ด้านหลัง $log$ ต้องมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ

2. ฐานของ $log$ ต้องเป็นจำนวนจริงบวก และไม่เท่ากับหนึ่ง

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จะคล้ายกับกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ แบ่งได้เป็นฟังก์ชันเพิ่มกับฟังก์ชันลด โดยดูจากฐาน $(a)$ ของ $y = log_ax$

1. ถ้า $a > 1$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม เช่น $y = log_2x, \quad y = log_7x$

2. ถ้า $0 < a < 1$ จะเป็นฟังก์ชันลด เช่น $y = log_\frac{์1}{2}x, \quad y = log_\frac{์4}{9}x$

ลอการิทึมสามัญ

ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับสิบ และโดยทั่ว ๆ ไป ลอการิทึมฐาน 10 จะไม่นิยมเขียนฐาน เช่น $log x = log_{10}x , \quad log 15 = log_{10}15$

ลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติ หรือ ลอการิทึมแบบเนเปียร์ คือ ลอการิทึมฐาน $e$ เมื่อ $e$ เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวนอตรรกยะจำนวนหนึ่งซึ่งมีค่าประมาณ 2.71828182846 นิยมเขียน $lnx$ แทน $log_{e}x$

สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม

ในการเรียนบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 สมบัติต่าง ๆ ของฟังก์ชันลอการิทึมนับเป็นหัวใจสำคัญของบทนี้เลยครับ น้อง ๆ จะต้องจำสมบัติต่าง ๆ เหล่านี้ให้แม่นยำ เพราะจะถูกนำมาใช้ตลอดทั้งการคำนวณค่าตัวเลข จนถึงการแก้สมการและอสมการลอการิทึม

ให้ $a, b, c, M$ และ $N$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ $a \neq 1 , \quad b \neq 1 , \quad c \neq 1$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

1. $log_{a}1 = 0$

2. $log_{a}a = 1$

3. $log_{a}(MN) = log_{a}M + log_{a}N$

4. $\log_{a}\left(\frac{M}{N}\right) = \log_{a}M - \log_{a}N$

5. $\log_{a}M^{k} = k\log_{a}M$

6. $\log_{a^{k}}M = \frac{1}{k}\log_{a}M$ เมื่อ $k \neq 0$

7. $log_{b}a = \frac{log_{c}a}{log_{c}b}$

8. $log_{b}a = \frac{1}{log_{a}b}$

9. $a^{log_{a}M} = M$

10. $a^{log_{b}C} = C^{log_{b}a}$

สมการลอการิทึม

หลักการแก้สมการลอการิทึม

ให้ $a > 0$ และ $a \neq 1$ ถ้า $log_{a}m = log_{a}n$ แล้ว $m = n$

ข้อควรระวัง

ทุกครั้งที่แก้สมการลอการิทึมเสร็จ น้อง ๆ จะต้องนำคำตอบที่ได้ไปตรวจสอบเสมอนะครับ โดยต้องตรวจสอบ 2 ที่ คือ

1. เลขที่อยู่ด้านหลัง $log$ ต้องมีค่ามากกว่าศูนย์เสมอ

2. ฐานของ $log$ ต้องเป็นจำนวนจริงบวก และไม่เท่ากับหนึ่ง

อสมการลอการิทึม

การแก้อสมการลอการิทึม จะใช้หลักการของฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

Note สำหรับเครื่องหมาย $< , \quad \le , \quad \ge$ ก็ใช้หลักการเดียวกัน

การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

สำหรับความรู้ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับศาสตร์ด้านอื่น ๆ ได้มากมาย ทั้งฟิสิกส์, เคมี, เศรษฐศาสตร์ ฯลฯ ยกตัวอย่างเช่น

1. ระดับเสียง

ระดับเสียง (sound level) เป็นการเปรียบเทียบความเข้มเสียงนั้นกับความเข้มเสียงเบาที่สุดที่มนุษย์ได้ยิน เนื่องจากความเข้มเสียงที่มนุษย์ได้ยินอยู่ในช่วง $10^{-12}$ วัตต์ต่อตารางเมตร ถึง 1 วัตต์ต่อตารางเมตร ซึ่งเป็นช่วงที่กว้างมาก ดังนั้น เพื่อความสะดวกในการจัดลำดับความเข้มเสียง จึงนิยมใช้ระดับเสียงเป็นตัวบอกความดังของเสียงแทนความเข้มของเสียง ซึ่งสามารถคำนวณได้ดังนี้

