สรุปเนื้อหา จำนวนจริง ม.4 แจกฟรี! แนวข้อสอบ TCAS พร้อมเฉลยละเอียด

November 9, 2024

จำนวนจริง ม.4 เป็นหนึ่งในบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ที่สำคัญมาก ๆ เพราะเป็นพื้นฐานที่ใช้ต่อยอดไปยังบทอื่น ๆ อีกหลายบท ไม่ว่าจะเป็นความสัมพันธ์และฟังก์ชัน, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ครับ

โดยเนื้อหาในระดับชั้น ม.ปลาย จะละเอียดและลงลึกมากกว่าจำนวนจริง ม.ต้น ที่น้อง ๆ เคยได้เรียนกันมาแล้ว ทั้งเรื่องโครงสร้างของระบบจำนวนจริง สมบัติของจำนวนจริง ไปจนถึงการแก้สมการและอสมการหลากหลายรูปแบบ ซึ่งออกสอบบ่อยทั้งข้อสอบในโรงเรียนและสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย

วันนี้ พี่เอ๋ – เดอะเบรน ได้ สรุปเนื้อหาจำนวนจริง ม.4 แบบครบทุกหัวข้อสำคัญ พร้อมแนวข้อสอบและคลิปติวฟรี! มาเป็นตัวช่วยให้เรียนบทนี้เข้าใจมากขึ้น ตามไปดูได้เลยครับ 💙

โครงสร้างของระบบจำนวนจริง

หัวข้อแรกของบทจำนวนจริง ม.4 ที่น้อง ๆ จะได้เรียนกันก็คือ โครงสร้างของระบบจำนวนจริงครับ น้อง ๆ สามารถดูได้จาก แผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนชนิดต่าง ๆ ด้านล่างนี้ได้เลย

สมบัติของจำนวนจริง

หัวข้อต่อมาน้อง ๆ จะได้เรียนรู้เกี่ยวกับ สมบัติของจำนวนจริง ครับ โดยสมบัติสำคัญที่ควรจำให้ได้มีดังนี้

สมบัติปิด

สมบัติปิดการบวก

ถ้า $a, b \in \mathbb{R}$ แล้ว $a + b \in \mathbb{R}$

สมบัติปิดการคูณ

ถ้า $a, b \in \mathbb{R}$ แล้ว $a \cdot b \in \mathbb{R}$

สมบัติการสลับที่

สมบัติการสลับที่การบวก

$a + b \: = \: b + a$

สมบัติการสลับที่การคูณ

$a \cdot b \: = \: b \cdot a$

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก

$(a + b) + c \: = \: a + (b + c)$

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

$(ab)c \: = \: a(bc)$

สมบัติการมีเอกลักษณ์

สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก

$0$ เป็นเอกลักษณ์การบวก

$0 + a \: = \: a \: = \: a + 0$

สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ

$1$ เป็นเอกลักษณ์การคูณ

$1 \cdot a \: = \: a \: = \: a \cdot 1$

สมบัติการมีอินเวอร์ส

สมบัติการมีอินเวอร์สการบวก

$-a$ เป็นอินเวอร์สบวกของ $a$

$(-a) + a \: = \: 0 \: = \: a + (-a)$

สมบัติการมีอินเวอร์สการคูณ

$\dfrac{1}{a}$ เป็นอินเวอร์สคูณของ $a$

$\dfrac{1}{a} \cdot a \: = \: 1 \: = \: a \cdot \dfrac{1}{a}$ เมื่อ $a \ne 0$

สมบัติการแจกแจง

สมบัติการแจกแจงการบวกและการคูณ

$a(b + c) = ab + ac$

สมบัติปิดของจำนวนจริง

เมื่อนำสมาชิกใด ๆ ในเซตมากระทำกันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้ยังคงเป็นสมาชิกในเซตนั้นเสมอ ถือว่ามีสมบัติปิด เช่น

เซตของจำนวนจริงมีสมบัติปิดการบวก และสมบัติปิดการคูณ เพราะจำนวนจริง 2 จำนวนใด ๆ มาบวกหรือคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้เป็นจำนวนจริงเสมอ

แต่เซตของจำนวนอตรรกยะไม่มีสมบัติปิดการบวก และไม่มีสมบัติปิดการคูณ เพราะมีจำนวนอตรรกยะบางคู่ที่บวก, คูณกันแล้วผลลัพธ์ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ เช่น

$\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) \: = \: 0$ โดย 0 ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \: = \: 2$ โดย 2 ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ

เอกลักษณ์ “e * a = a = a * e”

เอกลักษณ์ คือ จำนวนที่ไปกระทำกับจำนวนใด ๆ ก็ตามในเซต แล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับ $a$ เดิม

$0 + a \: = \: a \: = \: a + 0$ เมื่อ $a \in R$ แสดงว่า เอกลักษณ์การบวกของจำนวนจริงใด ๆ คือ 0

$1 \cdot a \: = \: a \: = \: a \cdot 1$ เมื่อ $a \in R$ แสดงว่า เอกลักษณ์การคูณของจำนวนจริงใด ๆ คือ 1

อินเวอร์ส “เมื่ออินเวอร์สสำหรับ * ของ a คือ x แล้ว x * a = e = a * x”

อินเวอร์สของ $a$ กระทำกับ $a$ จะได้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์ เช่น

$(-2) + 2 \: = \: 0 \: = \: 2 + (-2)$

จะพบว่า $-2$ เป็นอินเวอร์สการบวกของ $2$

$\frac{1}{3} \cdot 3 \: = \: 1 \: = \: 3 \cdot \frac{1}{3}$

จะพบว่า $\frac{1}{3}$ เป็นอินเวอร์สการบวกของ $3$

เซตใดจะมีสมบัติอินเวอร์ส เซตนั้นต้องมีเอกลักษณ์ และสมาชิกทุกตัวในเซตต้องหาอินเวอร์สได้ อีกทั้งอินเวอร์สที่หาได้ต้องอยู่ในเซตเดิมเสมอ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

“ ตัวหารเป็นพหุนามดีกรี 1 และเศษเป็นตัวเลขเสมอ ”

หารพหุนาม $P(x)$ ด้วย $x - c$ เศษตอบ $P(c)$

การหารพหุนามแบบขั้นตอนวิธีการหาร

“ นิยมใช้เมื่อเจอโจทย์ที่ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ”

เศษ $R(x)$ จะมีดีกรีน้อยกว่า ตัวหาร $Q(x)$ เสมอ

การหารสังเคราะห์

“ ตัวหารต้องเป็นพหุนามดีกรี 1 ที่มี ส.ป.ส หน้า $x$ เป็น 1 ”

💡 Note : ถ้าใช้หารสังเคราะห์ในกรณี ส.ป.ส หน้า $x$ ของตัวหาร ไม่ใช่ 1 เศษตอบได้เลย แต่ผลหารให้นำไปหารด้วย ส.ป.ส. หน้า $x$ ของตัวหารก่อน แล้วค่อยตอบ

สมการกำลังสอง

รูปแบบ $ax^2 + b + c \: = \: 0$ โดย $a \neq 0$

วิธีที่ 1

ถ้า $ax^2 + b + c$ แยกเป็น 2 วงเล็บได้ ก็ให้แยกเป็นสองวงเล็บ เช่น

จงแก้สมการ $3x^2 + 5x - 2 \: = \: 0$

$3x^2 + 5x - 2 \: = \: 0$

$(3x - 1)(x + 2) \: = \: 0$

$\therefore x \: = \: \frac{1}{3} \: , \: \( -2$

วิธีที่ 2

ใช้สูตร โดย $x \: = \: \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ซึ่ง

จะมี 2 คำตอบที่เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน เมื่อ $b^2 - 4ac > 0$
จะมี 1 คำตอบ (มองว่ารากซ้ำกัน 2 ตัว) ที่เป็นจำนวนจริง เมื่อ $b^2 - 4ac \: = \: 0$
จะมี 2 คำตอบแต่ไม่ใช่จำนวนจริง เมื่อ $b^2 - 4ac < 0$

ทฤษฎีบทตัวประกอบ

พหุนาม $P(x)$ จะมี $x - c$ เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ $P(c) \: = \: 0$

การแยกตัวประกอบ

ให้ $P(x) \: = \: {a_n}{x_n} + {a_{n-1}}{x^{n-1}} + \: … \: + {a_1}x + a_0$ เมื่อ $a_0 \: , \: a_1 \: , \: … \: , \: a_n \in Z$

แบบที่ 1 : สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุดเป็น 1 $(a_n = 1)$