$\beta = 10log\frac{์I}{I_0}$

เมื่อ $\beta$ แทน ระดับเสียง มีหน่วยเป็นเดซิเบล

$I$ แทน ความเข้มเสียงที่ต้องการวัด มีหน่วยเป็นวัตต์ต่อตารางเมตร

$I_0$ แทน ความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่มได้ยิน ซึ่งเท่ากับ $10^{-12}$ วัตต์ต่อตารางเมตร

2. ระดับความเป็นกรด - เบส

ระดับความเป็นกรด – เบส $(pH)$ ของสารละลาย สามารถคำนวณได้ดังนี้

$pH = -log[H_{3}O^{+}]$

เมื่อ $pH$ แทน ระดับความเป็นกรด – เบสของสารละลาย

$[H_{3}O^{+}]$ แทน ความเข้มข้นของไฮโดรเจนไอออน มีหน่วยเป็นโมลต่อลิตร

3. ดอกเบี้ยทบต้น

การฝากเงินที่มีการคิด ดอกเบี้ยทบต้นต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทุกสิ้นปี สามารถคำนวณได้ดังนี้

$B(n) = B_{0}(1+r)^n$

เมื่อ $B(n)$ แทน จำนวนเงินฝากในบัญชี เมื่อสิ้นสุดปีที่ $n$

$B_0$ แทน จำนวนเงินฝากเริ่มต้น

$r$ แทน อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อปี

4. การเพิ่มจำนวนแบคทีเรีย

การเพิ่มขึ้นของจำนวนแบคทีเรีย ซึ่งเป็นไปอย่างต่อเนื่องตลอดเวลา สามารถคำนวณได้ดังนี้

$n(t) = n_{0}e^{rt}$

เมื่อ $n(t)$ แทน จำนวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผ่านไป $t$ ชั่วโมง

$n_0$ แทน จำนวนแบคทีเรียเมื่อเวลาเริ่มต้น

$r$ แทน อัตราการเพิ่มขึ้นของจำนวนแบคทีเรียต่อเวลา

และนี่คือ เนื้อหาและสูตรที่สำคัญในบทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ที่น้อง ๆ ควรรู้ก่อนเข้าห้องสอบนะครับ น้อง ๆ จะเห็นว่าบทนี้ไม่ได้ยากอย่างที่หลาย ๆ คนกลัวกันเลย

ซึ่งจุดเน้นในบทนี้ที่ข้อสอบมักจะออกบ่อย ๆ ทั้งข้อสอบกลางภาค ข้อสอบปลายภาค ไปจนถึงข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย อย่างข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 ก็คือ

1. สมการ ทั้งสมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทึม

2. อสมการ ทั้งอสมการเอกซ์โพเนนเชียลและอสมการลอการิทึม

3. การใช้สมบัติของลอการิทึมในการคำนวณเลข

4. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

5. โจทย์ปัญหาต่าง ๆ เกี่ยวกับเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

ถ้าน้อง ๆ ทบทวนตามหัวข้อเหล่านี้และฝึกฝนทำโจทย์ให้คล่อง พี่กอล์ฟมั่นใจว่าน้อง ๆ จะต้องเก็บคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์บทนี้ได้อย่างแน่นอนครับ

ตัวอย่างข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย

นอกจากจะมีสรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม มาฝากน้อง ๆ แล้ว พี่ไม่ลืมที่จะนำ ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ พร้อมเฉลยละเอียด มาให้น้อง ๆ ได้ดูเป็นแนวทางไว้สำหรับเตรียมความพร้อมก่อนสอบด้วยครับ ตามไปดูเลย!

ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย - ข้อที่ 1

ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย - ข้อที่ 2

ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย - ข้อที่ 3

ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย - ข้อที่ 4

ข้อสอบฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พร้อมเฉลย - ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.4 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบแข่งขัน

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 กลุ่ม A รวมทุกบท

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

สำหรับน้อง ๆ ที่กำลังมองหาตัวช่วยติวคณิตศาสตร์ บทฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม เพื่อเพิ่มความเข้าใจให้ความรู้แน่นขึ้น สามารถสมัครเรียน คอร์สคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 2 กับ WE BY THE BRAIN ได้เลย ในคอร์สนี้สรุปเนื้อหาครบถ้วน กระชับ เข้าใจง่าย พร้อมทั้งมีโจทย์หลายแนวให้น้อง ๆ ได้ฝึกฝน และยังได้เรียนรู้เทคนิคทริกลัดที่จะช่วยให้แก้โจทย์เร็วขึ้น พาน้อง ๆ คว้าเกรด 4 อย่างมั่นใจ และเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบเข้ามหาวิทยาลัยในอนาคตด้วย ✌️