หาตัวประกอบของ $a_0$ ทั้งหมด (ทั้งจำนวนบวกและลบ)
ถ้า $c$ เป็นตัวประกอบของ $a_0$ ซึ่งทำให้ $P(c) \: = \: 0$ จะได้ $x - c$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$
เข้าสู่กระบวนการหารสังเคราะห์

แบบที่ 2 : สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุดไม่เป็น 1 $(a_n \neq 1)$

หาตัวประกอบของ $a_n$ แล้วให้เป็น $m$
หาตัวประกอบของ $a_0$ แล้วให้เป็น $k$
ถ้า $\frac{k}{m}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งทำให้ ${P}\left(\frac{k}{m}\right) \: = \: 0$ จะได้ $x - \frac{k}{m}$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$
เข้าสู่กระบวนการหารสังเคราะห์

ผลบวกและผลคูณของคำตอบทั้งหมด (Viete)

💡 เพิ่มเติม

กรณี $n \: = \: 3$ $P(x) \: = \: x^3 + {a_2}{x^2} + {a_1}x + a_0$

เราได้ว่า ถ้าคำตอบทั้งหมด คือ $x_1 \: , \: x_2 \: , \: x_3$

$x_1 + x_2 + x_3 \: = \: -a_2$ และ $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \: = \: -a_0$

เรายังได้อีกว่า $x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 \: = \: a_1$

เศษส่วนของพหุนาม

ให้ $p(x)$ และ $q(x)$ เป็นพหุนามโดยที่ $q(x) \neq 0$

จะเรียก $\frac{p(x)}{q(x)}$ ว่าเศษส่วนของพหุนาม

ที่มี $p(x)$ เป็นตัวเศษ และ $q(x)$ เป็นตัวส่วน

เช่น $\frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$ เมื่อ $x^3 - 1 \neq 0$

หรือ $\frac{2x - 1}{x^2 + x - 6}$ เมื่อ $x^2 + x - 6 \neq 0$

การบวก, การลบ, การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

$\dfrac{p(x)}{q(x)} + \dfrac{r(x)}{q(x)} = \dfrac{p(x) + r(x)}{q(x)}$ , $q(x) \ne 0$
$\dfrac{p(x)}{q(x)} - \dfrac{r(x)}{q(x)} = \dfrac{p(x) - r(x)}{q(x)}$ , $q(x) \ne 0$
$\dfrac{p(x)}{q(x)} \cdot \dfrac{r(x)}{s(x)} = \dfrac{p(x) \cdot r(x)}{q(x) \cdot s(x)}$ , $q(x) \ne 0$ และ $s(x) \ne 0$
$\dfrac{p(x)}{q(x)} \div \dfrac{r(x)}{s(x)} = \dfrac{p(x)}{q(x)} \times \dfrac{s(x)}{r(x)}$ , $q(x) \ne 0$ , $s(x) \ne 0$ และ $r(x) \ne 0$

$= \dfrac{p(x) \cdot s(x)}{q(x) \cdot r(x)}$

สมการเศษส่วนของพหุนาม

สมการเศษส่วนของพหุนาม คือ สมการที่สามารถจัดอยู่ในรูป

$\frac{p(x)}{q(x)} = 0$ , $q(x) \neq 0$

โดยเซตคำตอบของ $\frac{p(x)}{q(x)} = 0$ คือ เซตของจำนวนจริง $x$

ซึ่ง $p(x) = 0$ และ $q(x) \neq 0$

เทคนิคการแก้อสมการตัวแปรเดียว

ขั้นที่ 1

จัดอสมการให้อยู่ในรูป

ซ้ายมือ เป็นวงเล็บของ $x$ ดีกรี 1 คูณกัน

โดยสัมประสิทธิ์หน้า $x$ ต้องเป็นบวก $(A \: , \: B \: , \: C \: , \: … \: > 0)$

ขวามือ ต้องเป็น 0

💡 หมายเหตุ : หากสัมประสิทธิ์หน้า $x$ ติดลบ ให้คูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย -1 และกลับเครื่องหมายอสมการเป็นตรงข้ามด้วย (ถ้ามีมากกว่า 1 วงเล็บ คู่วงเล็บเครื่องหมายสุดท้ายจะเหมือนเดิม คี่วงเล็บเครื่องหมายสุดท้ายจะเปลี่ยนเป็นตรงข้าม)

ขั้นที่ 2

จับแต่ละวงเล็บเท่ากับ 0 จะได้ค่า $x$ ออกมา แล้วนำค่า $x$ นั้นไปลงบนเส้นจำนวน จะพบว่าเส้นจำนวนถูกแบ่งเป็นช่วงสั้น ๆ

ขั้นที่ 3

ให้ขวามือสุดเป็นบวก จากนั้นใส่ $- \: , \: +$ สลับไปเรื่อย ๆ

ขั้นที่ 4

ถ้าอสมการใน ขั้นที่ 1 เป็น $\ge 0$ หรือ $> 0$ ให้ตอบช่วงที่เป็นบวก

แต่ถ้าเป็น $\le 0$ หรือ $< 0$ ให้ตอบช่วงที่เป็นลบ และสำหรับ $\ge 0 \: , \: \le 0$ (มีเครื่องหมาย $=$ ร่วมด้วย) ให้ระบายจุด $x$ จากขั้นที่ 2 (จุดปลายของช่วง) เป็นคำตอบด้วย

กรณีซ้ายมือมีวงเล็บด้านล่างด้วย “วงเล็บหารกันทำเหมือนวงเล็บคูณกัน แต่เมื่อเป็นเศษส่วน ส่วนห้ามเป็นศูนย์”

ค่าสัมบูรณ์

นิยาม

สมบัติสำคัญของค่าสัมบูรณ์

$|a| \ge 0$
$|-a| \: = \: |a|$
$|a - b| \: = \: |b - a|$ สลับที่การลบได้ในค่าสัมบูรณ์
$|a \cdot b| \: = \: |a| \cdot |b|$
และ $\left| \dfrac{a}{b} \right| \: = \: \dfrac{|a|}{|b|}$ เมื่อ $b \ne 0$
เช่น $|(x - 1)(x - 2)| \: = \: |x - 1| \cdot |x - 2|$
และ $\left| \dfrac{x - 1}{x - 2} \right| \: = \: \dfrac{|x - 1|}{|x - 2|}$ เมื่อ $x - 2 \ne 0$
$|a|^2 \: = \: a^2 = |a^2|$
เช่น $|x^2 + x - 2|^2 \: = \: (x^2 + x - 2)^2 \: = \: |(x^2 + x - 2)^2|$
$\sqrt[n]{a^n} \: = \: a$ เมื่อ $n$ → เป็นจำนวนคี่บวก
$\sqrt[n]{a^n} \: = \: |a|$ เมื่อ $n$ → เป็นจำนวนคู่บวก
เช่น $\sqrt[3]{(x + 2)^3} \: = \: x + 2$
แต่ $\sqrt{(x + 2)^2} \: = \: |x + 2|$
$|a| + |b| \ge |a| + |b|$
$|a| + |b| \ge |a| - |b|$
ค่าสัมบูรณ์บวกกัน เสริมกัน ค่าจึงมาก
$|a| - |b| \le |a| + |b|$
$|a| - |b| \le |a| - |b|$
ค่าสัมบูรณ์ลบกัน หักล้าง ค่าจึงน้อย

8. $|a| + |b| \: = \: |a + b|$ เมื่อ $ab \ge 0$

$|a| + |b| \: = \: |a - b|$ เมื่อ $ab \le 0$

การแก้สมการที่ติดค่าสัมบูรณ์

การแก้สมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ มีรูปแบบหลัก 4 รูปแบบ ได้แก่

1. |☐| = ตัวเลขบวก

หลักการ แยก 2 กรณี

“เท่ากับตัวเดิม หรือ เท่ากับตัวติดลบ”

2. |☐| = ∆

หลักการ แยก 2 กรณี และต้องตรวจคำตอบด้วย โดย $\Delta \ge 0$

“เท่ากับตัวเดิม หรือ เท่ากับตัวติดลบ และ ตรวจคำตอบด้วย”

ตรวจคำตอบ ➝ ให้นำคำตอบไปแทนใน $1 - x^2$ ถ้าออกมาเป็น บวกหรือเป็นศูนย์ คำตอบนั้นใช้ได้ ถ้าเป็นลบให้ตัดคำตอบนั้นทิ้ง

$x \: = \: -2 \: \rightarrow \: 1 - (-2)^2 \: = \: -3$ ✗

$x \: = \: 0 \: \rightarrow \: 1 - (0)^2 \: = \: 1$ ✓

$x \: = \: 1 \: \rightarrow \: 1 - (1)^2 \: = \: 0$ ✓

∴ เซตคำตอบ $\: = \: \{ 0 \: , \: 1 \}$

3. |☐| = ☐ อ้าง ☐ ≥ 0

|☐| = – ☐ อ้าง ☐ ≤ 0

4. |☐| = |∆|

หลักการ ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง หรือใช้สูตร

$\square = \Delta$ หรือ $\square = -\Delta$

“เท่ากับตัวเดิม หรือ เท่ากับตัวติดลบ”

สำหรับสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ที่นอกเหนือจาก 4 รูปแบบนี้ที่พี่ยกตัวอย่างมาให้ดูกัน จะใช้การแบ่งกรณี หรือสมบัติต่าง ๆ ช่วยแก้ครับ

การแก้อสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์

การแก้อสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ มีรูปแบบหลัก 3 รูปแบบ ได้แก่

1. |☐| ≥ $a$

จะได้ $\square \ge a$ หรือ $\square \le -a$

|☐| > $a$

จะได้ $\square > a$ หรือ $\square < -a$

“ค่าสัมบูรณ์ต่อด้วยเครื่องหมายมากกว่าจะได้มากกว่าตัวเดิม หรือ น้อยกว่าตัวติดลบ”

2. |☐| ≤ $a$

จะได้ $-a \le \square \le a$

|☐| < $a$

จะได้ $-a < \square < a$

“ค่าสัมบูรณ์ต่อด้วยเครื่องหมายน้อยกว่า จะได้อยู่ระหว่างตัวติดลบกับตัวเดิม”

3. |☐| ≥ |∆| (หรือ > หรือ ≤ หรือ <)

หลักการ ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้าง หรือใช้สูตร

$(\square - \Delta)(\square + \Delta) \ge 0$

“หน้าลบหลัง คูณ หน้าบวกหลัง เครื่องหมายเดิม ตามด้วยศูนย์”

สำหรับอสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ที่นอกเหนือจาก 3 รูปแบบนี้ จะใช้การแบ่งกรณี หรือสมบัติต่าง ๆ ช่วยแก้ครับ

เทคนิคการแบ่งกรณี

การแก้สมการและอสมการที่ติดรูท (√)

สมการติดรูท

หลักการ ยกกำลัง 2 และตรวจคำตอบเสมอ

อสมการติดรูท

หลักการ

ขั้นที่ 1 สร้างเงื่อนไข $\sqrt{\square} \ \: \rightarrow \: \square \ge 0$

ถ้ามีมากกว่า 1 เงื่อนไข ให้นำมา ∩ กัน

ขั้นที่ 2 ยกกำลัง 2 โดย 2 ข้างต้อง $\ge 0$

ขั้นที่ 3 นำคำตอบ ∩ เงื่อนไข

แนวข้อสอบจำนวนจริง พร้อมเฉลยละเอียด

หลังจากที่น้อง ๆ ได้ทบทวนเนื้อหาและสูตรสำคัญของบทจำนวนจริง ม.4 จบไปแล้ว คราวนี้มาลองแก้โจทย์คณิตศาสตร์บทนี้กันบ้างดีกว่า โดยพี่รวบรวม ตัวอย่างข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ บทจำนวนจริง พร้อมเฉลยละเอียด มาฝากกัน ถ้าพร้อมแล้วก็ลุยได้เลย!!

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 1

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 2

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 3

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 4

โจทย์จำนวนจริง ข้อที่ 5

ติวคณิตศาสตร์ ม.4 กับ WE BY THE BRAIN พร้อมพิชิตเกรด 4 และสนามสอบเข้ามหาวิทยาลัย

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 รวมทุกบท

ระบบจำนวนจริง

พี่หวังว่าบทความนี้จะช่วยให้น้อง ๆ ได้รับความรู้และมีความเข้าใจในเนื้อหาบทจำนวนจริง ม.4 มากขึ้นนะครับ แล้วสำหรับใครที่อยากจะติวคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทนี้ให้พื้นฐานแน่นยิ่งขึ้น ก็สมัคร คอร์สคณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 กับ “เดอะเบรน” ได้เลย!!